函數(shù)的連續(xù)性

1是微小的。下面我們就專門來討論這種概念。改變量：設(shè)變量u從它的一個初值u變到終值u，終值與初值的差200定理f(x)在x0處連續(xù)的充要條0Δxx喻xΔx喻0常f(x)-limf(x)=000x喻x=f(x)在點x連續(xù)的要求⑴f(x)在點x有意義，0即有確定的函數(shù)值f(x)；⑵limf(x)存；000x喻x0當(dāng)f(x)在x處有極限時，0而當(dāng)f(x)在x處連續(xù)時，0f(x)在x處可無定義，也可有l(wèi)imf(x)豐f(x)。f(x)在x一定有意義并且lim喻0x)=f(x)必成0x喻x0定義如果limf(x)=f(x+0)=f(x)，則稱f(x)在x處右連續(xù)；如果limf(x)=f(x_xf(x)，則稱f(x)在x處左連續(xù)。x喻x所以f(x)在x處連續(xù)亦可用以下定義描述。f(x)在某區(qū)間連續(xù)0⑴f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)是指vxE(a,b)，f(x)在x處連續(xù)。注意：證明分?jǐn)帱c處的連續(xù)性時一定要用定義若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，則稱(a,b)為f(x)的連續(xù)區(qū)間。y1Oxx喻0_x喻0_x喻0_x喻0_2x喻x00)，若f(x)在點x處不連續(xù)，則稱x為f(x)的一個間斷點。函數(shù)間斷的幾f(x)的形在x=x處斷開。04xx222x喻22xyx喻0-x喻0y函數(shù)函數(shù)f(x)在x處產(chǎn)生間斷點是由于以下三種情況：⑴f(x)在x無意義，即f(x)不存在；00x喻x0間斷點。進(jìn)而，設(shè)x為f(x)的第一類間斷點，如果還有f(x+0)=f(x-0)，則稱x為f(x)的可間斷點；如果有f(x+0)豐f(x-0)，稱x為fx)的跳x0-0)l第二類間斷點：除去第一類均為第二類間斷點yy25yx-limsin--x喻0xxx通常稱其為振蕩間斷點，見圖因為y因為y在x-1x喻1x喻1x喻1x喻1x-1yyxxl2-x,1fx2-3xx2-1x連續(xù)函數(shù)的和仍然是連續(xù)函數(shù)有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。以兩個函數(shù)為例，設(shè)f(x)，g(x)均在x點連續(xù)，考慮F(x)=f(x)0由limf(x)=f(x)，limg(x)=g(x)以及和的極限等于極限的和，有x喻x0limF(x)=xf(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)xx0x喻x0所以f(x)+g(x)在x0fx喻x0(x)m,連續(xù)函數(shù)的積仍然是連續(xù)函數(shù)定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。證明以兩個函數(shù)為例，設(shè)f(x)，g(x)均在x點連續(xù)，考慮F(x)=f(x)0口注意到limf(x)=f(x)，limg(x)=g(x)以及積的極限等于極限的積，我x喻xlimF(x)=limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)x喻x0xx0x喻x0，0limf1(x)f2(x)fm(x)=limf1(x)limfm(x)x喻x0x)fx0連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù)證明由limf(x)=f(x)，limg(x)=g(x)以及分母不為零時，商的極限0f(x)lim0x喻x00f(x)limf(x)f(x) 0)，00x喻x07單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也單調(diào)、連續(xù),y-y}，y00解由于y=sinx在-,上連續(xù)且單增，所以反函數(shù)y=arcsinx在()函數(shù)連續(xù)時，極限符號可和函數(shù)符號交換次序。08000x喻x0x喻0]]x解x喻xxxx()三角函數(shù)、反三角函數(shù)在前邊我們已證明了它們在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)()有理函數(shù)，即兩個多項式之商R(x)=，前邊已證R(x)在其定義0xN又因為lima-n=lim1an1x單xxx喻0-綜合以上兩方面得limaxx喻00x喻00x喻0limax=limax0ax_x0x喻xx喻xx0limax_x00x喻x000aayyar2xar2_ar10xax2x喻0x喻_3limf(x)。x喻2tx喻t喻_2tπx喻4()limln(2cos3x)limsin2xx喻x喻x喻x喻x喻0xx喻0xxx喻0xx喻0我們在前面已經(jīng)討論過了函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它會有很多很好的性質(zhì)，而所謂在閉區(qū)間上連續(xù)，是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，在左端點a右連續(xù)。下來}O(OxxyxxxxyyMMA_εx定理若f(xMMA_εx則f(x)在[a,b]上一定能取到最值，X取得最大值；在x22xxe(0,1)例已知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增且連續(xù)，求f(x)在[a,b]上的最值點和值f(a)，最大值f(b)。定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0（即f(a)與f(b)2a+b2a+b2,定理就已經(jīng)得證。b_a2ζ55例已知f(x)和g(x)在[a,b]連續(xù)，且f(a)00證明慮函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，則F(x)Ob1則bb-a─2,且f(a)<0，22