山東省青島市萊西市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

高一學(xué)業(yè)水平階段性檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題本試卷共22題．全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列命題中錯(cuò)誤的為（）A.圓心和圓上的兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面B.有一個(gè)面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面的確定方法，柱體和錐體的體結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，如果圓心和圓上的兩點(diǎn)在圓的同一條直徑上時(shí)，這時(shí)三點(diǎn)共線，此時(shí)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)棱錐的定義，其底面是多邊形，側(cè)面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，所以有一個(gè)面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：由正棱錐的定義和性質(zhì)可得，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：由平行六面體的概念和性質(zhì)可得，平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形，故D選項(xiàng)正確.故選：A.2.在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（）A.一定為鈍角三角形 B.一定不為直角三角形C.一定為銳角三角形 D.可為任意三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，故可為任意三角形.故選：D3.下列等式成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式合并計(jì)算即可.【詳解】A選項(xiàng)：，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，C正確；D選項(xiàng)：，D錯(cuò)誤.故選：C.4.在中，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得邊長(zhǎng)關(guān)系，再利用三角形成立條件列不等式求解即可.詳解】由正弦定理及得，不妨記，因?yàn)?，所以，解得，即取值范圍?故選：B5.已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，由圖象知：，所以，故選；C6.如圖，在正方體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A.直線與直線所成的角為B.直線與平面所成的角為C.直線平面D.平面與平面所成的二面角為【答案】D【解析】【分析】對(duì)A，證明直線平面即可；對(duì)B，根據(jù)線面角的定義，根據(jù)直線與平面所成的角為即可；對(duì)C，根據(jù)線面垂直的判定證明即可；對(duì)D，根據(jù)二面角的定義可得平面與平面所成的二面角為即可.【詳解】對(duì)A，連接如圖，由正方體性質(zhì)可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.故直線與直線所成的角為，故A正確；對(duì)B，因?yàn)槠矫妫手本€與平面所成的角為，故B正確；對(duì)C，連接如圖，由正方體性質(zhì)可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.同理，又，平面，故平面，故C正確；對(duì)D，平面與平面交于，且，，故平面與平面所成的二面角為，故D錯(cuò)誤.故選：D7.已知非零向量滿足：向量與向量垂直，且向量與向量垂直，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直得數(shù)量積為0，求得數(shù)量積與向量模關(guān)系，根據(jù)向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，所以，因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即與的夾角為.故選：C8.我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中提出了一種求三角形面積的方法——三斜求積術(shù)：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．也就是說(shuō)，在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，那么的面積，若，且，則面積的最大值為（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理及兩角和的正弦公式得，代入“三斜求積”公式，利用二次函數(shù)求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理得，又，所以，所以?dāng)即時(shí)，面積的最大值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）A.若，則且B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，若，則結(jié)論不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：設(shè)，在l上選一點(diǎn)S，分別在平面內(nèi)作，在PS和QS上分別選點(diǎn)P，Q，過(guò)P，Q作的垂線，則有，所以四邊形SQTP是平行四邊形，相交于T點(diǎn)，又，四邊形是矩形，，又，正確；對(duì)于C，如圖：，在n上選一點(diǎn)S，在平面內(nèi)作直線SP，使得，令為，在平面內(nèi)作直線QS，使得，由于，則根據(jù)二面角的定義有，，又，正確；對(duì)于D，，在平面內(nèi)作直線，使得，如果不平行于n，則由于同在平面內(nèi)，則必定相交于一點(diǎn)P，則，在平面內(nèi)，過(guò)P點(diǎn)作直線，使得，則有，與平行線的傳遞性質(zhì)矛盾，，正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為D.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】AD【解析】【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、三角函數(shù)圖象變換等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】.A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.已知，則下列命題是真命題的為（）A.若，則 B.若，則C.若，則的值域?yàn)?D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角的正切公式判斷A，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角正弦公式判斷B，根據(jù)輔助角公式及正弦函數(shù)的值域判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角余弦公式判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，正確；對(duì)于C，，其中，因?yàn)椋?，錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，平方得，即，所以，正確.故選：BD12.在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則下列結(jié)論一定正確的為（）A. B.C.為直角三角形 D.【答案】AC【解析】【分析】由，利用正弦定理求得角B，再根據(jù)，利用余弦定理求得a，c的關(guān)系逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?jiǎn)得，則，，所以，故A正確；由余弦定理得，，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，故BD錯(cuò)誤，C正確，故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，則與的夾角為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角余弦公式，結(jié)合夾角范圍求角即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，，.故答案為：.14.如果一個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為______.【答案】##【解析】【分析】利用球的表面積公式和圓錐側(cè)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的直徑為，則球的表面積，又圓錐的底面直徑和高是，所以圓錐的側(cè)面積為，所以圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為.故答案為：15.在中，三邊長(zhǎng)分別為，最大角的正弦值為，則_________．【答案】5【解析】【分析】由條件結(jié)合余弦定理列方程求即可.【詳解】因?yàn)?，所以的最大?nèi)角為邊長(zhǎng)的邊所對(duì)應(yīng)的角，因?yàn)樽畲蠼堑恼抑禐?，又?duì)于非等邊三角形，最大角大于，所以最大角的余弦為，由余弦定理可得，又所以.故答案為：.16.如果平面，直線，點(diǎn)滿足：，且直線與所成的角為直線與直線所成的角為，那么與所成角的大小為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)在平面上的投影為，在平面上的投影為直線，其中為與在平面上的投影直線的交點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得平面，再過(guò)作于，連接，根據(jù)余弦的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，結(jié)合三角形內(nèi)角和可得與所成角為.【詳解】如圖，設(shè)在平面上的投影為，在平面上的投影為直線，其中為與在平面上的投影直線的交點(diǎn)，則.由題意，與所成的角為，且，故與所成的角.由，，故.又，，故.又，平面，故平面.過(guò)作于，連接，則因?yàn)?，故，又，平面，故平?又平面，故.又與直線所成的角為，即.則，，，故，即，故，則.又平面，平面，故，則.又，故與所成角為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求證：平面∥平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】(1)作出輔助線，利用三角形的中位線結(jié)合線面平行的判定定理，判定即可；(2)利用平行六面體的性質(zhì)，結(jié)合兩個(gè)中點(diǎn)，易證平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，從而證明線面平行，再利用(1)中結(jié)論，結(jié)合面面平行的判定定理，判定即可.【小問1詳解】連接，交于，連接，在平行六面體中，為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面平面，平面；【小問2詳解】在平行六面體中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，為平行四邊形，從而，平面平面，平面，由（1）可知：平面，平面平面，且，平面平面.18.試分別解答下列兩個(gè)小題：（1）已知，設(shè)與的夾角為，求；（2）已知，若與共線，且，求的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，利用向量的運(yùn)算律求得，再利用二倍角公式求解；（2）設(shè)，求得，再由與共線，結(jié)合求解.【小問1詳解】解：，∴，，，，從而；【小問2詳解】設(shè)，，，解得：，從而，與共線，設(shè)，則，，或.19.如圖，在四面體，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）在上能否找到一點(diǎn)，使∥平面？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若，求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）能找到一點(diǎn)，使∥平面，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，，利用線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）猜測(cè)為的中點(diǎn)，證明，并結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（3）先證明，，結(jié)合線面垂直判定定理，面面垂直判定定理證明結(jié)論.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接在中，，同理而平面又平面；【小問2詳解】在上能找到一點(diǎn)，使平面，此時(shí)為的中點(diǎn)，證明如下：連接是的中點(diǎn)，平面平面，平面，的中點(diǎn)即為所求．【小問3詳解】是公共邊，，從而由（1）可知：，即，，平面，∴平面，面，∴平面平面．20.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.（1）求的值；（2）若的周長(zhǎng)為5，求外接圓的半徑與內(nèi)切圓半經(jīng)的比值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式結(jié)合三角形的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（2）利用正弦定理及余弦定理求出三邊長(zhǎng)，從而利用三角形面積相等求出內(nèi)切圓半徑，利用正弦定理求出外接圓半徑，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，?【小問2詳解】由（1）知，所以，又的周長(zhǎng)為5，所以，由余弦定理得，所以，解得，因?yàn)?，且，所以，所以，從而，由正弦定理得，所以，所?21.在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使?jié)M足：，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)余弦定理及正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求得，從而可求角；（2）利用正弦定理建立方程，化簡(jiǎn)求值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理可變形為，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所?【小問2詳解】在中，由（1）可知，所以，由正弦定理可得，所以，在中，因?yàn)椋?，由正弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，即，整理化?jiǎn)得，所以.22.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的一個(gè)菱形，若，異面直線與所成的角為．（1）求證：平面平面；（2）求四棱倠的內(nèi)切球的表面積．【答案】（1）證明見解析（2）【