專題24空間直線平面的平行

專題24空間直線、平面的平行№專題24空間直線、平面的平行№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題24空間直線、平面的平行命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議空間直線、平面的平行是高考必考的重點知識，在立體幾何部分，直線與平面的平行的判定與性質(zhì)的應(yīng)用在高考中出題比較靈活，在新高考的引領(lǐng)下，出題創(chuàng)新性比較強(qiáng)，更加注重了學(xué)生能力的考察。預(yù)計2024年的高考對于空間直線、平面的平行考察還是以應(yīng)用為主，線線、線面、面面之間的相互轉(zhuǎn)化是重點，空間想象力和空間思維能力是考察的重點。集合復(fù)習(xí)策略：1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理,并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理.2.能運用結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題。→?考點精析←一、空間點、線、面的位置關(guān)系1.四個基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)

A∈l,B可用來證明點、直線在平面內(nèi)基本事實2過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面

A,B,C三點不共線?有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α①可用來確定一個平面;②證明點、線共面基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l①可用來確定兩個平面的交線;②判斷或證明多點共線;③判斷或證明多線共點基本事實4平行于同一條直線的兩條直線互相平行a∥b,b∥c?a∥c證明空間中兩條直線平行2.基本事實2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

3.空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類空間直線共面4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α=A1個

平行a∥α0個

在平面內(nèi)a?α無數(shù)個

平面與平面平行α∥β0個

相交α∩β=l無數(shù)個

二、異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點O作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍:02.等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.

三、線面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定一條直線與一個平面沒有公共點，

則稱這條直線與這個平面平行a∩α=??a∥α證明直線與平面平行平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則平面外這條直線平行于這個平面

a?α,b?α,且a∥b?a∥α證明直線與平面平行性質(zhì)一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b證明直線與直線平行四、面面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行

a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β證明平面與平面平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行

a?α,b?α,a∩b=P,a∥a',b∥b',a'?β,b'?β?α∥β垂直于同一條直線的兩個平面平行

a⊥α,a⊥β?α∥β性質(zhì)兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面

α∥β,a?α?a∥β證明直線與平面平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b證明直線與直線平行→?真題精講←1.（2023全國理科乙卷19）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.【小問3詳解】過點作交于點，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.2.（2023全國文科乙卷19）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.4.（2023天津卷17）三棱臺中，若面，分別是中點.（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【小問1詳解】連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.【小問2詳解】過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是【小問3詳解】[方法一：幾何法]過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.，.由，即.4.（2023全國Ⅰ卷18）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.→?模擬精練←1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知空間中三條不同的直線a、b、c，三個不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】ACD【解析】對于A，，，則一定成立，A正確；對于B，如圖，正方體兩兩相交的三個平面,平面,平面,平面平面，平面平面,平面平面，但不平行，故B錯誤；對于C，若，，則或，但，所以，C正確；對于D，，，則，D正確.故選:ACD.2．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點分別是中點.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面和平面夾角的余弦值.【解析】（1）如圖，取中點，連接，因為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因為平面平面，所以平面，因為點分別是中點，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）方法一：因為，所以，由（1）知平面平面，所以，所以兩兩相互垂直，如圖，以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，解得，取，得，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.方法二：因為平面平面，所以平面和平面的夾角即二面角.如圖，過點作，垂足為點，過點作交于點，則為二面角所成平面角.在中，，在中，，在直角梯形中，因為，,所以，所以在中，，所以，利用三角形等面積可得，所以，因為，所以，過點作于，則，所以，在中，，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的正三角形中，為邊的中點，過作于.把沿翻折至的位置，連接?.(1)為邊的一點，若，求證：平面；(2)當(dāng)四面體的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）取中點，連接，因為在正三角形中，，又因為，所以，平面，平面，所以平面，又有，且，所以，而平面，平面，所以平面.有，平面，所以平面平面，又平面，因此平面.（2）因為，又因為的面積為定值，所以當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時，四面體的體積有最大值，因為，，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，當(dāng)時，平面平面，平面所以平面，即在翻折過程中，點到平面的最大距離是，因此四面體的體積取得最大值時，必有平面.如圖，以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直接坐標(biāo)系，易知，，，，，，，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，，由，令得：，，所以為平面的一個法向量，.所以平面與平面的夾角（銳角）的余弦值為.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┤鐖D，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．(1)證明；平面；(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，根據(jù)圓的性質(zhì)知△、△都為等腰直角三角形，進(jìn)而有為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得，再求出、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.【詳解】（1）連接，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面.（2）由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，過作，則為的中點，再過作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以.則，，，，所以，，，若為面的一個法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值.5．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在四棱錐EABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點．(1)求證：平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐EABCD體積最大時，求二面角NAEB的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取EC的中點的F，連接MF，NF，證得，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，證得平面平面，進(jìn)而得到平面.（2）過E作交AB于O，證得平面ABCD，取CD的中點G，連接OG，以O(shè)為原點，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取EC的中點的F，連接MF，NF，因為M，F(xiàn)分別為ED和EC的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）解：如圖所示，過E作交AB于O，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，故EO為四棱錐EABCD的高，要使四棱錐EABCD體積最大，則E為弧的中點，所以O(shè)與AB的中點，取CD的中點G，連接OG，因為，，所以，因為平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，可得，，，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，可得，令，則平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二成角的余弦值為．6．（2023·江蘇南通·二模）如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖根據(jù)題意和圓臺的結(jié)構(gòu)可知平面平面，有面面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得為中點，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面、平面的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和同角的三角函數(shù)關(guān)系計算即可求解.【詳解】（1）如圖，連接．因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.在圓臺中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即為中點．在中，又M為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面；（2）以為坐標(biāo)原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，所以．則．因為，所以．所以，所以．設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，所以．設(shè)二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為..7．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面平面ABCD，．(1)求點A到平面PBC的距離；(2)E為線段PC上一點，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中點O，連接OB，OP.通過證明，可得，.后由等體積法可求得點A到平面PBC的距離；（2）由（1），如圖建立以O(shè)為原點的空間直角坐標(biāo)系，由直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空間向量可得平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.【詳解】（1）取AD中點O，連接OB，OP.∵為等邊三角形，∴，OA=1，.又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，∴平面ABC.又∵平面ABCD，∴.∵，∴，∴.又∵，平面POB，平面POB，，∴平面POB.又∵平面POB，∴.∴，設(shè)點A到平面PBC的距離為h，則即，∴；（2）由（1），分別以O(shè)A，OB，OP為x軸，y軸，z，，，，，，.設(shè)，則，.得，則.又平面ABC，則取平面ABCD的法向量.設(shè)AE與平面ABCD所成的角為，則，解得.則，.設(shè)平面ADE的法向量，則.令，則取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.故平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為.→?專題訓(xùn)練←、是異面直線，給出下列命題：①經(jīng)過直線有且僅有一個平面平行于直線；②經(jīng)過直線有且僅有一個平面垂直于直線；③存在分別經(jīng)過直線和直線的兩個平行平面；④存在分別經(jīng)過直線和直線的兩個互相垂直的平面．其中錯誤的命題為（）A．①與② B．②與③ C．②與④ D．僅②【答案】D【解析】對于①，選一條直線與平行，且與相交，則由公理的推論可知，通過與有且僅有一個平面，此時，故①正確；對于②，若與不垂直，則直線不可能垂直于直線所在的平面，故②錯；對于③，取平面與平面，且使，若，，且與不平行，則異面，故③正確；對于④，若、異面，則存在一條直線，使得，，設(shè)由、所確定的平面為，則一定可以過直線作一個平面，使得，故④正確.故選：D.2.如圖，在三棱錐DABC中，，一平面截三棱錐DABC所得截面為平行四邊形EFGH．已知，，則異面直線EG和AC所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】EFGH是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（或其補角）就是異面直線EG和AC所成的角，因為，所以，因為，，所以，故．故選：A3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為D．點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍【答案】BCD【解析】A選項，由，即與并不垂直，所以D1D⊥AF錯誤.B選項，如下圖，延長FE、GB交于G’連接AG’、GF，有GF//BE又E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，所以，而，即；又因為面面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正確.C選項，取中點，連接，由題意知與平行且相等，所以異面直線A1G與EF所成角的平面角為，若正方體棱長為2，則有，即在中有，故正確.D選項，如下圖若設(shè)G到平面AEF的距離、C到平面AEF的距離分別為、，則由且，知，故正確.故選：BCD4.已知直線a與平面，能使的充分條件是（）①②③④A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】對①，若，垂直于同一個平面的兩個平面可以相交，故①錯誤；對②，若，則，平面的平行具有傳遞性，故②正確；對③，若，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯誤；對④，，垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確.綜上：②④正確，故選：D.5.如圖，在三棱錐中，，，、、分別是所在棱的中點.則下列說法錯誤的是（）A．面面B．面面C． D．【答案】D【解析】、分別是，的中點，，又平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面平面，故正確；，，，平面，，故正確，又平面，平面平面，故正確；假設(shè)，又，，與矛盾，故與不平行，故錯誤，故選：D6.在正方體中，若，分別為，的中點，則（）A．直線平面 B．直線平面C．平面平面 D．平面平面【答案】BD【解析】如圖，取的中點G，連接，可證，得四邊形為平行四邊形，則，若直線平面，則//平面ACD或平面，與平面矛盾，故A錯誤；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，則，又平面，得，同理可證，又，直線平面ACD1，故B正確;而BD平面，平面平面ACD1，故D正確;連接，由，可得四邊形AA1C1C為平行四邊形，則平面A1BC1，AC平面A1BC1，平面A1BC1，同理AD1平面A1BC1，又AC∩AD1=A，平面A1BC1//平面ACD1，若平面A1EF平面ACD1，則平面A1EF與平面A1BC1重合，則EF平面A1BC1，與EF平面A1BC1矛盾，故C錯誤．故選：BD7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖所示，三棱錐，BC為圓O的直徑，A是弧上異于B、CD在直線AC上，平面PAB，E為PC的中點.(1)求證：平面PAB；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.【解析】（1）因為平面PAB，平面平面，平面CAB所以.又O為BC中點，所以D為AC中點.又E為PC中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）如圖1，取的中點F，連結(jié)PF、AF.由已知底面在半圓O上，BC為圓O的直徑，可得.因為所以，所以.又，則有，所以，.則有，，，所以，，，又，平面，平面.所以平面.法一：如圖2建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，，可得.，，，，，.所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，

令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.法二：如圖3，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為，則，，，，，所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面．(1)證明：平面；(2)若點E到平面的距離為，求平面與平面夾角的正切值．【解析】（1）如圖，取的中點，連接，則，又因為平面平面，且平面平面，平面，則平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖，連接，，取的中點，連接，則，因為，則等腰的面積為，所以三棱錐的體積為，因為平面，平面，則，又因為，，平面，平面，則平面，因為，則點到平面的距離等于點到平面的距離等于，因為，則，又，所以，因為平面，平面，平面，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的平面角為，則，所以平面與平面夾角的正切值為．9．（20