第二節(jié)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算講義

第二節(jié)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算考點(diǎn)梳理空間向量的夾角：已知兩個非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角，記作.規(guī)定，并且.向量與的夾角，記作，如下圖：若，則稱與互相垂直，記作：.空間向量的數(shù)量積：定義：已知空間兩個向量，，則叫做向量，的數(shù)量積，記作，即．（1）常用結(jié)論(，為非零向量)①(為單位向量)；②；③或；④；⑤．（2）空間向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：①；②（交換律）；=3\*GB3③（分配律）．感悟與升華（1）空間向量數(shù)量積的有關(guān)概念、運(yùn)算與性質(zhì)和平面向量數(shù)量積的相關(guān)概念、運(yùn)算與性質(zhì)是一樣的，只是從二維空間推廣到了三維空間,即多了一個豎坐標(biāo)而已；（2）和平面向量的數(shù)量積在平面三角問題中的應(yīng)用一樣，我們同樣可以利用空間向量的數(shù)量積求解空間距離和夾角等問題.例題分析一、數(shù)量積及其運(yùn)算：例1、（1）（2023·全國·高三練習(xí)）（多選題）設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD解：對于A：，故A正確；對于B：因為向量不能做除法，即無意義，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：AD（2）（2022·四川·南部縣二中高二練習(xí)）已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=____.【答案】【詳解】∵空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，∴，∴.（3）（2023·湖南·益陽平高學(xué)校高二期中）已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項.【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．二、利用空間向量的數(shù)量積求異面直線所成的角（1）直線的方向向量：在直線上取非零向量，與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量．（2）異面直線所成的角：設(shè)、分別是兩條異面直線的方向向量，直線所成的角為,；兩向量的夾角為，，則.例2、（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，，，，為中點(diǎn).(1)用空間的一個基底表示，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【分析】（1）根據(jù)題意空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量的基本定理分析運(yùn)算；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，.（2）由題意可得：，因為，，，可得，又因為異面直線夾角為銳角，所以異面直線與所成角的余弦值.三、利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度1、空間向量的長度（模）向量的模：.推廣：；.2、利用向量求線段的長度將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用求解.例3、（2023·湖北·赤壁一中高二聯(lián)考）在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，則（

）A．5 B．7 C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，，，再結(jié)合向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，，，，可得：，，，因為，可得，所以，即.故選：D.★綜合運(yùn)用能力提高例4、（2023秋·山東濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高二期末）（多選）金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點(diǎn)處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有，若正四面體的棱長為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】沿四面體的兩條側(cè)棱和高，切出一塊幾何體如下圖，計算所需線段長度，即可逐一進(jìn)行計算與判斷.【詳解】如下圖所示，O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，OM是下底面內(nèi)切圓的半徑，則，，，對于A：由于，所以，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，故B正確；對于C：因為底面BCD，底面BCD，所以，所以，故C正確；對于D：，故D正確.故選：BCD點(diǎn)睛：正四面體對棱中點(diǎn)的連線必過正四面體的中心.例5、（2022·深圳市外語學(xué)校高二期末）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是上底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，求異面直線與所成角的取值范圍.【分析】過作平面平面，得到在與平面的交線上，連接，證得平面平面，得到點(diǎn)在上，設(shè)正方體的棱長為，且，（），得到，，設(shè)與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】過作平面平面，因為點(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點(diǎn)在線段上，設(shè)正方體的棱長為，且，則，，