2021-2022學(xué)年高二人教A版數(shù)學(xué)選修2-3學(xué)案：2 . 3 離散型隨機變量的均值與方差

2.3離散型隨機變量的均值與方差

2.3.1離散型隨機變量的均值

.理解離散地隨機變址的均值和方差的意義和性質(zhì)?會根據(jù)離散徵隨機變盤的分布列求出均值及方差.（宜觀假象、數(shù)

學(xué)1

習(xí)學(xué)運算）

目

標2.掌握兩點分布、二項分布的均值和方?差的求法.（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算）

3.會利用離散型隨機變員的均值和萬差解決?些相關(guān)的實際問題.（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算）

基礎(chǔ)認知?自主學(xué)習(xí)

1.高散型隨機變量的均值是怎樣定義的？有怎樣的意義和

導(dǎo)思

性質(zhì)?2.兩點分布和二項分布的均值公式有怎樣的形式？

1.離散型隨機變量的均值及其性質(zhì)

（1）離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望：

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

②數(shù)學(xué)期望的含義：反映了離散型隨機變量取值的壬均妊?

⑵均值的性質(zhì):

若Y=aX+b,其中a,b為常數(shù),X是隨機變量，

①Y也是隨機變量；②E(aX+b)=aE(X)+b.

■思考

⑴離散型隨機變量的均值與樣本平均值有什么區(qū)別與聯(lián)系？

提示：①區(qū)別：隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取,

而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化.

②聯(lián)系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越

來越接近于總體的均值.

(2)離散型隨機變量的均值能否離開其分布列而獨立存在？

提示：不能，離散型隨機變量的計算離不開分布列.

2.兩點分布、二項分布的均值

(1)兩點分布：若X服從兩點分布，則E(X)=e.

(2)二項分布：若X~B(n,p),則E(X)=nn?

?思考

(1)兩點分布可以看作特殊的二項分布嗎？兩者的均值有何聯(lián)系？

提示：二項分布試驗中，若試驗的結(jié)果有。和1時，可以看作兩點分

布，故二項分布的均值中當n=1時，其均值即為兩點分布的均值.

⑵試證明二項分布的均值E(0=np.

提示:因為P(&=k)=C?pk(l-p)n-k=Cjpkqn-k,

所以E(9=0xC：p°qn+IxClpiqn」+2xC：p2qn-2+...+kxCjpkqn'k

+...+nxC"pnq°.

n!

又因為kC?=k---------------=

k!(n-k)!

n-(n-1)!

nC建，所以E(0=

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

npx(C：_]p()qn-1+C；.1p'qn-2+...+

CS：|pk-iq(n-i)-(k-i)+.>+cn-[pn-yopr^p+qF-iunp.

所以E?)=np.

。基礎(chǔ)小測>>

i.辨析記憶(對的打y"，錯的打“X”)

⑴隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變

化.(x)

(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平.(x)

(3)若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,則E(2X)=4.(4)

X1+X2+…+Xn

(4)隨機變量X的均值E(X)=-------------------.(X)

提示：⑴隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個常量，是隨機變量X本身固

有的一個數(shù)字特征.

(2)隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平.

(3)由均值的性質(zhì)可知.

(4)因為E(X)=Xlpl+X2p2+...+Xnpn.

2.若X的分布列為下圖，則E(X)=()

B.；C.TD.g

1414

選A.由題意知5+@=1,所以2=5,E(X)=Ox-+a=a=g.

3.（教材練習(xí)改編）節(jié)日期間，某種鮮花的進價是每束2.5元，售價是

每束5元，節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理.根據(jù)前5年節(jié)

日期間對這種鮮花需求量歐束）的統(tǒng)計（如下表），若進這種鮮花500束

在今年節(jié)日期間銷售，則利潤的均值是_______元.

200300400500

P0.200.350.300.15

節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E?=200x0.20+300x0.35+

400x0.30+500x0.15=340(束).

設(shè)利潤為n，貝！Jn=5匕+1.6X(500-9-500x2.5=3.4^-450，所以E(n)

=3.4E?-450=3.4x340-450=706(元).

答案:706

能力形成?合作探究

類型一求離散型隨機變量的均值（直觀想象、數(shù)學(xué)運算）

角度1離散型隨機變量均值的性質(zhì)

【典例】已知隨機變量X的分布列為：

X-2-1012

1111

Pm

43520

若Y=-2X,則E(Y)=

【思路導(dǎo)引】注意隨機變量Y與隨機變量X之間的關(guān)系，再利用離

散型隨機變量均值的性質(zhì)求解.

由隨機變量分布列的性質(zhì)，得

111

11

-++-+m+解得-X-+

452)4

20

l)x1+0x|+lx1+2喘=_'.由Y=-2X得E(Y)=-2E(X),

即E(Y)=-2x[-元卜正.

生口案木??—15

變式探究

1.本例條件不變，若Y=2X-3,求E(Y).

17

由公式E(aX+b)=aE(X)+b,E(X)=-而得，E(Y)=E(2X-3)=

⑺

2E(X)-3=2x([-^-3=-6^2.

2.本例條件不變，若自二aX+3,且E(^)=-y,求a的值.

因為E?=E(aX+3)=aE(X)+3

1711mJ

=a+3=-y，所以a=15.

角度2求離散型隨機變量的均值

【典例】1.某射擊運動員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10

環(huán)得0分.已知他擊中10環(huán)的概率為0.8,則射擊一次得分X的期

用日,

壬)

A.0.2B.0.8C.1D.0

【思路導(dǎo)引】L可的居期望的定義直接求解.

1.選B.因為P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1x0.8+0x0.2=0.8.

2.袋中有4個紅球，3個白球，從袋中隨機取出4個球?設(shè)取出一

個紅球得2分，取出一個白球得1分，試求得分X的均值.

【思路導(dǎo)引】2.可先求隨機變量的概率分布列，再求均值.

2.得分X的所有可能取值為5,6,7,8.X=5時，表示取出1個紅

A

球3個白球，此時P(X=5)=W=行；

X=6時，表示取出2個紅球2個白球，

C2c212

止匕時P(x=6)=-&3=云；x=7時，表示取出3個紅球1個白球,

..C；C；12

此L時nP(X=7)=?=35；

Q41

X=8時，表示取出4個紅球，此時P(X=8)=百=行.

所以X的分布列為

41812

353535

418

所以E(X)=5xm+6x—

解題策略

1,求隨機變量X的均值的方法和步驟

(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.

⑵求出X取每個值的概率P(X=k).

⑶寫出X的分布列.

(4)利用均值的定義求E(X).

2.若給出的隨機變量1與X的關(guān)系為"aX+b,(a,b)為常數(shù)，求

E?的兩種思路：

一是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E?.二是利用

X的分布列得到占的分布列，關(guān)鍵由X的取值計算&的取值，對應(yīng)的

概率相等，再由定義法求得E化).

題組訓(xùn)練

1?某班有(的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從班中隨機找出5名學(xué)生，

那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)1~B(5,J，則E(-9的值為()

AB.CD.

選D.因為E?=5x[,

所以E(-&)=-E(^)=-1.

2.(2020.浙江高考)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,

每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為自，則P?

=0)=；E(O=.

由題知，隨機取出紅球的概率為(，隨機取出綠球的概率為《，隨機

取出黃球的概率為:，

自的取值情況共有0,1,2,P(^=0)=1+；x|=|,

111211111111

P化=1)=5x-+-X-X-+2X-X-=3,P(^=2)=2X,x-+

—1-17—1I—1-1—1I—12—1——1，所以E?=lx；+2x1=1.

232232432-3

答案：；1

3.某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最

多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再

參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕

照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9,

求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值.

X的取值分別為X2,3,4.

X=1,表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(X=l)=0.6.X

=2,表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，

故P(X=2)=(1-0.6)x0.7=0.28.

X=3,表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，

故P(X=3)=(1-0.6)x(l-0.7)x0.8=0.096.

X=4表明李明第一、二、三次考試都未通過故P(X=4)=(1-0.6)x(l

-0.7)x(l-0.8)=0.024.

所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為

X1234

P0.60.280.0960.024

所以X的均值為E(X)=1x0.6+2x0.28+3x0.096+4x0.024=1.544.

教師

專用【補償訓(xùn)練】

1.已知隨機變量自和n,其中n=i21+7，且EE）=34,若自的分布

列如下表,則m的值為（）

1234

11

Pmn

412

111-

AB-CD

46-8-

選A.因為n=12&+7,則E(n)=12E?+7,

即E(r|)=12(lx(+2xm+3xn+4x*]+7=34.

所以2m+3n=|①，又；+m+n+==1,

2.1

所以m+n=g②，由①②可解得m=g.

2.若X是一個隨機變量，求E(X-E(X))的值.

因為E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)為常數(shù),所以E(X-E(X))=E(X)

-E(X)=0.

類型二兩點分布和二項分布的均值(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)

題組訓(xùn)練

1.若隨機變量1~B(n,0.6),且E?=3,則P6=1)的值為()

A.2x0.44B.2x0.45

C.3x0.44D.3x0.64

1.選C.因為匕~B(n,0.6),所以E(O=nx0.6,故有0.6n=3,解得

n=5.P(^=l)=Cjx0.6x0.44=3x0.44.

2.(2021.蘭州高二檢測)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了

1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)

記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為.

A.100B.200C.300D.400

2.由題意可知不發(fā)芽的種子數(shù)記為Y服從二項分布，即Y~B(1000,

0.1),所以E(Y)=1000x0.1=100,

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2XE(Y)=200.

答案:200

3.某運動員投籃命中率為p=0.6.

⑴求投籃1次時命中次數(shù)X的均值.

⑵求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的均值.

3.(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如表：

則E(X)=0.6.

(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布,

即Y~B(5,0.6),則E(Y)=np=5x0.6=3.

解題策略

1.常見的兩種分布的均值

設(shè)P為一次試驗中成功的概率，則

⑴兩點分布：E(X)=p；(2)二項分布：E(X)=np.

熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度.

2.兩點分布與二項分布的辨析

⑴相同點：一次試驗中要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

(2)不同點:①隨機變量的取值不同，兩點分布中隨機變量的取值為0,

1,二項分布中隨機變量的取值為x=0,1,2____n.

②試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次

試驗.

教師

專用

“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動，活動規(guī)定：

被邀請者要么在24小時內(nèi)接受挑戰(zhàn),要么選擇為慈善機構(gòu)捐款(不接

受挑戰(zhàn)),并且不能重復(fù)參加該活動，若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需

在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請另外

3個人參與這項活動假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,

目互不影響.

(1)若某被邀請者接受挑戰(zhàn)后，對其他3個人發(fā)出邀請，則這3個人

中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？

⑵假定⑴中被邀請到的3個人中恰有2個人接受挑戰(zhàn)，根據(jù)活動規(guī)

定，現(xiàn)記X為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求X的

分布列和均值.

⑴因為每個人接受挑戰(zhàn)和不接受挑戰(zhàn)是等可能的，所以每個人接受

挑戰(zhàn)的概率是:，不接受挑戰(zhàn)的概率也是3.設(shè)事件M為“這3個人中

至少有2個人接受挑戰(zhàn)”，則P(M)=Cf之x?+c|x.3

1

2.

(2)因為X為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，所以X~

B(6,I).P(X=0)=C2x?6=±,

P(X=1)=C2X@x&5=A,

P(X=3)=點3x圖3,

P(X=4)=

P(X=5)=

皮xgj6=上，所以X的分布列為

P(X=6)=

X0123456

131551531

p

64326416643264

bzcl3155153,1

所以E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—

=3.

類型三均值的應(yīng)用（數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算）

【典例】隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126

件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、

三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損

2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：元）為X.

（1）求*的分布列.

（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即X的均值）.

⑶經(jīng)過技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等

品率提高為70%,如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬

元，則三等品率最多是多少？

四步內(nèi)容

條件:隨機抽取200件，已知各個等級產(chǎn)品的件數(shù)和

理解

~利潤數(shù).

題音

心結(jié)論:求分布列、平均利潤和三等品率.

根據(jù)利潤的意義

寫出X的分布列

思路寫出X的取值

探求利川期望

求出均值E（x）

回答問題

(DX的所有可能取值有6,2,1,—2.

12650

，(X=6)=端=0.63.P(X=2)=就=0.25,P(X

204

=l)=；^=0.1,P(X=—2)=；^=0.02.故X的

分布列為:

X621-2

P0.630.250.10.02

書

寫(2)E(X)=6X0.63+2X0.25+1X0.l+(-2)X

表0.02=4.34.

達(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為％.則此時1件產(chǎn)品

的平均利潤為E(X)=6X0.7+2X(1-0.7-0.01

-N)+1XJT+(—2)X0.01=4.76—z(0W7《

0.29).依題意，E(X)》4.73,即4.76-JT>4.73,

解得H&O.03,所以三等品率最多為3%.

注意書寫的規(guī)范性：

①X的所有可能取值有6,2,1,—2.

②正確表達出E(X)>4.73是關(guān)鍵.

題后在寫出分布列時，正確求出隨機變量的取值是解決

反思此類題的關(guān)鍵.

解題策略

1.實際生活中的均值問題

均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成績預(yù)測、消費

預(yù)測、工程方案的預(yù)測、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益的預(yù)測等方面,

都可以通過隨機變量的均值來進行估計.

2.概率模型的三個解答步驟

⑴審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，

所用的公式有哪些.

⑵確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值.

⑶對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論.

「跟蹤訓(xùn)練>>

I.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，4表示甲車床生產(chǎn)1000件

產(chǎn)品中的次品數(shù)，n表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一

段時間考察，上”的分布列分別是：

0123

P0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

據(jù)此判定()

A.甲比乙質(zhì)量好B.乙比甲質(zhì)量好

C.甲與乙質(zhì)量相同D.無法判定

選A.E(O=0x0.7+1x0.1+2x0.1+3x0.1=0.6,

E(r))=0X0.5+1x0.3+2x0.2+3x0=0.7.

因為E(n)>E《)，故甲比乙質(zhì)量好.

2.某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,

22

方案甲的中獎率為：，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為￡，中

獎可以獲得3分；未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會，每

次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品.

⑴若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得

分為X,求XS3的概率.

⑵若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，則他

們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？

⑴由已知得小明中獎的概率為:，小紅中獎的概率為5，兩人中獎

與否互不影響，記“這2人的累計得分XS3”為事件A，則事件A的對

立事件為“X=5”，

22411

因為P(X=5)=3x5=F，所以P(A)=1-P(X=5)=正.所以這兩

人的累計得分X<3的概率為*.

(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為Xi都選擇方案乙

抽獎中獎的次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期

望為E(2X.),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2).

由已知得X1~B(2,I),X2~B(2,|),

一2424

所以E(Xi)=2x-=-,E(X2)=2X-.

812

所以E(2X,)=2E(X.)=q,E(3X2)=3E(X2)=y.

因為E(2X1)>E(3X2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分

的數(shù)學(xué)期望較大.

學(xué)情診斷?課堂測評

1?若隨機變量X的分布列如下表，則E(X)=()

X012345

p2x