2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編 概率統(tǒng)計（學生版+解析版）（共2講）

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題56概率統(tǒng)計第一講

1.[2021年吉林預(yù)賽】某食品廠制作了4種不同的精美卡片，在該廠生產(chǎn)的每袋食品中都隨機裝入一張卡

片，規(guī)定：如果收集齊了4種不同的卡片，便可獲得獎品小明一次性購買該種食品6袋，那么小明獲獎的概

率是.

2.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6.

隨機地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨立），所得的點數(shù)依次為的,。2，。3,則事件+

a3l+la3-ail=6”發(fā)生的概率為.

3.（2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷一試】設(shè)的,a2,是1,2,…,10的一個隨機排列，則在

。遂2，。2a3,…，這9個數(shù)中既出現(xiàn)9又出現(xiàn)12的概率為.

4.【2020年福建預(yù)賽】在以凸18邊形的頂點為頂點構(gòu)成的三角形中，任取一個三角形,則所取的三角形與該

18邊形無公共邊的概率為.

5.【2020年甘肅預(yù)賽】從1,2,…,10中任取三個不同的數(shù).則這三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

6.[2020年吉林預(yù)賽】兩人輪流投擲色子，每人每次投擲兩個，第一個使兩個色子點數(shù)之和大于6者為勝，否

則輪到另一個人投擲.則先投擲人獲勝的概率為.

7.【2020年新疆預(yù)賽】由集合｛1,2,3,4,…,10｝中選出5個數(shù)，組成該體合的子集，從這些子集中任取一個，

則取出的子集滿足該子集中的5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11拿概率為.

8.【2019年全國】在1,2,3…，10中隨機選出一個數(shù)“，在-1,-2,-3.…，-10中隨機選出一個數(shù)江則

/+匕被3整除的概率為.

9.【2019年江蘇預(yù)賽】從L2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，并從小到大排成一數(shù)列，此數(shù)列為等比數(shù)列

的概率為—.

答案《

【解析】滿足條件的等比數(shù)列共有4個1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=A=A

10.【2019年上海預(yù)賽】某偵查班有12名戰(zhàn)士，其中報務(wù)員3名現(xiàn)將這12名戰(zhàn)士隨意分成三組，分別有3名、

4名、5名戰(zhàn)士則每一組均有1名報務(wù)員的概率為.

11.[2019年新疆預(yù)賽】隨機取一個由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的

概率為.

12.【2019年貴州預(yù)賽】已知m。{11,13,15,17,19},nG{2000,2001,……,2019}則nf的個位數(shù)是1的概率為一

13.【2018年江蘇預(yù)賽】將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)隨機填入3X3的方格表中，每個小方格恰

填寫一個數(shù)，且所填數(shù)各不相同，則使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)的概率是.

14.[2018年重慶預(yù)賽】從正九邊形中任取三個頂點構(gòu)成三角形，則正九邊形的中心在三角形內(nèi)的概率

15.【2018年安徽預(yù)賽】從1,2,…，10中隨機抽取三個各不相同的數(shù)字，其樣本方差s24l的概率

16.【2018年山東預(yù)賽】甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下，規(guī)定誰先擲出正面朝上為贏；

前一場的輸者，則下一場先擲.若第一場甲先擲，則甲匾得第n場的概率為.

17.【2018年湖北預(yù)賽】一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)

的概率為.

18.【2018年甘肅預(yù)賽】某市公租房房源位于4B,C三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房

子.申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意4位申請人中，恰有2人申請4小區(qū)房源的

概率是.

19.【2018年福建預(yù)賽】從如圖所示的，由9個單位小方格組成的，3x3方格表的16個頂點中任取三個

頂點，則這三個點構(gòu)成直角三角形的概率為.

20.【2018年全國】將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，記為小b,c,d,e,f,則Hc+時是偶數(shù)的概率

為.

21.12018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，記為”,，c,d,e,f,則

。歷+的,是偶數(shù)的概率為.

22.【2018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，記為，b,c,d,e,f,

則時c+d牙是奇數(shù)的概率為.

23.12017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】在平面直角坐標系xOy中，點集K=｛（x,y）\x,y=~\,0,1在

K中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為6的概率是.

24.12017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】在平面直角坐標系，中，點集K=｛（x,y）\x,y=—1,0,1｝.在

K中隨機取出三個點，則這三個點兩兩之間距離均不超過2的概率為.

25.【2017年天津預(yù)賽】正2017邊形4遇2”/2017內(nèi)接于單位圓。，任取它的兩個不同頂點4,勺則編「明〉

之的概率是.

26.【2017年福建預(yù)賽】將8個三好生名額分配給甲、乙.丙、丁4個班級，每班至少1個名額，則甲班恰好分

到2個名額的概率為.

27.【2017年湖北預(yù)賽】六個人圍成一圈玩擲硬幣游戲（硬幣質(zhì)地均勻），每人擲一次硬幣.規(guī)定：硬幣反面朝上

的要表演節(jié)目，正面朝上的不用表演，則沒有兩個表演者相鄰的概率為.

28.【2017年陜西預(yù)賽】袋中裝有2個紅球,3個白球、個黃球，從中任取4個球,則其中三種顏色的球都有的

概率是.

29.[2017年甘肅預(yù)賽】某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽（每人被選中

的機會均等），則在男生甲被選中的情況下,男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是.

30.【2017年貴州預(yù)賽】擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面得1分，出現(xiàn)反面得2分.反復(fù)擲這枚硬幣，則恰好得n分的

概率為.

31.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)正八面體的邊長是1,則其兩個平行表面之間的距離是.

32.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，隨機選取｛1,2，…/｝的非空子集A和民則4nB不是空集的概率是一

33.[2017年廣東預(yù)賽】從各位數(shù)字兩兩不等且和為10的所有四位數(shù)中任取兩個數(shù)，則2017被取到的可能

性為.

34.[2017年廣西預(yù)賽】一名籃球隊員進行投籃練習.若第n次投籃投中，則第n4-1次投籃投中的概率為玄若第

n次投籃不中，則第n+1次投籃投中的概率為|.若該隊員第1次投籃投中的概率為|,則第4次投籃投中的概率

為.

35.[2017年新疆預(yù)賽】在邊長為3的正方形中隨機選取n個點，其中與正方形的頂點距離小于1的點有m個,

則用隨機模擬的方法得到的圓周率兀的試驗值為.

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題56概率統(tǒng)計第一緝

1.【2021年吉林預(yù)賽】某食品廠制作了4種不同的精美卡片，在該廠生產(chǎn)的每袋食品中都隨機裝入一張卡

片，規(guī)定：如果收集齊了4種不同的卡片，便可獲得獎品小明一次性購買該種食品6袋，那么小明獲獎的概

率是.

【答案】gl

【解析】總共有46種可能，其中獲獎的情況可分為兩類，第一類是有3袋食品的卡片相同的獲獎情況（即

AAABCD）有瑤x4!種，第二類是有兩組2袋食品的卡片相同的獲獎情況（即AABBCD）有竿x4!種.

所以概率是愛.

2.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6.

隨機地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨立），所得的點數(shù)依次為由,。243,則事件”|即-a2|+|a2-

a3\+|a3-%|=6”發(fā)生的概率為.

【答案】；

a

【解析】注意到|@i-a2\+\a2-Q3I+1。3-i\=2%蹌%-Zm.map因此，擲得的三個點數(shù)的,a?，的滿足

條件，當且僅當最大數(shù)與最小數(shù)之差為3,即是X，%++3的一個排歹lj,其中％E{1,2,3},d6

{0,123}.

對每個xG{1,2,3},當d=0或d=3時,%，工+d,x+3各有3種不同的排列，當d=1或d=2時,+d,x+3

各有6種不同的排列.

因此，滿足條件的點數(shù)出,。2，03有3x（2x34-2x6）=54種情況.

從而所求概率為號=

6，4

3.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷一試】設(shè)的,。2,…,a]。是12…,10的一個隨機排列，則在

2a3,…，。9。10這9個數(shù)中既出現(xiàn)9又出現(xiàn)12的概率為.

【答案嗎

【解析】一個隨機排列滿足要求當且僅當該排列中1.9兩數(shù)相鄰，且2,6與3,4中至少有一對數(shù)相鄰.現(xiàn)計算這

樣的排列的個數(shù)N.設(shè)這些排列中2,6相鄰的排列有Ni個，3,4相鄰的排列有4個,2,6與3,4兩對數(shù)都相鄰的

排列有N3個.

為計算M，先將1,9兩數(shù)“捆綁”,2,6兩數(shù)“捆綁”，并將它們與剩下的6個數(shù)進行排列，有8!種方式，又考慮到1,9

的次序與2,6的次序，得Ni=2?x8!.

23

類似可知N?=2x8!,N3=2X7!.

由容斥原理，N=M+N2-必=8x(8!-7!)=7x8!.

因此,所求概率為卷=點

4.【2020年福建預(yù)賽】在以凸18邊形的頂點為頂點構(gòu)成的三角形中，任取一個三角形,則所取的三角形與該

18邊形無公共邊的概率為.

【答案】卷

【解析】以凸18邊形的頂點為頂點的三角形個數(shù)為C"

對于凸18邊形的任意一個頂點A,要取與凸18邊形無公共邊的三角形的一個頂點，則三角形的另兩個頂點

B,C不能為頂點4在凸18邊形中的兩條邊的另兩個頂點，只是其他15個頂點中的不相鄰的兩個頂點，共有

C%-14種不同的選取方法.故與原凸18邊形無公共邊的三角形個數(shù)為]x18(Cfs-14).

因此,所求的概率為當上4=裊.

5.【2020年甘肅預(yù)賽】從1,2,…,10中任取三個不同的數(shù).則這三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

【答案】J

O

【解析】設(shè)取出的三個數(shù)為a>b>c.由題意，知a、c奇偶性相同.故p=g髻=M=；.

1206

6.[2020年吉林預(yù)賽】兩人輪流投擲色子，每人每次投擲兩個，第一個使兩個色子點數(shù)之和大于6者為勝，否

則輪到另一個人投擲.則先投擲人獲勝的概率為.

【答案】g

【解析】同時投擲兩個色子點數(shù)和大于6的概率為2=白，從而，先投擲人的獲勝概率為

3612

V+舄￥X5+舄尸X5+…

7112

=——X-----寸=一.

121-—17

144

7.【2020年新疆預(yù)賽】由集合{1,234,…,10}中選出5個數(shù)，組成該體合的子集，從這些子集中任取一個，

則取出的子集滿足該子集中的5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11拿概率為.

【答案】白

【解析】易知由集合{1,2,3,4,…,10}中選出5個數(shù)，組成該體合的子集個數(shù)為：C;o=252；滿足子集中的

5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11的子集個數(shù)，可以這樣考慮：先把數(shù)字分成5組：

{1,10),{2,9},{3,8},{4,7},{5,6)，由于選出的5個數(shù)中，任意兩個數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個數(shù)

字即可，故共可組成2x2x2x2x2=32(個)這樣的子集.

所以概率為:。=三=2.

8.【2019年全國】在1,2,3…，10中隨機選出一個數(shù)。，在-1,-2,-3.…，-10中隨機選出一個數(shù)6,則

a2+b被3整除的概率為.

【答案】急

【解析】若。仁{1，2,4,5,7,8,10},a2=1mod3.

若a?+b三0mod3nb三一1mod3nbe{-1,-4,-7,-10).

若ad[3,6,9(,a2=0mod3.

若a2+b=0mod3=>a=0mod3nbe{-3,-6,—9).

：.a2+b為3的倍數(shù)的概率為歿衿=急

9.【2019年江蘇預(yù)賽】從123,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，并從小到大排成一數(shù)列，此數(shù)列為等比數(shù)列

的概率為—.

答叁

【解析】滿足條件的等比數(shù)列共有4個:1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=白=《.

10.[2019年上海預(yù)賽】某偵查班有12名戰(zhàn)士，其中報務(wù)員3名現(xiàn)將這12名戰(zhàn)士隨意分成三組，分別有3名、

4名、5名戰(zhàn)士則每一組均有1名報務(wù)員的概率為.

【答案】亮

【解析】注意到，將12名戰(zhàn)士隨意分成三組，每組分別有3名、4名、5名戰(zhàn)士的分法共有C；2CjC：=27720

種淇中，滿足每一組均有1名報務(wù)員的分法有C犯為:=7560種.

故每一組均有1名報務(wù)員的概率為篇=青

11.【2019年新疆預(yù)賽】隨機取一個由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的

概率為.

【答案噎

【解析】設(shè)a是滿足題意的8位數(shù)，故知其偶數(shù)位上的1的個數(shù)和在奇數(shù)位上的1的個數(shù)相同，從而在奇

數(shù)位上與偶數(shù)位上的1的個數(shù)可能為1,2,3或4.注意到首位為1,下面分情況討論：

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有1個1,3個0,共有以?Cl=4種可能；

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有2個1,2個0.共有瑪-Cl=18種可能；

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有3個1,I個0,共有C>Cl=12種可能；

(iv)奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有4個1,共有?■酸=1種可能；

合計共有4+18+12+1=35個滿足條件的自然數(shù)n.乂因為0和1構(gòu)成的8位數(shù)共有27=128個，從而概率為

35

128,

12.【2019年貴州預(yù)賽】已知m。{11,13,15,17,19},nd{2000,2001,……,2019}則nf的個位數(shù)是1的概率為一

【答案】|

【解析】3m=11,ne{2000,2001.........2019}時,nf的個位數(shù)都是1,此時有20種選法;

當m=13,ne{2000.2004.2008,2012,2016)BJ',mn的個位數(shù)都是1,此時有5種選法；

當m=15時,m"的個位數(shù)不可能為1,此時有0種選法；

當m=17,ne(2000,2004,2008,2012,2016)lft,mn的個位數(shù)都是1,此時有5種選法；

當m=19,ne{2000,2002,2004,……,2018}時,m。的個位數(shù)都是I,此時有10種選法；

綜上，所求概率為20+5+0+5+102

5X205

13.【2018年江蘇預(yù)賽】將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)隨機填入3x3的方格表中，每個小方格恰

填寫一個數(shù)，且所填數(shù)各不相同，則使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)的概率是.

【解析】

要使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)，必須使每行或每列中要么只有個奇數(shù)，要么三個全為奇數(shù)，故滿足

條件的填法共有日x盤x5!x4/種.因此所求的概率為史等絲=白

14.(2018年重慶預(yù)賽】從正九邊形中任取三個頂點構(gòu)成三角形，則正九邊形的中心在三角形內(nèi)的概率

【答案】搐

14

【解析】

如圖，正9邊形中包含中心的三角形有以下三種形狀:

對于(1),有3種情況；對于(2),有9種情況：對于(3)；有18種情況；故所求概率為

3+9+18_故答案為：裔

-Cl—-141

15.【2018年安徽預(yù)賽】從1,2,…，10中隨機抽取三個各不相同的數(shù)字，其樣本方差s24l的概率

【答案】"

【解析】

/<%2<%的樣本方差52=32：=1(/一君241，當且僅當乙、&、與是連續(xù)的正整數(shù)?

故PG?—2..

故答案為:專

16.【2018年山東預(yù)賽】甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下，規(guī)定誰先擲出正面朝上為贏；

前一場的輸者，則下一場先擲.若第一場甲先擲，則甲贏得第n場的概率為.

【答案】:"21

【解析】

設(shè)甲贏得第n場的概率為Pn，在每一場先擲的人贏得的概率為：++...+G）2"T+…=|t

所以Pl=1'Pn=^Pn-l+|（1-Pn-1）=|-^Pn-l'

由此得Pn~1=-^（Pn-1-1），Pl

因此Pn=!+（（-）1，n>l-

17.【2018年湖北預(yù)賽】一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)

的概率為.

【答案】"

【解析】

設(shè)由、a?、。3、。4分別是四次投擲骰子得到的點數(shù)，那么（%,。2，。3，。4）共有64種不同的情況.

如果從第二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)，則

ax<a2<a3<a4.

若％、。2、Q3、。4的值都相等，貝！1（。1，。2，。3，。4）有此種不同的情況；

若出、a2>Q3、4恰好取兩個不同的值，則（內(nèi),。2，。3，。4）有3盤種不同的情況;

若為、a2>Q3、。4恰好取3個不同的值,則3[,。2，的，。4）有3段種不同的情況;

若a2>。3、@4恰好取4個不同的值，則（%,。2，。3，。4）有C]種不同的情況.

因此，滿足的<a2<a3<@4的情況共有此+3cl+3盤+以=126（種）.

故所求的概率為繁=盤

18.【2018年甘肅預(yù)賽】某市公租房房源位于4B,C三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房

子.申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意4位申請人中，恰有2人申請4小區(qū)房源的

概率是.

【答案】捺

【解析】

本題為古典概型，2=盥等=當

19.【2018年福建預(yù)賽】從如圖所示的，由9個單位小方格組成的，3x3方格表的16個頂點中任取三個

頂點，則這三個點構(gòu)成直角三角形的概率為.

【答案】卷

【解析】

先計算矩形的個數(shù)，再計算直角三角形的個數(shù).

如圖所示，根據(jù)矩形特點，由這16個點可以構(gòu)成C；XC；=36個不同的矩形.

又每個矩形可以分割成4個不同的宜角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同.

因此，可得4x36=144個直角頂點在矩形頂點的不同的直角三角形.

再算直角頂點不在矩形頂點：

（1）在1X2的矩形中，有直角頂點不在矩形頂點，邊長分別為（或,瘋,2）的直角三角形兩個.而1x2矩

形橫向、縱向各有6個，故共有2x12=24個.

（2）在2x3的矩形中，有直角頂點不在矩形頂點，邊長分別為（VI,遍,舊）的直角三角形4個，邊長分

別為（企,2口,炳的直角三角形4個.而2x3矩形橫向、縱向各有兩個，故共有（4+4）x4=32個.

20.【2018年全國】將1,2,3,4,5.6隨機排成一行，記為a,b,c,d,e,f,則abc+慮/'是偶數(shù)的概率

為?

【答案】"

【解析】先考慮時為奇數(shù)的情況，此時"c,可一奇一偶，若為奇數(shù)，則。，b,c為1,3,5

的排列，進而d，e,./?為2,4,6的排列，這樣有3!x3!=36種情況，由對稱性可知，使abc+慮/'為奇數(shù)

的情況數(shù)為36x2=72種.從而"c+網(wǎng)為偶數(shù)的概率為1=1一券=2

o!7NU10

21.12018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，記為a,,c,d,e,f,則

Mc+呵是偶數(shù)的概率為.

【答案】"

【解析】先考慮。兒+時為奇數(shù)的情況，此時“be、def-奇」偶，

若。加為奇數(shù)，則a、b、c為I、3、5的排列，進而4、e、/為2、4、6的排列，

這樣有3!x3!=36種情況，由對稱性可知，使。加+則為奇數(shù)的情況數(shù)為36x2=72種.

從而成+時為偶數(shù)的概率為1一號=1一嬴=春

22.12018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，記為，b,c,d,e,f,

則abc+何是奇數(shù)的概率為.

【答案】"

【解析】當abc+dgf為奇數(shù)時，abc,def必為J一奇一偶，

若“加為奇數(shù)，則a,h,c為1,3,5的排列，d,e,于為2,4,6的排列，這樣有3以3!=36種情況.由對

稱性可知，滿足條件的情況數(shù)為36x2=72種.

從而所求概率為看=券==

23.12017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】在平面直角坐標系xOy中，點集K=｛（x,y）\x,y=~1,0,1在

K中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為遙的概率是.

【答案】

【解析】易知K中有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數(shù)為Cg=84種.

>y

A1.人"人

AxO441

??

44As

將K中的點按如圖標記為公,4，???，4），。，其中有8對點之間的距離為6.

由對稱性，考慮取公,4兩點的情況，則剩下的一個點有7種取法，這樣有7x8=56個三點組（不計每組中

三點的次序）.

對每個A,（i=l,2,8）,K中恰有4+3,4+5兩點與之距離為由（這里下標按模8理解），

因而恰有｛4,4+3,4+5｝。=1,2,…,8）這8個三點組被記了兩次.

從而滿足條件的三點組個數(shù)為56-8=48,進而所求概率為患=提

24.12017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第01試)】在平面直角坐標系xOy中，點集K={(x,y)\x,y=~1,0,1}.在

K中隨機取出三個點，則這三個點兩兩之間距離均不超過2的概率為.

【答案】V

【解析】注意K中共有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數(shù)為C；=84種.

當取出的三點兩兩之間距離不超過2時，有如下三種情況：

⑴三點在一橫線或-縱線上，有6種情況.

(2)三點是邊長為1,1,近的等腰直角三角形的頂點，有4x4=16種情況.

(3)三點是邊長為魚，或,2的等腰直角三角形的頂點，其中，直角頂點位于(0,())的有4個，直角頂點位于

(±1,0)、(0,±1)的各有一個共有8種情況.

綜上可知，選出三點兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為6+16+8=30,

進而所求概率為患=2

8414

25.12017年天津預(yù)賽】正2017邊形①冬…4oi7內(nèi)接于單位圓。，任取它的兩個不同頂點?廁萬?a)>

1的概率是.

【答案】|

【解析】提示:弧?西>：的充要條件是乙W4<60。.對任意給定的A，使得可?！?lt;60。的點為?的取法有

[券Z].2=672種，因此，所求概率為盥=

L6J20163

26.【2017年福建預(yù)賽】將8個三好生名額分配給甲、乙.丙、丁4個班級，每班至少1個名額，則甲班恰好分

到2個名額的概率為.

【答案】|

【解析】提示:將8個三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個班級，每班至少1個名額的不同分配方案有。=

35種.

(用隔板法:將8個名額排成一排,在它們形成的7個空擋中排人3塊隔板，則每種排人隔板的方式對應(yīng)一種名

額分配方式，反之亦然.)

其中,甲班恰好分到2個名額的分配方案有廢=10種.

(相當于將6個名額分配給3個班級，每班至少1個名額.)

所以，所求的概率為禁=*

27.【2017年湖北預(yù)賽】六個人圍成一圈玩擲硬幣游戲（硬幣質(zhì)地均勻）海人擲一次硬幣.規(guī)定：硬幣反面朝上

的要表演節(jié)目，正面朝上的不用表演，則沒有兩個表演者相鄰的概率為.

【答案嗎

【解析】提示:所有情形共有26=64種，滿足題設(shè)的表演者至多3人.

易知表演人數(shù)恰為0,1、3且滿足題設(shè)的情形種數(shù)分別為1、6、2,

而恰有2人表演且滿足題設(shè)的情形有叱-6=9種.

故所求概率為P=上空=白

28.【2017年陜西預(yù)賽】袋中裝有2個紅球,3個白球、個黃球，從中任取4個球，則其中三種顏色的球都有的

概率是.

【答案w

【解析】提示：從袋中的9個球中任取4個，不同的取法共有弓=126（種），

其中三種顏色的球都有的取法有或+ClClCl+ClClCl=72（種）

故所求概率P=誄=*

29.（2017年甘肅預(yù)賽】某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽（每人被選中

的機會均等），則在男生甲被選中的情況下,男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是.

【答案】|

【解析】提示:p=l-第=：.

「65

30.【2017年貴州預(yù)賽】擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面得1分，出現(xiàn)反面得2分.反復(fù)擲這枚硬幣，則恰好得n分的

概率為.

【答案】|+］（-丁

【解析】提示:設(shè)得n分的概率為匕.得不到n分的情況只有先得n-1分，再擲出反面，概率為

所以1-4=>%=彈--1）=I-=（Apj（-3n1=-式-丁=4=W+!（一/

31.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)正八面體的邊長是1,則其兩個平行表面之間的距離是.

【答案】曰

【解析】提示：不妨設(shè)此正八面體的六個頂點的坐標是(土總0,0),(0，士合,0),(0,0,±*).

其兩個平行平面x+y+z=±劣之間的距離d=4=T.

V2y63

32.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，隨機選?。?,2,…,n｝的非空子集4和民則4n8不是空集的概率是一

4n-3n

【答案】

（2n-l）2

【解析】提示乂12…,?1｝共有2"個子集，其中以個子集X滿足|X|=個子集y滿足xn/=0,1</c<

所求概率是最于a=i或(2"一2"k)=

33.(2017年廣東預(yù)賽】從各位數(shù)字兩兩不等且和為10的所有四位數(shù)中任取兩個數(shù)，則2017被取到的可能

性為.

【答案】5

48

【解析】提示:方程+X2+x3+X4=10,0SX1<X2<X3<X4W9的整數(shù)解有且僅有01，乂2，%3*4)=

(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),

因此符合條件的四位數(shù)恰有:4x廢x3!+4!=96(T),

故所求概率為竺=

C9648

34.[2017年廣西預(yù)賽】一名籃球隊員進行投籃練習.若第n次投籃投中，則第n+1次投籃投中的概率為玄若第

n次投籃不中，則第71+1次投籃投中的概率為!.若該隊員第1次投籃投中的概率為|,則第4次投籃投中的概率

為.

【答案】9

81

【解析】提示:設(shè)該隊員投進第n-1個球的概率為即.i，投失的概率為1-6-1，

則投進第n個球的概率為g=|即-1+31-fln-l).

即anW(an-I_3an=；+如表.故。4=春

35.【2017年新疆預(yù)賽】在邊長為3的正方形中隨機選取n個點，其中與正方形的頂點距離小于1的點有加個,

則用隨機模擬的方法得到的圓周率兀的試驗值為.

【答案】?

【解析】提示：由幾何概型概率計算公式得字一從而兀若.

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題57概率統(tǒng)計第二講

1.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】在1,2,3,…,9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù).記x為這3個數(shù)中兩數(shù)相

鄰的組數(shù)（例如:若取3個數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)為1,2和2,3此時x的值是2）,則x的數(shù)

學期望為.

2.[2016年安徽預(yù)賽】等可能地隨機產(chǎn)生一個正整數(shù)xe{1,2,…,2016}.則x在二進制下的

各位數(shù)字之和不超過8的概率為.

3.[2016年全國】袋子A中裝有兩張10元紙幣和三張1元紙幣，袋子B中裝有四張5元

紙幣和三張1元紙幣.現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣.則A中剩下的紙幣面值之和

大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為.

4.[2016年新疆預(yù)賽】在一個圓上隨機取三點，則以此三點為頂點的三角形是銳角三角形

的概率為.

5.【2016年江蘇預(yù)賽】若小張每天的睡眠時間在6?9小時之間隨機均勻分布，則小張連續(xù)

兩天平均睡眠時間不少于7小時的概率為.

6.【2016年湖南預(yù)賽】在一個均有小正方體的六個面中，三個面上標數(shù)字0,兩個面上標數(shù)

字1,一個面上標數(shù)字2.將該小正方體拋擲兩次，則朝上的數(shù)之積的數(shù)學期望為.

7.【2016年湖北預(yù)賽】袋子中有五個白球、四個紅球和三個黃球，從中任意取出四個球，各

種顏色的球均有的概率.

8.【2016年河南預(yù)賽】甲乙兩人各自獨立地拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋10次，乙拋11

次。則乙出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)比甲出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)多的概率為。

9.12016高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子

B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下

的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為.

10.【2015年全國】在正方體中隨機取三條棱，它們兩兩異面的概率為.

11.【2015年上海預(yù)賽】投擲兩次色子，設(shè)第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)分別?、b.則

使得關(guān)于x的二次方程/+a%+b=0有兩個小于-1的不相等實要的概率為（用

數(shù)字作答）.

12.【2015年上海預(yù)賽】某地區(qū)的電話號碼由八個數(shù)碼組成，且首位數(shù)碼不為零，則電話

號碼的八個數(shù)碼均不相同的概率為（用小數(shù)表示）.

13.【2015年陜西預(yù)賽】某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上和反面向上的概率均為點構(gòu)造數(shù)

歹弧}，使斯=廠’第:欠吵上[記%=的+。2+-“+即則2片0，且58=2的概率

1-1,第n次反面向上.

為（用最簡分數(shù)作答）.

14.【2015年遼寧預(yù)賽】一道數(shù)學競賽題，甲、乙、丙三人單獨解出此題的概率分別為工、

ab

二,其中，a、氏c均為小于10的正整數(shù).現(xiàn)甲、乙、丙同時獨立解答此題若三人中恰有一人

C

解出此題的概率為卷則三人均未解出此題的概率為.

15.【2015年江蘇預(yù)賽】隨機拋擲三個大小、質(zhì)地相同的正方體色子.在三個色子所示數(shù)字中

最小值是3的概率為

16.【2015年河南預(yù)賽】一名籃球運動員進行投球練習.若他投進前一球，則投進后一球的概

率為|;若他投不進前一球，則投進后的一球概率為:已知該隊員投進第1球的概率為|.則

他投進第4球的概率為.

17.12015高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】在正方體中隨機取3條棱，它們兩兩異面的概率為

18.【2016年陜西預(yù)賽】從1,2....20這20個數(shù)中，任取三個不同的數(shù).則這三個數(shù)構(gòu)成

等差數(shù)列的概率為（）.

A.—B.—C.—D.—

19193838

19.[2016年天津預(yù)賽】擲兩次色子，用X記兩次擲得點數(shù)的最大值.則下列各數(shù)中,與期望

E（X）最接近的數(shù)為（）

A.4B.4工C.5D.5-

22

20.[2015年湖南預(yù)賽】將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分,7個剩余分數(shù)

的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示,

則7個剩余分數(shù)的方差為（）

877

9I010.?91

116366A/7

A.—B.一C.36D.

977

21.【2015年黑龍江預(yù)賽】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a,再由

乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b,其中，a、才€{1,2,…,6}.若愴一團41,則稱

甲乙“心相近”。現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則它們心相近的概率為（）。

A.-B.-C.—D.—

991818

22.【2020年甘肅預(yù)賽】某校高二男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組.每輪游戲中，每小組

兩人每人投籃兩次,投籃命中的次數(shù)之和不少于3次稱為“優(yōu)秀小組”.甲和乙同一小組，甲、乙

投籃命中的概率分別為Pl，

p2-

32

⑴若Pl==T，求在第一輪游戲中他們獲得優(yōu)秀小組的概率.

-4>P23

4

(2)若Pi+p2=3，且游戲中甲、乙二人組要獲得優(yōu)秀小組次數(shù)為16次,則理論上至少

要進行多少輪游戲才行?并求此時Pl，p2的值.

23.【2018年甘肅預(yù)賽】已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組，

參加由某電視臺舉辦的知識類答題闖關(guān)活動，活動共有四關(guān)，設(shè)男生闖過一至四關(guān)的概率

依次是m，i，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是:

65435432

(1)求男生闖過四關(guān)的概率；

(2)設(shè)彳表示四人沖關(guān)小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求隨機變量f的分布列和期望.

24.【2017年甘肅預(yù)賽】在一次全省科普知識競賽中，某市3000名參賽選手的初賽成績統(tǒng)計

(1)求t的值，并估計該市選手在本次競賽中,成績在［80,90)上的選手人數(shù)；

(2)如果在本次競賽中該市計劃選取1500人人圍決賽，那么進人決賽選手的分數(shù)應(yīng)該如何制

定？

(3)如果用該市參賽選手的成績情況估計全省參賽選手的成績情況，現(xiàn)從全省參賽選手中隨機

抽取4名選手，記成績在80(含80)分以上的選手人數(shù)為f,試求f的分布列和期望.

25.【2017年黑龍江預(yù)賽】某單位甲、乙兩個科室人數(shù)及男女工作人員分布情況如下表.現(xiàn)采

用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩個科室中共抽取3名工作人員進

行一項關(guān)于“低碳生活”的調(diào)查.

(1)求從甲、乙兩科室各抽取的人數(shù)；

(2)求從甲科室抽取的工作人員中至少有1名女性的概率；

(3)記f表示抽取的3名工作人員中男性的人數(shù)，求f的分布列及數(shù)學期望.

性別

一_、、人數(shù)、

男女

科別J''''J

甲科室64

乙科室32

26.[2016年上海預(yù)賽】設(shè)n為給定的大于2的整數(shù)。有n個外表上沒有區(qū)別的袋子，第

k（k=l,2,…,n）個袋中有k個紅球，n-k個白球。將這些袋子混合后，任選一個袋子，并且從中

連續(xù)取出三個球（每次取出不放回）。求第三次取出的為白球的概率。

27.【2016年甘肅預(yù)賽】在某電視娛樂節(jié)目的游戲活動中，每人需完成A、B、C三個項目.

已知選手甲完成A、B、C三個項目的概率分別為]1之每個項目之間相互獨立.

（1）選手甲對A、B、C三個項目各做一次，求甲至少完成一個項目的概率.

（2）該活動要求項目A、B各做兩次，項目C做三次.若兩次項目A均完成，則進行項目

B,并獲得積分a；兩次項目B均完成，則進行項目C,并獲積分3a；三次項目C只要兩次

成功，則該選手闖關(guān)成功并獲積分6a（積分不累計），且每個項目之間互相獨立用X表示

選手甲所獲積分的數(shù)值，寫出X的分布列并求數(shù)學期望.

28.【2015年黑龍江預(yù)賽】在一個盒子中，放有標號分別1、2、3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒

子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y,記f=|x-2|+|y-x|。

（1）求隨機變量f的最大值，并求事件'取得最大值”的概率；

（2）求隨機變量f的分布列和數(shù)學期望。

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題57概率統(tǒng)計第二講

1.[2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】在1,2,3,…,9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù).記x為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如:

若取3個數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)為1,2和2,3此時x的值是2),則x的數(shù)學期望為.

【答案】|

【解析】提示：做出如下分布列

012

X

35427

p(%)848484

所以Ex=^x0+卷xl+^x2.

2.[2016年安徽預(yù)賽】等可能地隨機產(chǎn)生一個正整數(shù)x6{1,2,…,2016}.則x在二進制下的各位數(shù)字之和不

超過8的概率為.

【答案】g|

【解析】

設(shè)xe{l,2,2016}的二進制表示為(X10X9…刀1殉)2,即x=2：：0々2((尢e{0,1}).

特別地，2016的二進制表示為(11111100000)2.

接下來考慮滿足>8的x的個數(shù)，其充分必要條件為

P=Xt=oxi<5,且q=Xi=oxiN9-p.

如此x的個數(shù)為2PW5或點=C^Cl(麾+0)=51.

qN9-p

從而，二進制下的各位數(shù)字之和不超過8的x的個數(shù)為2016-51=1965.

因此，所求概率黑=綏.

2016672

3.(2016年全國】袋子A中裝有兩張10元紙幣和三張1元紙幣，袋子B中裝有四張5元紙幣和三張1元

紙幣.現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣.則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的

概率為.

【答案】宗

【解析】

一種取法符合要求，等價于從A中取走的兩張紙幣的總面值a小于從B中取走的兩張紙幣的總面值b,從

而，a<bS5+5=10.故只能從A中取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為耨=3.

又此時b>a=2,即從B中取走的兩張紙幣不能均為1元紙幣，相應(yīng)有或=18種取法.

因此，所求的概率為瞟=德=套

Ge<.?7_LU入OO

4.【2016年新疆預(yù)賽】在一個圓上隨機取三點，則以此三點為頂點的三角形是銳角三角形的