【實(shí)用資料】三重積分的計(jì)算及重積分的應(yīng)用PPT

三重積分的計(jì)算及重積分的應(yīng)用（優(yōu)選）三重積分的計(jì)算及重積分的應(yīng)用把積分化為三次積分,其中

由曲面提示:積分域?yàn)樵郊捌矫嫠鶉傻拈]區(qū)域.P183題7練習(xí)題

計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:利用柱坐標(biāo)原式繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183題8(3)三重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性.2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)變量的奇偶性.只有當(dāng)積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性相匹配時(shí),才能簡(jiǎn)化.利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分的計(jì)算：其它情形依此類推.三重積分計(jì)算的簡(jiǎn)化P182題1(1)

設(shè)有空間閉區(qū)域

則有（）例1

解典型例題

例2

解利用球面坐標(biāo)例3

解在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中第四節(jié)一、立體體積三、物體的質(zhì)心重積分的應(yīng)用

第十章四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、曲面的面積五、物體的引力二重積分的元素法將定積分的元素法推廣到二重積分，可得二重積分的元素法：若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性：

并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域dσ時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ內(nèi)。f(x,y)dσ稱為所求量U的元素，記為dU，則所求量的積分表達(dá)式為：（即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），一、立體體積一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面

方程;第二步:求

與S2的交線在xOy面上的投影,寫(xiě)出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xOy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面例2.求半徑為a

的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為二、曲面的面積曲面方程：D:有界閉區(qū)域求曲面的面積AP1751，2，3第三步:求體積V.設(shè)物體占有空間區(qū)域,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)樗鶉Ⅲw的體積V.(A為D的面積)若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性：采用“分割，近似，求和，取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為在xOy面上的投影,P15510將分成n小塊,球冠在xoy面上的投影區(qū)域：設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則(見(jiàn)P99)故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且曲面面積其中D是曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：（1）求曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域D（2）在區(qū)域D上計(jì)算二重積分：同理可得設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：將定積分的元素法推廣到二重積分，可得二重積分的元素法：若求xOy面上的平面薄片D,引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得求半徑為a的球面與半頂角為的求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑采用“分割，近似，求和，取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,將定積分的元素法推廣到二重積分，可得二重積分的元素法：消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)（2）在區(qū)域D上計(jì)算二重積分：則面積A可看成曲面上各點(diǎn)物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為例3求球面被平面所截的球冠的面積。解：球冠在xoy面上的投影區(qū)域：半球面面積：球面面積：例4求圓錐面被圓柱面所截部分的面積。投影區(qū)域：所求曲面：作業(yè)P15510P1751，2，3習(xí)題課三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“分割，近似，求和，取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心將分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)同理可得則得形心坐標(biāo)：若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x

軸的靜矩—對(duì)y

軸的靜矩例5.求位于兩圓和的質(zhì)心（形心）。

解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片z=0yxzo

柱面坐標(biāo)a...用哪種坐標(biāo)？例6..四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)平面有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)該質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量xoy平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量TheMomentofInertiaofaLamina如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.空間有界閉區(qū)域上物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域

,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例8.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))五、物體的引力

,G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域

,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為則上式改為D