湖南省長(zhǎng)沙市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.設(shè)，定義P※Q＝，則P※Q中元素的個(gè)數(shù)為

.參考答案：123.已知全集U=R，集合為為A. B. C. D.參考答案：B略4.甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后，甲說(shuō)：“丙被錄用了”；乙說(shuō)：“甲被錄用了”；丙說(shuō)：“我沒(méi)被錄用”.若這三人中僅有一人說(shuō)法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是（

）A.丙被錄用了

B.乙被錄用了

C.甲被錄用了

D.無(wú)法確定誰(shuí)被錄用了參考答案：C5.△ABC中，“角A，B，C成等差數(shù)列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)等差數(shù)列和兩角和的正弦公式，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若A，B，C成等差數(shù)列，則A+C=2B，∴B=60°，若，則sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差數(shù)列是成立的充分不必要條件．故選：A．6.已知x，y滿足不等式組，則的最大值與最小值的比值為(

)A.

B.2

C.

D.參考答案：B因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2,2）取得最大，過(guò)點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2.

7.的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（x）中被開(kāi)方數(shù)大于或等于0以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）的定義域．【解答】解：∵f（x）=，被開(kāi)方數(shù)大于0，∴l(xiāng)og0.5（4x﹣1）≥0，又指數(shù)函數(shù)y=log0.54x﹣1是減函數(shù)，∴0＜4x﹣1≤1，解得＜x≤，∴f（x）的定義域?yàn)椋ǎ琞；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：答案:D9.函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.設(shè)向量，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝

參考答案：812.下列各小題中，是的充分必要條件的是___________．①或有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；②是偶函數(shù)；③；④；參考答案：①④

不成立,故不合題意；③當(dāng)成立；取，，，,故命題不成立,不符合題意；④當(dāng)成立,符合題意,故正確的有①④,故答案為①④.考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性；2、三角函數(shù)的性質(zhì)及集合的性質(zhì).13.若關(guān)于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一個(gè)正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】原不等式為：2﹣x2＞|x﹣a|，我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系畫(huà)出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和y=|x|兩個(gè)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，易得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：不等式為：2﹣x2＞|x﹣a|，且0＜2﹣x2．在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和y=|x|兩個(gè)函數(shù)圖象，將絕對(duì)值函數(shù)y=|x|向左移動(dòng)，當(dāng)右支經(jīng)過(guò)（0，2）點(diǎn)，a=﹣2；將絕對(duì)值函數(shù)y=|x|向右移動(dòng)讓左支與拋物線y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切時(shí)，由，可得x2﹣x+a﹣2=0，再由△=0解得a=．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，）．故答案為：（﹣2，）．14.已知=（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，則λμ=．參考答案：【考點(diǎn)】共線向量與共面向量．【分析】利用向量平行的性質(zhì)得（λ+1）×2=2λ×6，且2λ（2μ﹣1）=0，由此能求出λμ的值．【解答】解：∵=（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，∴（λ+1）×2=2λ×6，解得λ=．并且2λ（2μ﹣1）=0，解得μ=，∴λμ=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量平行的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.已知，為單位向量，，且，則________．參考答案：【分析】根據(jù)向量的夾角公式及數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，又，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義，運(yùn)算法則，性質(zhì)，向量的夾角公式，屬于中檔題.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性B12【答案解析】（，）解析：解：∵y′=﹣cosx，令y′＞0，即cosx＜，解得：＜x＜，故答案為：（，）．【思路點(diǎn)撥】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出即可17.數(shù)列中，若，（），則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：x1+x2＞1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，求導(dǎo)，令f′（x）＞0求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即當(dāng)x=時(shí)，f（x）取極值；（2）求出個(gè)零點(diǎn)x1，x2，得到x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，f（x）=lnx+x+，（x＞0），求導(dǎo)，f′（x）=+﹣=，令f′（x）=0，解得：x=或x=﹣1（舍去），當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞，當(dāng)f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為2﹣ln3；（2）證明：根據(jù)題意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+﹣a，（x＞0），因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，∴l(xiāng)nx1+﹣a=0，lnx2+﹣a=0，兩式相減，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=．那么x1=，x2=令t=，其中0＜t＜1，則x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），則h′（t）=，∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，則＞1，故x1+x2＞1．19.已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，即可求f（x）的最小值；（2）x∈R時(shí)，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，∴f（x）的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)取得最小值．（2）∵x∈R時(shí)，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，∴0≤a≤6．20.(本題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為，(I) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(II)

設(shè)曲線C與直線交于A、B兩點(diǎn)，若，求和|AB|.參考答案：(Ⅰ)……………….2分（2）直線的方程代入得，……4分，由參數(shù)的幾何意義得..………….10分21.(本小題滿分12分）有兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4．（1）甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，乙從另一個(gè)箱子摸出一個(gè)球，誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），求甲獲勝的概率；（2）摸球方法與（1）同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝，所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？參考答案：解：（1）用（表示甲摸到的數(shù)字，表示乙摸到的數(shù)字）表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16個(gè)；-----3分設(shè)：甲獲勝的的事件為A，則事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6個(gè)；則

-------------------6分（2）設(shè)：甲獲勝的的事件為B，乙獲勝的的事件為C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4個(gè)；則

-------------------------8分

----------------------10分，所以這樣規(guī)定不公平.

-----------------11分答：（1）甲獲勝的概率為；（2）這樣規(guī)定不公平.

-----------------------12分略22.已知函數(shù)g（x）=．（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的圖象在x=處的切線方程；（Ⅱ）求y=g（x）的最大值；（Ⅲ）令f（x）=ax2+bx﹣x?（g（x））（a，b∈R）．若a≥0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（），求出f（），由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)求y=g（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求得函數(shù)的極值，得到最大值；（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0和a＞0及b的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ），，，∴切線方程為，即2e2x﹣y﹣3e=0；（Ⅱ）定義域x∈（0，+∞），由=0，得x=e，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．∴x=e是極大值點(diǎn)，極大值為．∵在x∈（0，+∞）上，極值點(diǎn)唯一，∴是最大值；（III）由f（x）=ax2+bx﹣lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=．①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=．若b≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．若b＞0，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．當(dāng)x＞時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是（）．②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得2ax2