2021-2022學年廣西高三（上）開學數(shù)學試卷（理科）（學生版+解析版）

2021-2022學年廣西高三（上）開學數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題：本大題共11小題，每小題5分，滿分55分，在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題意的.

1.（5分）己知集合4={y|y=+專）+V^cosx,xG/?},B={x\（/+x-6）（x+5）>

0）,U=R,則Cu（AUB）=（）

A.0B.[-5,3]

C.[-5,-引D.（-8,-5]U[-3,-V7）

2.（5分）復數(shù)一二（i為虛單位）的共輸復數(shù)為（）

3.（5分）觀察一枚均勻的正方體骰子，任意選取其中兩個面的點數(shù)，點數(shù)之和正好等于5

的概率為（）

1124

A.—B.—C.—D.—

10151515

4.（5分）已知尸”22是雙曲線C的兩個焦點,P為雙曲線上的一點，且仍尸||=2『乃|=|尸1F2|,

則C的離心率為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（5分）如圖，已知梯形ABOC,AB=AC=BD=2.CO=4,沿著對角線AO折疊使得點

3,點C的距離為2VL此時二面角B-A。-C的平面角為（）

AB

O

71717171

A.-B.-C.-D.-

6432

6.（5分）已知數(shù)列I,2,2,3,3,3,4,4,4,4,n,則該數(shù)列的第2021項為（）

A.62B.63C.64D.65

7.（5分）已知函數(shù)〃>）=1嬰，則/（I）=（）

e

A.ecoslB.esinlC.-D.e

2

8.（5分）設$譏（/?+1）+$譏夕=綺3,則（

）

V311

A.一B.-C.D--T

22-2

9.(5分)已知函數(shù)y=（%+l）sin（x+看）在（-5,5）零點的個數(shù)為（）

A.4B.5C.7D.8

10.(5分)己知△ABC的外心為0,2AC=3BC=12,MOC-AB=()

A.11B.10C.9D.12

XV

11.（5分）已知Fi，尸2是橢圓C：—+—=1Ca>b）的兩個焦點，P為橢圓上的一點，

a1b乙

_a

且|PF1|:|PF|:|F|F|=7：I：4V3,則,=（）

22b

1

A.1B.2C.4D.~

2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，請把答案寫在答題卡上相應的位

置.

12.（5分）（3久3—95。+1）展開式中常數(shù)項是

13.（5分）已知函數(shù)/（%）=]>+3+1,x^l,的最小值為3,則“=.

14.（5分）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2,PA=PB=PC=2,PB,PC中點分別為

D,E,則直線AE、CO的夾角為

ex,xe[―1,1)

15.（5分）已知函數(shù)/（%）=函數(shù)g(x)=kx+2,若/(x)=

—\x2-1|+2,x6[1,3]

g（x）,xG[-1,3]伶有兩個零點，則必+2A的取值范圍是.

三、解答題（共70分，17題10分，18-22題每題12分，解答應寫出文字說明，證明過

程或演算步驟）

16.（10分）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA：sinB=6：5,cosC=右

（1）求cosA的值；

（2）若點線段AB上的一點。滿足法?而=0,求cos/QCB的值.

17.（12分）前些年，為了響應綠色環(huán)保出行提供方便市民的交通，某市大力推行“共享單

車”，根據(jù)統(tǒng)計，近6年這個城市“共享單車”盈利數(shù)據(jù)如表：

年份代號X123456

盈利y（萬元）69109.81210

(1)從這6年中任取兩年，記單車盈利超過9.5(萬元)的年份數(shù)量為X,求X的分布

列及期望；

(2)從1-6這6個年份中任取兩年，盈利總額小于19(萬元)的概率.

18.(12分)在三棱錐S-ABC中，ZASC=ZABC=90°,/\ASC^/\CBA,AB=SC=V7,

SB=V7,AC=3.

(1)求證：平面ASC_L平面ABC；

(2)已知M是線段AC上一點，TIM=|,求二面角A-SM-8的余弦值大小.

19.(12分)函數(shù)f(x)=4+2?+0%.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當〃>0時，設/(x)=0的零點個數(shù)為2,且零點X”及滿足制3+m3=2,求函數(shù)

g(x)—ax1-lnx+1,1WXW2的最大值.

x2

20.(12分)設雙曲線丁-y2=1其右焦點為凡過F的直線與雙曲線C的右支交于A、B

兩點.

(1)求直線斜率的取值范圍；

(2)求A8中點的軌跡坐標方程.

2021-2022學年廣西高三（上）開學數(shù)學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共11小題，每小題5分，滿分55分，在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題意的.

1.(5分)已知集合4={y|y=sin(x+$+gcosx,xG/?},B={x|(J?+X-6)(x+5)>

0},U=R,貝UCu(AUB)=()

A.0B.[-5,3J

C.[-5,-3]D.(-8,-5]u[-3,-V7)

【解答】解：由y=sin(x+^)+V3cosx=^sirir+-^cosx+V3cosx=^sirir+^^cosA=

V7sin(x+0)>tan0=3V3.

集合A=[-V7,V7],

B={x|-5<x<-3或Q2},

AUB={x|-5<x<-3或注77},

那么Cu(AU8)=(-8,-5]U[-3,-V7).

故選：D.

2.（5分）復數(shù)」一（i為虛單位）的共軌復數(shù)為（）

-1+i1+i

A.----B.一D.-1-i

22

i(l+i)_1-i

...復數(shù)言（i為虛單位）的共朝復數(shù)為.

故選：B.

3.（5分）觀察一枚均勻的正方體骰子，任意選取其中兩個面的點數(shù)，點數(shù)之和正好等于5

的概率為（）

112』

A.—B.—C.—D.-

1015151

【解答】解：觀察一枚均勻的正方體骰子，任意選取其中兩個面的點數(shù),

基本事件總數(shù)〃=鬣=15,

點數(shù)之和正好等于5包含的基本事件有：

（1,4）,（2,3）,共2個，

.?.點數(shù)之和正好等于5的概率為p=條

故選：C.

4.（5分）已知Fi，&是雙曲線C的兩個焦點,P為雙曲線上的一點，且|PQ|=2|P0|=|FIF2|，

則C的離心率為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：Fi，他為雙曲線C的兩個焦點，尸是C上的一點，|PFI|=2|PF2|=|FIF2|=

2c,

設|PQ|=2〃i,\PF2\=m,由雙曲線的定義可得%=2a,

可得2a=c,所以e=g=2.

故選：B.

5.（5分）如圖，已知梯形ABOC,AB=AC=BD=2.CD=4,沿著對角線AD折疊使得點

B,點C的距離為2加，此時二面角8-A。-C的平面角為（）

B

【解答】解：由梯形ABDC,AB=AC=B￡>=2.CD=4,易求得/AC￡>=60°,ZABD

=120,AD=2百，

所以AC?+4。2=22+Q6y=16=42=CZ）2,所以NC4O=90°,

取AC的中點E,連接8E,過點E作EF〃AC,過點C作C尸〃〃A。交EF于尸，連接

BF,

所以四邊形ACFE是矩形，所以EELAD,EF=AC=2

又A8=B￡>,：.BELAD,，NBE尸為二面角B-AD-C的平面角，

又，：BECEF=E,BEu面BEF,￡FcfflBEF,所以人打面成尸，

'：CF////AD,.,.CF±IlB￡F,面BEF,所以CF_LBF,

又AD=26，：.CF=?點8,點C的距離為2VL所以求得3F=百，

\"AB=BD=2,A￡>=2百，E為A。的中點，所以BE=1,

在ABEF中，由BE?+E/2=M+22=5=（遙/=8尸2,所以ABE尸為直角三角形，

且/8￡尸=宏

n

二面角B-AD-C的平面角為亍

故選：D.

6.(5分)已知數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…，小則該數(shù)列的第2021項為()

A.62B.63C.64D.65

【解答】解：將相同的數(shù)字分為一組，則每組數(shù)字個數(shù)構成等差數(shù)列斯=%

因為1+2+3+……+n=M聯(lián))<2021n“W63,

.63X64

TiiJ---------=2016,

2

前2021項共包含63個完整組，且第63組最后一個數(shù)字為第2016項,

故2021項為第64組第5個數(shù)字，其為64.

故選：C.

7.(5分)已知函數(shù)f(x)=蠟竽，則/(I)=()

A.ecos1B.esinlcfD.e

sinx“sinxexsinx(sinx)fx-xfsinx

【解答】解：f(x)=(/)'+/(——)'=

XxX

x

esinxvxcosx-sinx

x+'——

/./(1)=ecosl.

故選：A.

8.(5分)設sin(0+專)+sinp=繆L則sin(0-1)=(

)

V31_/3

A.一B.-C.D.

22

【解答】解：5譏(￡+1)+5，印=苧=孚+支兩個角的正弦函數(shù)值的和，恰好是一

組相差7的角,不妨歸南

6。

所以=sin（—Q=—

故選：C.

9.（5分）已知函數(shù)y=（%+l）s譏（％+看）在（-5,5）零點的個數(shù)為（）

A.4B.5C.7D.8

【解答】解:函數(shù)y=（x+l）sin（x+5）=0,可得x=-1或sin（%+著）=。，

可得x=/nr—5，依Z,因為（-5,5）,所以x=——看‘兀"，

所以函數(shù)的零點有4個.

故選：A.

10.（5分）已知△ABC的外心為。，2AC=3BC=12,則兒,幾=（）

A.11B.10C.9D.12

—>—>—>—>—>—>—>—>—>1T2]T2

【解答】解：AB=OC-（CB-CA）=-（CO,CB-CO?CA）=-（-CB--C^）

=10.

故選：B.

x12*y2

11.（5分）已知Q,22是橢圓C：三+77=1（a>b）的兩個焦點，P為橢圓上的一點，

a2b2

且|PF1|：\PF2\：|FIF2|=7：1：4V3,則：=（）

b

1

A.1B.2C.4D.-

2

【解答】解：由題意設|尸尸2|=機（機>0）,則|PF[|=7加，|尸1尸2|=4百〃7,

/.2a=Smf〃=4加,2c=48根,c=2y/3m,

/.b=Va2—c2=V16m2—12m2=2m,

.±_%_2

?.——乙?

b2m

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，請把答案寫在答題卡上相應的位

置.

12.（5分）（3。一]5夕+1）展開式中常數(shù)項是240.

【解答】解：（3/一35的通項公式為。+]=%.（3/）=（-2）r-35r-C^^15

■4r

(3X3-|)5(X+1)展開式中常數(shù)項分兩種情況：

①在(x+1)項中選擇x,則令15-4r=-1,解得r=4,

此時常數(shù)項為(-2),?35”展=(—2)4.31-=240；

②在(x+1)項中選擇1,則令15-4r=0,由于r€N,所以無解，

綜上所述，(3x3—|)5(x+l)展開式中常數(shù)項為240.

故答案為：240.

13.(5分)已知函數(shù)f(x)=Jx+,+1,a>0的最小值為3,則a=16.

【解答】解：令UX+E+1，其中x》l，

當0<?<1時，函數(shù)Ux+E+1在［1，+8)上為增函數(shù)，

故當x=l時，f有最小值，即/(x)取得最小值為衍1=3,得a=7(舍去)；

當時，t=x+-+l>2lx--+1=2y/a+1,當且僅當x=迎時取等號，

1XX

則f(x)的最小值為J2vH+1=3,解得4=16.

綜上所述，4=16.

故答案為：16.

14.(5分)已知正三棱錐尸-ABC的底面邊長為2,必=PB=PC=2,PB,PC中點分別為

1

D,E,則直線AE、Cn的夾角為arccosC.

【解答】解：取PO的中點F,連接EF,AF,AE,則EFIIQC,

所以異面直線AE與CO所成的角為EF與CC所成的角即/AEF或其補角,

在中，因為以=PB=AB=2,

所以AF=y/PA2+PF2-2PA-PFcos600=4+1-2x2x|x1=%,

Y4zzz

1F5

在△以C和△PBC中，AE=V3,EF=^DC=

在中，由余弦定理可得：

AE2+EF2-AF23+渭」

cosZAEF=

2AE-EF-2x氏名6,

1

所以ZAEF=arccos^

故答案為：arccos^.

6

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=f1，1),函數(shù)ga)=4x+2,若/(x)=

l-|x2-l|+2,xe[1,3]

g(x),%G［-1,3］伶有兩個零點，則必+2人的取值范圍是「-1,學.

【解答】解：作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示(實線部分)，/(X)=g(x),3］

伶有兩個零點(最好改為方程有兩個根)，

則轉(zhuǎn)化為y=/(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點，而y=g(x)=入+2是過定點(0,

2)的直線(虛線部分，容易求出有兩個交點時%的范圍為［一號，0］,

所以F+2k=(A+1)~-16［—1>竽］.

故答案為：［一1,竽］

三、解答題（共70分，17題10分，18—22題每題12分，解答應寫出文字說明，證明過

程或演算步驟）

16.（10分）己知在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA：sinB=6：5,cosC=1.

（1）求cosA的值；

（2）若點線段43上的一點。滿足亦?而=0,求cos/OCB的值.

【解答】解：（1）因為cosC=]

J9f以sinC=

故設〃=6機，b=5）n,a：b=sinAzsin8=6：5

由余弦定理得cos。="黯千=/

所以c=7m,

.b2+c2-a219

C0S/l=2bc=35）

（2）因為線段4B上的一點。滿足后?而=0,

所以DCVDB,

276

故cos/DCB=sinB=V1—cos2B=

~7~,

17.(12分)前些年，為了響應綠色環(huán)保出行提供方便市民的交通，某市大力推行“共享單

車”，根據(jù)統(tǒng)計，近6年這個城市“共享單車”盈利數(shù)據(jù)如表:

年份代號X123456

盈利y(萬元)69109.81210

(1)從這6年中任取兩年，記單車盈利超過9.5(萬元)的年份數(shù)量為X,求X的分布

列及期望；

(2)從1-6這6個年份中任取兩年，盈利總額小于19(萬元)的概率.

【解答】解：⑴尸(X=0)=^=去，P(X=l)=^p=^,P(X=2)=妥=東

C

C6C66

故X的分布列為:

X012

P182

15155

故X的數(shù)學期望E(X)=0x書+1X言+2x|=*

(2)從1-6這6個年份中任取兩年，基本事件有底=15個，

盈利總額小于19(萬元)的年份代號是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,

4),

從1-6這6個年份中任取兩年，盈利總額小于19(萬元)的概率尸=假=|.

18.(12分)在三棱錐S-ABC中，NASC=NABC=90°,△ASC絲△C8A,AB=SC=夕,

SB=V7,AC=3.

(1)求證：平面ASCJ_平面ABC；

(2)已知M是線段AC上一點，AM=^,求二面角A-SM-8的余弦值大小.

【解答】(1)證明：在三棱錐S-A8C中，,：ZASC=ZABC=90Q,

；.AS_LSC,ABIBC,

'：AB=SC=巾,AC=3,△ASC嶺△CDA,：.AS=BC=&,

在△ASC中，作SH_LAC,在△ABC中，作BG_LAC,

得5〃=86=學AH=CG=J(?一(孚)；=I，

，GH=3-2x|=|,BH2=BG2+G，2=竽+曾=善=呈

而S"2=S.?.BH2+S“2=善+竽=等=7,

又：SB=夕，：.SH2+BH2=SB2,即SH_LB”，

又SH_L4C,S.ACHBH=H,..4”，平面ABC,

而SHu平面ASC,；.平面ASC_L平面ABC-,

(2)解：以H為坐標原點，分別以HC、HS所在直線為y、z軸建立空間直角坐標系,

V145V145

則S(0,0,---),M(0,一,0),B(---，一，0),

3633

SM=(0,|,一半)，MB=|,0),

平面ASM的一個法向量為茄=(1,0,0),

設平面SM8的一個法向量為￡=(x,y,z),

t7145

n?MB=-^―x+石y=0

57106

106,

由圖可知，二面角A-SM-5為鈍角,

.二二面角A-SM-B的余弦值為一耳夢

19.(12分)函數(shù)/(x)=x3+2x2+or.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當。＞0時，設/(冗)=0的零點個數(shù)為2,且零點”],X2滿足制3+m3=2,求函數(shù)

g(x)=a^-/nx+1,的最大值.

【解答】解：(1)函數(shù)/G)=/+2/+辦.

可得/(x