北師大版九年級數(shù)學上冊 （相似三角形判定定理的證明）圖形的相似 教學課件

4.5相似三角形判定定理的證明

學習目標新課引入新知學習課堂小結(jié)12341.會證明相似三角形判定定理；2.運用相似三角形的判定定理解決相關問題.學習目標1.判定兩個三角形全等的方法有哪些？2.判定兩個三角形相似的方法有哪些？新課引入(1)

SSS；(2)

SAS；(3)

AAS；(4)

ASA；(5)

HL(1)

兩角分別相等的兩個三角形相似；(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊成比例的兩個三角形相似.

如何對三角形相似的三條定理進行證明？新知學習命題1

兩角分別相等的兩個三角形相似.命題2

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.命題3

三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′.命題1

兩角分別相等的兩個三角形相似.C′ABCA′B′DE證明：在△ABC的邊AB(或它的延長線)上截取AD=A′B′，過點D作BC的平行線，交AC于點E，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例).過點D

作AC

的平行線，交BC

于點F，則(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例).∴.∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形.∴DE=CF.∴.ABCDEC′A′B′F∴.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ABCDEC′A′B′F命題2兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求證：△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE證明：在△ABC

的邊AB(或它的延長線)上截取AD=A′B′，過D

作BC

的平行線，交AC

于點E，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似).∴.∵，AD=A′B′，∴∴∴AE=A′C′.而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE命題3三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，.求證：△ABC∽△A′B′C′.證明：在△ABC

的邊AB，AC

(或它們的延長線)上分別截取AD=A′B′，AE=A′C′，連接DE.∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴C′ABCA′B′DE而∠BAC=∠DAE，∴△ADE∽△ABC(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似).∴.又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′.ABCA′B′DEC′∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.判斷題：(1)所有的等邊三角形都相似.()(2)所有的直角三角形都相似.()(3)所有的等腰三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()針對訓練√××√2.如圖，AD⊥BC

于點D，CE⊥AB

于點E

，且交AD

于點F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDFBCAEDFBCEDFBAEDFBCAEDFDCFEA3.已知：如圖，在四邊形ABCD

中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD

的長.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=.∴.

又∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴.∴AD=.ABCD課堂小結(jié)相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.定理的運用定理證明定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.實踐與拓展材料閱讀：如圖，圓O上有四個點A，B，C，D，同一條弧所對的圓周角相等；例如：圓上短弧AD所對的圓周角∠C=圓周角∠B.解決問題：如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P.求證：PA·PB=PC·PD.證明：∵∠CAP

與∠CDB

都是所對的圓周角，∠ACD

與∠ABD

都是所對的圓周角，∴∠CAP=∠CDB，∠ACD=∠ABD.∴△PAC

∽△PDB.∴.即PA·PB=PC·PD.相似三角形判定定理的證明北師大版九年級上冊

AC'B'A/

CB相似三角形的判定定理有哪些？(1)兩角分別相等的兩個三角形相似；(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊成比例的兩個三角形相似．課前回顧探究1.兩角分別相等的兩個三角形相似.ABC求證：△ABC∽△A′B′C′.如圖：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，你能證明嗎？可要仔細喲！A'B'C'探究1ABCA'B'C'證明：在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A'B',過點D作BC的平行線，交AC于點E,則∠ADE=∠B,∠AED=∠C，DE

(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例).F過點D作DF∥AC，交BC于點F，則(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例).∴探究1∵DE∥BC，DF∥AC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ABC∽△A'B'C'∴△ADE≌△A'B'C'ABCA'B'C'DEF∴四邊形DFCE是平行四邊形。∴DE=CF∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’，AD=A'B',∴△ABC∽△A'B'C'.探究1∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA'B'C'DEF推理形式：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.角角AA√總結(jié)ABCED如圖，在△ABC中，

D、E分別是AB、AC延長線上的點，且

DE∥BC，試說明△ABC與△ADE相似．證明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（對頂角）∴△ADE∽△ABC.（兩組對應角分別相等的兩個三角形相似.）學以致用兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似.邊角邊SAS√求證：△ABC∽△A'B'C'你能證明嗎？可要仔細喲！在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，ABCA'B'C'探究2證明:在線段AB(或它的延長線)上截取AD=A'B',過點D作DE//BC,交AC于點E,∴△ADE∽△ABCABCA'B'C'DE，AD=A'B'而∠A=∠A'∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'∴AE=A'C'探究2相似三角形的判定定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.在△ABC和△A'B'C'中,∴△ABC∽△A’B’C’∠A=∠A’,推理形式：ABCA'B'C'總結(jié)如圖矩形ABCD是由三個正方形ABEG,GEFH,HFCD組成的,找出圖中的相似三角形.解:△AEF∽△CEA.ABCDEFGH∵∠AEF=∠CEA=135°.∴△AEF∽△CEA.理由:設小正方形的邊長是1,由勾股定理得學以致用你能證明嗎？可要仔細喲！ABCA'B'C'三邊成比例的兩三角形相似.求證：△A′B′C′∽△ABC已知：在△A′B′C′和△ABC中，探究3證明:在線段AB(或它的延長線)上截取AD=A'B',過點D作DE//BC,交AC于點E,∴△ADE∽△ABC又∴△ADE≌△A'B'C'同理∴△A'B'C'∽△ABCABCA'B'C'DE探究3探究3：三邊成比例的兩三角形相似.符號語言：∴△A′B′C′∽△ABC∵在△A′B′C′和△ABC中，邊邊邊SSS√ABCA'B'C'總結(jié)如圖,D,E,F分別是△ABC三邊的中點,求證:△EFD∽△ABCABCDFE證明:∵D是AB的中點,F是AC的中點,同理∴△EFD∽△ABC(三邊對應成比例，兩三角形相似)學以致用直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似.已知：如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊上的高.求證：△ABC∽△CBD∽△ACD你能證明嗎？可要仔細喲！探究4證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∵∠CDA=∠ACB=90°

∵∠A=∠A

∵△ACD∽△ABC

同理△CBD∽△ABC∴△ACD∽△ABC∽△ACD探究4在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形相似判斷：直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似.推理形式：總結(jié)下列說法中錯誤是（）A、三角形的一條中位線截這個三角形所得的三角形與原三角形相似；B、等腰梯形被一條對角線分成的兩個三角形相似；C、直角三角形斜邊上的高把這個三角形分成的兩個三角形與原三角形相似；D、等腰直角三角形底邊上的中線把這個三角形分成的兩個三角形相似．B學以致用如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點，過D，E作直線交AB的延長線于F．求證：△DBF∽△ADF證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴∠C=∠FAD，又∵E為AC的中點，AD⊥BC，∴ED=AC=EC，∴∠C=∠EDC，又∵∠EDC=∠FDB，∴∠FAD=∠FDB，∠F為公共角，∴△DBF∽△ADF，學以致用1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．試證明△ABC與△A′B′C′相似．證明：∵

∴

∴△ABC∽△A′B′C′（三邊對應成比例的兩個三角形相似）．實例講解“A”型公共角型公共邊角型雙垂直型三垂直型“X”型蝴蝶型相似三角形的基本圖形方法選擇2．已知：如圖，△ABC中，P是AB邊上的一點，連結(jié)CD，(1)∠ACP滿足什么條件時△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP滿足什么條件時△ACP∽△ABCA

BPC實例講解分析：這是一道探索性題目(1)要使△ACP∽△ABC的條件已有了∠A＝∠A，找∠ACP滿足的條件，只能根據(jù)判斷定理1，即∠ACP＝∠BA

BPC(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP滿足什么條件，只能根據(jù)判定定理2，即實例講解解：(1)∵∠A＝∠A

(2)∵∠A＝∠A△ACP∽△ABC（兩角對應相等，兩三角形相似）

∴當∠ACP＝∠B時，△ACP∽△ABC∴當

時，A

BPC實例講解1、如圖，點E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，則圖中甲、乙、丙三個三角形中相似的是（）A.只有甲與乙B.只有乙與丙C.只有甲與丙D.甲與乙與丙C達標測評解：∵∠AFB=72°，∴∠BAF=18°，∴∠EAF=90°-∠BAF-∠DAE=36°，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF，∵∠ADE=∠AEF=∠ECF，∴△DAE∽△EAF∽△CEF，即甲與乙與丙均相似，故選D．達標測評2、已知：如圖