北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （二次根式）實(shí)數(shù)教育教學(xué)課件(第3課時(shí))

第二章

實(shí)數(shù)2.7二次根式第3課時(shí)

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)1.掌握二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則.（重點(diǎn)）2.會(huì)運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)問題引入

如果梯形的上、下底長(zhǎng)分別為cm,

cm，高為

cm，那么它的面積是多少？導(dǎo)入新課問題1

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則法則分別是什么?問題2多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則是什么?

m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb復(fù)習(xí)引入(ma+mb+mc)÷m=a+b+c分配律

單×多

轉(zhuǎn)化

前面兩個(gè)問題的思路是：思考

若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每個(gè)同學(xué)任選一組)，然后對(duì)比歸納，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

單×單

二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算與整式運(yùn)算一樣，體現(xiàn)在：運(yùn)算律、運(yùn)算順序、乘法法則仍然適用.例1計(jì)算：

解：講授新課

二次根式的混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1

二次根式的混合運(yùn)算，先要弄清運(yùn)算種類，再確定運(yùn)算順序：先乘除，再加減，有括號(hào)的要算括號(hào)內(nèi)的，最后按照二次根式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行.歸納解：此處類比“多項(xiàng)式×多項(xiàng)式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.解：(1)原式(2)原式【變式題】計(jì)算：

有絕對(duì)值符號(hào)的，同括號(hào)一樣，先去絕對(duì)值，注意去掉絕對(duì)值后，得到的數(shù)應(yīng)該為正數(shù).歸納例2：計(jì)算：解：（1）（2）解法一：（3）你還有其他解法嗎？解法二：原式=解：(4)原式=思考：還可以繼續(xù)化簡(jiǎn)嗎？為什么？

如果算式當(dāng)中有個(gè)別二次根式化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式仍不能與其它最簡(jiǎn)二次根式合并同類項(xiàng)，結(jié)果中可保留，不必化為最簡(jiǎn)式.提醒問題：化簡(jiǎn)，其中a=3，b=2.你是怎么做的？解法一：把a(bǔ)=3，b=2代入代數(shù)式中，原式=解法二：原式=把a(bǔ)=3，b=2代入代數(shù)式中，原式先代入后化簡(jiǎn)先化簡(jiǎn)后代入哪種簡(jiǎn)便？二次根式的化簡(jiǎn)求值知識(shí)點(diǎn)2

解二次根式化簡(jiǎn)求值問題時(shí)，直接代入求值很麻煩，要先化簡(jiǎn)已知條件，再用乘法公式變形代入即可求得．方法總結(jié)例3：已知，求分析：先化簡(jiǎn)已知條件，再利用乘法公式變形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.解：變式訓(xùn)練：已知的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,求a2+b2的值.解：思考：如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，試求圖中梯形ABCD的面積.你有哪些方法？二次根式的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)3可把梯形ABCD分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，如圖所示.方法1：分割法S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3通過補(bǔ)圖，可把梯形ABCD變成一個(gè)大梯形，如圖所示.方法2：補(bǔ)圖法S1S2S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2EF過點(diǎn)D作AB邊的高DE，如圖所示.方法3：直接法S梯形ABCDE歸納：利用二次根式可以簡(jiǎn)單便捷的求出結(jié)果．例4：教師節(jié)就要到了，李欣同學(xué)準(zhǔn)備做兩張大小不同的正方形賀卡送給老師以表示祝賀，其中一張面積為288平方厘米，另一張面積為338平方厘米.如果用彩帶把賀卡鑲邊會(huì)更漂亮，她現(xiàn)在有1.5米的彩帶，請(qǐng)你幫忙算一算她的彩帶夠不夠用.分析：可以通過兩個(gè)正方形的面積分別計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步求出兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和，與1.5米比較即可得出結(jié)論.解：賀卡的周長(zhǎng)為答：李欣的彩帶夠用.

本題是利用二次根式的加法來(lái)解決實(shí)際生活中的問題，解答本題的關(guān)鍵在于理解題意并列出算式．方法總結(jié)

1.下列計(jì)算中正確的是（）B2.已知試求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把代入上式得原式=

隨堂練習(xí)

（1）；（2）；（3）.解：（1）（2）3.計(jì)算.解：（3）

＝10.4.在一個(gè)邊長(zhǎng)為cm的正方形內(nèi)部，挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為cm的正方形，求剩余部分的面積.解：由題意得，即剩余部分的面積是5.(1)已知，求的值；解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)(2)已知，求的值.解：6.閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：方法二：能力提升：

(1)請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)：(2)化簡(jiǎn)：解：(1)

二次根式混合運(yùn)算乘法公式化簡(jiǎn)求值分母有理化化簡(jiǎn)已知條件和所求代數(shù)式

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab課堂小結(jié)第二章

二次根式2.7二次根式第1課時(shí)

觀察下列代數(shù)式：可以發(fā)現(xiàn)，這些式子我們?cè)谇懊娑家褜W(xué)習(xí)過，它們的共同特征是：都含有開平方運(yùn)算，并且被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù).1知識(shí)點(diǎn)二次根式的定義知1－講形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a為整式或分式，a叫做被開方式．特點(diǎn)：①都是形如的式子，②a都是非負(fù)數(shù).知1－講例1

判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．

導(dǎo)引：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，實(shí)質(zhì)是看它是否具備二次根式定義的條件，緊扣定義進(jìn)行識(shí)別．解：(1)不是．理由：因?yàn)榈母笖?shù)是3，所以不是二次根式．(2)是．理由：因?yàn)椴徽搙為何值，都有x2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．知1－講(3)不一定是．理由：當(dāng)－5a≥0，即a≤0時(shí)，是二次

根式；當(dāng)a＞0時(shí)，－5a＜0，則不是二次根

式．所以不一定是二次根式．(4)不是．理由：(a≥0)只能稱為含有二次根式的代

數(shù)式，不能稱為二次根式．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知1－講(5)不一定是．理由：當(dāng)a＝4，即a－4＝0時(shí)，是二次根式；當(dāng)a≠4時(shí)，－(a－4)2＜0，所以不是二次根式．所以不一定是二次根式．(6)是．理由：因?yàn)閤2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．(7)是．理由：因?yàn)閨x|≥0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）二次根式的識(shí)別方法：判斷一個(gè)式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時(shí)具備二次根式的兩個(gè)特征：(1)含根號(hào)且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù)．知1－講例2

當(dāng)x取怎樣的數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？導(dǎo)引：要使二次根式有意義，則被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．解：(1)欲使有意義，則必有2x－6≥0且x－5≠0，所以x≥3且

x≠5.(2)欲使有意義，則必有x－2≥0且5－x≥0，所以2≤x≤5.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講求式子有意義時(shí)字母的取值范圍的方法：第一步，明確式子有意義的條件，對(duì)于單個(gè)的二次根

式只需滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；對(duì)于含有多個(gè)二次

根式的，則必須滿足多個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為非負(fù)數(shù)；

對(duì)于零指數(shù)，則必須滿足底數(shù)不能為零．第二步，利用式子中所有有意義的條件，建立不等關(guān)

系．第三步，由不等關(guān)系得出字母的取值范圍．1下列式子一定是二次根式的是()(中考·武漢)若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤2知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2CC2知識(shí)點(diǎn)二次根式的性質(zhì)知2－導(dǎo)做一做（1）計(jì)算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根據(jù)上面的猜想，估計(jì)下面每組兩個(gè)式子是否相等，借助計(jì)算器驗(yàn)證，并與同伴進(jìn)行交流.知識(shí)點(diǎn)知2－講二次根式的性質(zhì)：

積的算術(shù)平方根，等于________________;商的算術(shù)平方根，等于________________;算術(shù)平方根的積算術(shù)平方根的商知識(shí)點(diǎn)知2－講例3化簡(jiǎn)：（來(lái)自教材）解：知識(shí)點(diǎn)知2－講例4〈易錯(cuò)題〉化簡(jiǎn)：

導(dǎo)引：應(yīng)用積的算術(shù)平方根性質(zhì)的前提是乘積的算術(shù)平方根，如不是，則需將它們轉(zhuǎn)化為積的形式，其次是每個(gè)因數(shù)(式)必須是非負(fù)數(shù)．(1)(2)中被開方數(shù)為數(shù)，(3)(4)中被開方數(shù)是含有字母的單項(xiàng)式，都可利用

進(jìn)行化簡(jiǎn)．知識(shí)點(diǎn)知2－講解：（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知識(shí)點(diǎn)知2－講商的算術(shù)平方根再探索(1)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的除法法則；(2)應(yīng)用商的算術(shù)平方根的前提條件是商中被除式是非負(fù)數(shù)，除式是正數(shù)；(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的作用是化簡(jiǎn)二次根式，將分母中的根號(hào)化去．知識(shí)點(diǎn)知2－講分母有理化(1)定義：化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化；(2)依據(jù)：分式的基本性質(zhì)及(a≥0)；(3)方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式．1(中考·荊門)當(dāng)1＜a＜2時(shí)，代數(shù)式的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）B下列結(jié)果正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2C3知識(shí)點(diǎn)最簡(jiǎn)二次根式知3－講1.定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．最簡(jiǎn)二次根式必須滿足：(1)被開方數(shù)不含分母，也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)(式)；(2)被開方數(shù)中每個(gè)因數(shù)(式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個(gè)因數(shù)(式)的指數(shù)都是1.知識(shí)點(diǎn)知3－講2．將一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法步驟：(1)“一分”，即利用因數(shù)(式)分解的方法把被開方數(shù)的分子、

分母都化成質(zhì)因數(shù)(式)的冪的乘積形式；(2)“二移”，即把能開得盡方的因數(shù)(式)用它的算術(shù)平方根代

替，移到根號(hào)外，其中把根號(hào)內(nèi)的分母中的因式移到根號(hào)外

時(shí)，要注意應(yīng)寫在分母的位置上；(3)“三化”，即將分母有理化——化去被開方數(shù)中的分母．

注意：(1)分母中含有根式的式子不是最簡(jiǎn)二次根式；(2)去根號(hào)時(shí)，忽視隱含條件，誤將負(fù)數(shù)移到根號(hào)外；(3)去根號(hào)后漏掉括號(hào)．知識(shí)點(diǎn)知3－講例5

下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是最簡(jiǎn)二次根式？不是最簡(jiǎn)二次根式的，請(qǐng)說明理由．解：(1)不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_方數(shù)中含有分母．(2)是最簡(jiǎn)二次根式．(3)不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_方數(shù)是小數(shù)(即含有分母)．(4)不是最簡(jiǎn)二次