線性代數(shù) 習題答案 重大第5章習題答案

習題5.1參考答案1.用克萊姆法則求解下列方程組：（1）解：由克拉默法則可知，其解為：（2）解：由克拉默法則可得其解為：（3）解：略。2.已知齊次線性方程組有非零解，求的值。解：又因為有非零解，則有所以可得：時方程組有非零解。3.已知齊次線性方程組有非零解，求的值。解：所以當時，線性方程組有非零解。4.線性方程組有唯一解的條件是什么？并求唯一解。解：又故當時方程組有唯一解。5.已知齊次線性方程組有非零解，其中為常數(shù)，求的值。解：所以或習題5.2參考答案1.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：（1）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)（2）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（4）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)3.設(shè)有齊次線性方程組試求為何值時，該方程組有非零解，并求出其通解。解：對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，可得當時，故方程組有非零解，其同解方程組為：由此得出其基礎(chǔ)解系為：其通解為：為任意常數(shù)。當時，可得，當時，故方程組也有非零解，其同解方程組為：可得其通解為：為任意常數(shù)。4.設(shè)矩陣(1)求方程組的一個基礎(chǔ)解系。(2)求滿足的所有矩陣解：（1）對系數(shù)矩陣實施初等行變換可得：則方程組的一個基礎(chǔ)解系為：（2）對實施初等行變換可得：記則的通解為：為任意常數(shù)。的通解為：為任意常數(shù)。的通解為：為任意常數(shù)。于是，所求矩陣為：為任意常數(shù)。5.設(shè)矩陣是階，它的個行向量是某個元齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，是一個階可逆矩陣，證明：的行向量組也構(gòu)成該齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系。解：因為矩陣是階，它的個行向量是某個元齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，所以的行向量組線性無關(guān)，即又設(shè)該線性方程組為則因為可逆，所以又的矩陣，所以行向量組線性無關(guān)。設(shè)則即的各行均為的行向量組的線性組合，而的行向量組為線性方程組為的基礎(chǔ)解系，所以的行向量組也滿足前面已經(jīng)證明故構(gòu)成線性方程組的基礎(chǔ)解系。6.設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值以及所有的公共解。解：因為兩個方程組有公共解，聯(lián)立兩個方程組得到新的方程組：對其增廣矩陣進行初等行變換，可得：因為方程組有解，故系數(shù)矩陣得秩應(yīng)該等于增廣矩陣得秩，所以得：即或者當時，其通解為：為任意常數(shù)。當時，其解為：習題5.3參考答案1.求下列非齊次線性方程組的通解：（1）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（2）解：原方程組的同解方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（3）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（4）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。2.已知是線性方程組的解，求方程組的通解。解：由系數(shù)矩陣中有一個二階非零子式，故又是齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)解，而有即從而可得所以方程組的通解為：為任意常數(shù)。3.已知非齊次線性方程組有三個線性無關(guān)解。（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩等于（2）求的值以及方程組的通解。解：（1）設(shè)是該線性方程組的三個線性無關(guān)解，則是對應(yīng)的齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)解，因而即又因為系數(shù)矩陣有一個二階子式于是從而可得（2）因為故可得到此時增廣矩陣為：可得方程組的通解為：為任意常數(shù)。4.設(shè)（1）求矩陣的行列式。（2）已知線性方程組有無窮多解，求的值以及的通解。解：（1）（2）已知線性方程組有無窮多解，故可得當時，因為故線性方程組無解，不合題意，舍去。當時，可得方程組的通解為：為任意常數(shù)。5.設(shè)非齊次線性方程組與同解，求的值。解：可求出方程組的一個特解為：由于兩個方程組同解，故也滿足第一個方程組，將其代入第一個方程組可得：驗證，當時，兩個方程組有相同的解，其通解為：為任意常數(shù)。6.已知求（1）取何值時，不能由線性表示。（2）取何值時，可由線性表示，并寫出表達式。解：（1）設(shè)有常數(shù)使得則有方程組對方程組的增廣矩陣實施初等行變換可得：所以當時，方程組無解，從而不能由線性表示。（2）當時，方程組有解，從而能由線性表示。若時，原方程組可變?yōu)榭傻梅匠探M的通解為：從而為任意常數(shù)。若若時，可得方程組的解為：從而7.設(shè)一個四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是的解，且求的通解。解：因為是的解，且所以是齊次線性方程組的解。又因為四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，故其對應(yīng)的齊次線性方程組的秩也為三，其對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為一個，所以可得的通解：為任意常數(shù)。8.設(shè)是非齊次線性方程組的一個解，是其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明：（1）向量組線性無關(guān)。（2）向量組線性無關(guān)。解：（1）設(shè)有常數(shù)使得在上式兩端同時左乘矩陣可得：又由已知條件可知是其對應(yīng)的