湖南省湘潭市縣中路鋪荷塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省湘潭市縣中路鋪荷塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一紅一黑的概率等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】從袋中任取兩球，基本事件總數(shù)n==15，兩球顏色為一紅一黑包含的基本事件個數(shù)m==3，由此能求出兩球顏色為一紅一黑的概率．【解答】解：袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，基本事件總數(shù)n==15，兩球顏色為一紅一黑包含的基本事件個數(shù)m==3，∴兩球顏色為一紅一黑的概率p===．故選：A．2.（5分）（2015?青島一模）“n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：C【考點】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列；若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2，由充要條件的定義可得答案．解：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，由n的任意性可知，數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差是固定的常數(shù)，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，反之，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2，故“n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件，故選C【點評】：本題考查充要條件的判斷，涉及等差數(shù)列的判斷，屬基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上，則k的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當(dāng)時，與有且僅有四個不同的交點設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項：D【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.4.命題“對任意，都有”的否定為

A、存在，使得;

B、不存在，使得;C、存在，使得;

D、對任意，都有；參考答案：A略5.已知P為圓C：x2+y2=π2內(nèi)任意一點，則點P落在函數(shù)f（x）=sinx的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的概率為（）A．0 B．1 C． D．參考答案：D【考點】CF：幾何概型．【分析】由題意，本題是幾何概型的考查，首先分別求出事件對應(yīng)區(qū)域的面積，利用面積比求概率．【解答】解：由題意，圓面積為π3，函數(shù)f（x）=sinx的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域面積為2=2（﹣cosx）|=4，由幾何概型的公式得到所求概率為；故選D．6.命題“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】本題先要找出命題為真命題的充要條件{a|a≥4}，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為{a|a≥4}的真子集，由選擇項不難得出答案．【解答】解：命題“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，而要找的一個充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選擇項可知C符合題意．故選C7.若為實數(shù)，則“”是“或”的（

）條件A．充分必要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要

參考答案：B8.已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，則A．當(dāng)k=l時，f（x）在x=1處取得極小值

B．當(dāng)k=1時，f（x）在x=1處取得極大值C．當(dāng)k=2時，f（x）在x=1處取得極小值

D．當(dāng)k=2時，f（x）在x=1處取得極大值參考答案：C10.將函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為A．

B．C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，則線段AE的長為

．參考答案：412.已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得則的最小值為______________。參考答案：略13.正三角形的邊長為2，將它沿高翻折，使點與點間的距離為1，此時四面體外接球表面積為____________.參考答案：14.已知直線與拋物線相交于、兩點，為拋物線的焦點，若，則的值為

．參考答案：15.已知過點P（1，0）且傾斜角為60°的直線l與拋物線交于A，B兩點，則弦長|AB|=

.

參考答案：略16.在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，則c=．參考答案：5【考點】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化簡將a與b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化簡得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，當(dāng)c=3時，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；則c=5．故答案為：5【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．17..已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為－1，則實數(shù)a的值是______參考答案：1【分析】作出可行域，當(dāng)在y軸上的截距越小時，越大，平移，觀察圖象即可求解.【詳解】作出可行域如圖：由可得，平移直線，當(dāng)直線過點A時，有最大值，由得，解得或（舍去），故填1.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.記U={1，2，…，100}，對數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=++…+．例如：T={1，3，66}時，ST=a1+a3+a66．現(xiàn)設(shè){an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時，ST=30．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）對任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；（3）設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD．參考答案：【考點】數(shù)列的應(yīng)用；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（1）根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，計算可得a2=3，進(jìn)而可得a1的值，由等比數(shù)列通項公式即可得答案；（2）根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比數(shù)列的前n項和公式計算可得證明；（3）設(shè)A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），則A∩B=?，進(jìn)而分析可以將原命題轉(zhuǎn)化為證明SC≥2SB，分2種情況進(jìn)行討論：①、若B=?，②、若B≠?，可以證明得到SA≥2SB，即可得證明．【解答】解：（1）當(dāng)T={2，4}時，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，從而a1==1，故an=3n﹣1，（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1，（3）設(shè)A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），則A∩B=?，分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，則SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，因此原命題的等價于證明SC≥2SB，由條件SC≥SD，可得SA≥SB，①、若B=?，則SB=0，故SA≥2SB，②、若B≠?，由SA≥SB可得A≠?，設(shè)A中最大元素為l，B中最大元素為m，若m≥l+1，則其與SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，因為A∩B=?，所以l≠m，則l≥m+1，SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即SA≥2SB，綜上所述，SA≥2SB，故SC+SC∩D≥2SD．【點評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及新定義的內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是正確理解題目中對于新定義的描述．19.已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．參考答案：（1）的定義域為，．若時，則，∴在上單調(diào)遞增；若時，則由，∴．當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意得：對時恒成立，∴對時恒成立．令，（），∴．令，∴對時恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∵，∴當(dāng)時，，∴，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，∴，在上單調(diào)遞減.∴在處取得最大值，∴的取值范圍是.20.（2015?銅川模擬）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求證：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范圍．參考答案：【考點】不等式的證明．【專題】綜合題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用綜合法，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)=（a，b），=（1，），利用|?|≤||?||，可求a+b的取值范圍．【解答】（I）證明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=時取“=”…又∵a2+b2=1，c2+d2=1∴2（ab+cd）≤2

…

∴ab+cd≤1

…（Ⅱ）解：設(shè)=（a，b），=（1，），∵|?|≤||?||，…∴|a+b|≤2=2，∴﹣2≤a+b≤2∴a+b的取值范圍為[﹣2，2]．

…【點評】本題考查不等式的證明，考查求a+b的取值范圍，正確運用基本不等式，合理構(gòu)造向量是關(guān)鍵．21.（2017?葫蘆島一模）已知函數(shù)f（x）=ax2+（x﹣1）ex．（1）當(dāng)a=﹣時，求f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）當(dāng)﹣＜a＜﹣時，f（x）是否存在極值？若存在，求所有極值的和的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）當(dāng)a=時，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xex，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能出f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程．（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a），由此根據(jù)a≥0，﹣＜a＜0，a=﹣，a＜﹣，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．（3）推導(dǎo)出x1=ln（﹣2a）為極大值點，x2=0為極小值點，所有極值的和即為f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）﹣1，由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍．【解答】（本題滿分12分）解：（1）當(dāng)a=時，f（x）=x2+（x﹣1）ex，∴f（1）=，f′（x）=﹣（e+1）x+xex，∴f′（1）=﹣1切線方程為：y+=﹣（x﹣1），即：2x+2y+e﹣1=0．…（4分）（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a）①當(dāng)2a≥0即a≥0時，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)﹣＜a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上單調(diào)遞增，在（ln（﹣2a），0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；③當(dāng)a=﹣時，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；④當(dāng)a＜