七年級數(shù)學(xué)上冊專題4.8與角平分線有關(guān)計算問題大題專項訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-【講練課堂】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

/【講練課堂】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題4.8與角平分線有關(guān)計算問題大題專項訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）一、解答題1．（2021·山東·濟南市萊蕪區(qū)方下魯西學(xué)校期中）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∠AOE=150°，【答案】115°【分析】先由OB是∠AOC的平分線求出∠AOC，從而求出∠EOC，再用OD是∠COE的平分線求出【詳解】∵OB是∠AOC的平分線，∠∴∠AOC∴∠EOC又∵OD是∠COE∴∠EOD又∵∠AOE∴∠AOD【點睛】本題考查與角平分線有關(guān)的角度計算，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級階段練習）如圖，已知∠AOB＝160°，OD是∠AOB內(nèi)一條射線，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．(1)若∠AOE＝55°，求∠EOC的度數(shù)；(2)若∠BOC＝19°，求∠EOD的度數(shù)．【答案】(1)∠EOC=80°(2)∠EOD=61°【分析】（1）先根據(jù)角平分線定義，結(jié)合∠AOE＝55°得到∠EOD＝∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DOC＝25°，根據(jù)∠EOC=∠EOD+∠DOC＝80°；（2）先根據(jù)角平分線定義得到∠DOB＝2∠BOC＝38°，再求出∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝122°，然后根據(jù)角平分線定義得出∠EOD＝12∠AOD＝61°（1）解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝55°，∴∠EOD=∠AOE∵∠AOB＝160°，∴∠BOD∵OC平分∠BOD，∴∠COD∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°．（2）解：∵OC平分∠BOD，∠BOC＝19°，∴∠DOB＝2∠BOC＝38°，∵∠AOB＝160°，∴∠AOD＝∠AOB-∠DOB＝122°，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝12∠AOD＝61°【點睛】本題主要考查角平分線的定義與角度的計算，仔細觀察圖形找到數(shù)量關(guān)系，是解答關(guān)鍵．3．（江蘇省泰州市興化市2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，∠AOB=m°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，OD、OE(1)若∠BOC=90°，∠AOC(2)試用含m的代數(shù)式表示∠DOE(3)在圖中，將OC反向延長，得到OP，OM、ON分別平分∠BOP、∠AOP．請將圖補充完整，并用含m的代數(shù)式表示【答案】(1)60°；(2)12(3)圖見解析，180°-【分析】（1）利用OD、OE分別平分∠BOC、∠AOC，可知∠DOC=1（2）利用∠DOE（3）利用OM、ON分別平分∠BOP、∠AOP，可得∠MOP=12（1）解：∵OD、OE分別平分∠BOC、∠AOC，且∠BOC∴∠DOC=1∴∠DOE（2）解：由（1）可知：∠DOE∵∠AOB∴∠DOE（3）解：補充圖形如下：∵OM、ON分別平分∠BOP、∠AOP，且∴∠MOP=12∴∠MON【點睛】本題考查角平分線，幾何圖形中角的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，找出角之間的關(guān)系．4．（江蘇省南京市秦淮區(qū)五校2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期第二階段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷）如圖，∠AOB＝100°，OC、OD是兩條射線，射線OD平分∠BOC，∠BOD＝20°．(1)圖中共有個角；(2)求∠AOC的度數(shù)；(3)作射線OE．若∠BOE＝50°，則∠DOE的度數(shù)為°．【答案】(1)6(2)60°(3)30或70【分析】（1）數(shù)出角的個數(shù)即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)求出∠BOC的度數(shù)，即可求出∠AOC；（3）分類討論，分為OE在∠AOB的內(nèi)部或外部，即可求出∠DOE．（1）解：一個小角組成的角：3個；兩個小角組成的角：2個；三個小角組成的角：1個，共：3+2+1=6個；故答案為：6；（2）解：∵OD平分∠BOC，∠BOD＝20°，∴∠BOC＝2∠BOD＝40°．∵∠AOB＝100°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°；（3）解：當OE在∠AOB的內(nèi)部時，如圖1：∵∠BOE＝50°，∠BOD＝20°∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝50°－20°＝30°；當OE在∠AOB的內(nèi)部時，如圖2：∵∠BOE＝50°，∠BOD＝20°∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝50°+20°＝70°故答案為：30或70．【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差運算，靈活應(yīng)用知識是本題的關(guān)鍵．5．（江蘇省泰州市姜堰區(qū)2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知∠AOB=120°，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，射線OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是(1)若OC平分∠AOB，求∠(2)小明說：當射線OC繞點O在∠AOB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，∠(3)若OM、ON、OA、OB中有兩條直線互相垂直，請直接寫出∠AOC【答案】(1)80°(2)正確，理由見解析(3)30°或90°【分析】（1）根據(jù)角平分線得到∠AOC＝∠BOC＝60°，再根據(jù)三等分線可得∠MOC和∠NOC的度數(shù)，最后利用∠MON＝∠MOC＋∠NOC可得答案；（2）正確，按照（1）的思路計算即可；（3）分OA⊥ON和OM⊥OB兩種情況，再利用角的和差計算即可．(1)解：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠MOC＝23∠AOC＝40°，∠NOC＝23∠BOC＝∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°＋40°＝80°；(2)解：小明是說法正確，∵∠MOC＝23∠AOC＝40°，∠NOC＝23∠BOC＝∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝23（∠AOC＋∠BOC）＝23∠AOB＝23×120°(3)①當OA⊥ON時，∵∠AOB＝120°，OA⊥ON，∴∠BON＝∠AOB?∠AON＝120°?90°＝30°，∵ON是∠BOC的三等分線，∴∠BOC＝3∠BON＝90°，∴∠AOC＝120°?90°＝30°；②當OM⊥OB時，∵∠AOB＝120°，OM⊥OB，∴∠AOM＝∠AOB?∠BOM＝120°?90°＝30°，∵OM是∠AOC的三等分線，∴∠AOC＝3∠AOM＝90°．綜上，∠AOC的度數(shù)是30°或90°．【點睛】本題考查角的計算，熟練掌握角平分線的定義與角的和差的解題關(guān)鍵，（3）中注意要分類討論．6．（江蘇省無錫市2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，點O為垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠COE＝54°，求∠DOF的度數(shù)；(2)若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度數(shù)．【答案】(1)∠DOF＝108°(2)∠DOF＝112.5°【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE＝90°，再由角平分線求出∠COF＝12∠AOC＝72°，最后可得∠DOF（2）設(shè)∠EOF＝x°，則∠COE＝2x°，∠COF＝3x°，再由角平分線求出∠AOF＝∠COF＝3x°，所以∠AOE＝4x°，再由垂直定義列出式子，解出方程即可．（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°；∵∠COE＝54°，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝144°，∵OF平分∠AOC，∴∠COF＝12∠AOC＝72°∴∠DOF＝180°－∠COF＝108°．（2）設(shè)∠EOF＝x°，則∠COE＝2x°，∴∠COF＝3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠COF＝3x°，∴∠AOE＝4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴4x＝90，解得x＝22.5，∴∠COF＝3x°＝67.5°，∴∠DOF＝180°－∠COF＝112.5°．【點睛】本題考查了角的計算，根據(jù)垂直的定義、角的和差關(guān)系列出方程進行求解，難度適中．7．（湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點O為直線AB上一點，將直角三角板OCD的直角頂點放在點O處．已知∠AOC的度數(shù)比∠BOD的度數(shù)的3倍多(1)求∠BOD(2)若OE、OF分別平分∠BOD、∠BOC，求【答案】(1)20°(2)45°【分析】（1）設(shè)∠BOD（2）利用“雙角平分線”模型解題即可．（1）解：（1）設(shè)∠BOD∵∠AOC的度數(shù)比∠BOD的度數(shù)的3倍多10度，且∴x+(3解得：x=20∴∠BOD（2）（2）∵OE、OF分別平分∠BOD、∴∠BOE=1∴∠EOF【點睛】本題主要考查的是角的相關(guān)計算，掌握雙角平分線的角度變化是解題的關(guān)鍵．8．（山西省運城市實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，∠AOC=80°，OB是∠AOC的平分線，OD是∠(1)求∠BOC的度數(shù)；(2)若∠DOE=30°，求∠【答案】(1)40°(2)100°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義，可得∠COE=60°，再由（1）解：∵∠AOC=80°，OB是∠∴∠B（2）解：∵OD是∠COE的平分線．∠DOE∴∠COE∵∠BOC∴∠BOE【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握在角的內(nèi)部，把一個角分成相等的部分的射線叫這個角的角平分線是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河北·邢臺三中七年級期中）如圖，直線AB、CD相交于點O。已知∠AOC=75°，在∠AOC(1)∠COE度數(shù)是___________；∠BOC度數(shù)是(2)將射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a°0①如圖2，當OF平分∠BOE時，說明OB平分∠②當∠AOF=90°時，請求出【答案】(1)45°；105°(2)①見解析；②當∠AOF=90°時，α的度數(shù)為60°【分析】（1）根據(jù)∠COE=∠AOC（2）①求出∠BOD與∠②考慮到有兩種情況即可，即為OF在如圖所示位置與OF在AB上方位置．【詳解】（1）解：∵∠AOC=75°，∴∠COE∵∠AOC∴∠BOC故答案為：45°；105°；（2）解：①當OF平分∠BOE∵∠BOF又∵∠∴∠BOF∴OB平分∠DOF∴當OF平分∠BOE時，OB是平分②當∠AOF=90°時，且OF在∵∠EOF∴α=當∠AOF=90°時，且OF在AB上方時，OF相當于比在AB下方時多旋轉(zhuǎn)了∴α=綜上所述：當∠AOF=90°時，α的度數(shù)為60°或者【點睛】本題考查了幾何圖形中角的計算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·七年級專題練習）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使點N在OC的反向延長線上，請直接寫出圖中∠MOB(2)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求(3)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖4，使ON在∠AOC內(nèi)部，請?zhí)骄俊螦OM與【答案】(1)∠BOM(2)∠CON(3)∠AOM【分析】（1）根據(jù)對頂角求出∠BON，代入∠（2）求出∠BOC=120°，根據(jù)角平分線定義請求出∠COM（3）用∠AOM和∠CON表示出【詳解】（1）解：∵∠BOC∴∠AOC∴∠BON∵∠MON∴∠BOM（2）解：∵∠BOC=120°，OM平分∴∠COM∵∠MON∴∠CON（3）解：∠AOM理由是：∵∠MON=90°，∴∠AON=90°-∠∴90°-∠AOM∴∠AOM故∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：【點睛】本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義，認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江·七年級專題練習）如圖1，∠AOB=40°,∠COD=60°，OM、ON分別為(1)若∠MON=70°，則∠BOC(2)如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC'，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD'，∠BOD①當OC'平分∠BO②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得∠BOP-∠MO【答案】(1)40(2)①5或30；②存在且定值為40°，0≤【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求角的大小即可；（2）①分類討論順時針、逆時針轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，列出等量關(guān)系式求出t；②分類討論順時針、逆時針轉(zhuǎn)兩種情況，當C'在B下方時，當C'在B上方時，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，求在某個時間段使得∠BOP【詳解】（1）解：∵OM為∠AOB的角平分線，∠∴∠MOB∵∠MON∴∠BON∵ON為∠BOD∴∠BON∴∠CON∴∠BOC故答案為：40；（2）如圖3，逆時針旋轉(zhuǎn)時，當C'在B上方時，根據(jù)題意可知，∠BO∠BO∵OC'平分∴∠BOC'解得：t=5s當C'在B下方時，此時C'也在N'下方，此時不存在O順時針旋轉(zhuǎn)時，如圖4，同理，當C'在B下方時，此時C'也在N'下方，此時不存在O當C'在B上方時，即OC'由題意可求OC'與OB=(＝803∴OC'與OB重合之后，∴∠BO∴∠BO∵OC'平分∴∠BO∴6(t解得：t=30s綜上所述，當OC'平分∠BON'時，t②逆時針旋轉(zhuǎn)時：當C'在B上方時，如圖5根據(jù)①可知，∠BO∴∠AO∴∠AOP∴∠BOP∵∠MO∴∠BOP此段時間0≤t如圖④當C'在B下方時，設(shè)經(jīng)過OB后運動時間為t同理可知，∠BOC'∴∠MO∴∠AO∴∠AOP∴∠BOP∵∠MO∴∠BOP-∠MO順時針旋轉(zhuǎn)時：當C'在B下方時，如圖⑤設(shè)經(jīng)過OB后運動時間為t2同理可知：∠BO∴∠BO∴∠AO∴∠BOP∵∠MO∴∠BOP此時：20<t當C'在B上方時，如圖⑥設(shè)經(jīng)過OB后運動時間為t3同理可知：∠B∴∠BO∴∠AO∴∠AOP∴∠BOP∵∠MO∴∠BOP-∠MO綜上所述：存在且定值為40°，0≤t【點睛】本題主要考查了角平分的定義、角的計算等知識，理解題意，通過題目中的信息找到等量關(guān)系，并利用分情況討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．12．（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級階段練習）將一副三角板如圖1擺放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠(1)∠MON=(2)將圖1中的三角板OCD繞點D旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求∠MON(3)將圖1中的三角板OCD繞點D旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求∠【答案】(1)52.5°(2)52.5°(3)52.5°【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，分別求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON（3）同（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON（1）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠∴∠NOB=1∴∠MON故答案為：52.5°．（2）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠∴∠MOD=1∴∠=====52.5°；（3）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠∴∠MOD=1∴∠=====52.5°．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，幾何圖形中角的計算．準確識圖并發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．13．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC=70°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：∠(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉(zhuǎn)動，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和【答案】(1)20(2)20(3)∠COE【分析】（1）根據(jù)圖形得出∠COE（2）根據(jù)角平分線定義求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD（3）根據(jù)圖形得出∠BOD+∠COD【詳解】（1）解：∠COE故答案為：20．（2）解：∵OC平分∠EOB，∴∠EOB∵∠DOE∴∠BOD∵∠BOC∴∠COD（3）解：∠COE∵∠BOD+∠COD∴(∠=∠=∠=90°-70°=20°，即∠COE【點睛】本題主要考查了角平分線定義，角的計算的應(yīng)用，能根據(jù)圖形求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．14．（2022·安徽·肥西縣嚴店初級中學(xué)七年級階段練習）已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如圖1，若OB，OC重合，則∠EOF=(2)如圖2，∠BOC=20°，求(3)如圖3，求∠EOF【答案】(1)90°(2)∠EOF=90°；(3)∠EOF=90°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義知∠EOB=12∠AOB、∠BOF=12∠（2）根據(jù)角平分線的定義知∠EOC=35°，∠BOF=35°，再根據(jù)∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF可得答案；（2）根據(jù)角平分線的定義知∠EOC=12(90+x)°，∠BOF=12(90+x)°，再根據(jù)∠EOF=∠EOC+∠BOF?∠（1）解：∵OB，OC重合，∴∠AOB+∠COD=180°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB=12∠AOB，∠BOF=12∠∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=12∠AOB+12=12(∠AOB+∠COD=12=90°；故答案為：90°；（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=70°，∠BOD=∠COD?∠BOC=70°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC=12∠AOC=35°，∠BOF=12∠BOD∴∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF=35°+20°+35°=90°；（3）解：設(shè)∠BOC=x°，∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=x°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=(90+x)°，∠BOD=∠COD+∠BOC=(90+x)°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC=12∠AOC=12(90+x)°，∠BOF=12∠BOD=12∴∠EOF=∠EOC+∠BOF?∠BOC=12(90+x)°+12(90+x)°?x【點睛】本題主要考查角的計算和角平分線的定義，讀懂圖并利用角的和差關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022·廣東·正德中學(xué)七年級期末）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和多多一起探究下面問題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大小，請直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過程）．【答案】(1)50°(2)50°(3)50°或130°【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠（2）先根據(jù)角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根據(jù)角平分線的定義可得（3）如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射線OC在∠（1）解：∵OE是∠AOC的平分線，∴∠COE∵∠AOB∴∠COB∵OF是∠∴∠COF∴∠EOF（2）∵∠AOB∴∠AOC∵OE是∠AOC的平分線，OF是∴∠COE∴∠故答案為：50°（3）∵OE是∠AOC的平分線，OF是∴∠COE由題意，分以下三種情況：①如圖，延長BO至點D，當射線OC在∠AOD∵∠AOB∴∠COB∴∠EOF②如圖，延長BO至點D，延長AO至點M，當射線OC在∠DOM∵∠AOB∴∠COB∴∠EOF③如圖，延長AO至點M，當射線OC在∠BOM∵∠AOB∴∠AOC∴∠EOF綜上，∠EOF的度數(shù)為50°或130°【點睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．16．（2021·陜西省西安愛知中學(xué)七年級階段練習）已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，M，N分別為OA、OC上的點，線段OM，ON同時分別以30°/s、10°/s，的速度繞點O逆時針轉(zhuǎn)動，當OM、ON逆時針轉(zhuǎn)動到OM'、ON'處，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t秒（0≤t≤6）．（1）如圖1，∠AOB＝120°，若OM、ON轉(zhuǎn)動時間t＝2時，則∠BON'+∠COM'＝度；（2）若∠AOC＝70°；①當∠M'ON'＝10°時，求轉(zhuǎn)動時間t的值；②當∠M'OC＝∠N'OC時，求轉(zhuǎn)動時間t的值．【答案】（1）40°；（2）①t=3或t=4；②t【分析】（1）先求出∠NON'=10°×2=20°，∠MOM'=30°×2=60°，再表示出∠BON（2）①在0≤t≤6范圍內(nèi)，分兩種情況研究，即當OM'與ON'重合之前時，當②在0≤t≤6范圍內(nèi)，分兩種情況研究，即當當OM'與OC重合之前時，當OM【詳解】解：（1）依題意：∠NON∠MOM則∠BON∠COM∴∠BON故答案是：40°；（2）①當OM'與ON70°+10°t解得：t=3當OM'與ON30°t解得：t=4故轉(zhuǎn)動的時間t=3或t②當OM'與OC70°-30°t解得：t=當OM'與ON30°t解得：t=3.5故轉(zhuǎn)動的時間t=74【點睛】本題考查了一元一次方程，角度的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的等式，利用分類討論的思想進行求解．17．（2022·全國·七年級專題練習）【學(xué)習概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=32α，3α；（2）t=207，4，【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當∠MPQ=2∠QPN時；當∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運用的時間為t秒，則PM運用后有∠NPQ=12t，∠MPN=120-6【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=12∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=32αⅡ．如圖2，當∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=32α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運動前∠MPN＝120°，設(shè)運用的時間為t秒，則PM運用后有∠NPQ=12t①當∠MPQ∴120-6t解得：t=②當∠MPQ=∠NPQ∴120-6t解得：t=4③當∠NPQ∴12t解得：t=5④當∠MPN∵∠MPN=120-6t∴120-6t解得：t=10∵t的最大值為：t=∴t=10綜合上述，t=207，4，5【點睛】本題考查了新定義的角度運算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運動狀態(tài)，運用分類討論的思想進行分析．18．（2022·全國·七年級課時練習）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC:∠BOC=2:1，將直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊（1）在圖1中，∠AOC=_______，∠（2）將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得OM在射線OA上，求∠CON（3）將上述直角三角板按圖3的位置放置，使得OM在∠BOC的內(nèi)部，求∠【答案】（1）120°，60°；（2）30°；（3）30°．【分析】（1）點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度數(shù)；（2）根據(jù)∠AOC的度數(shù)和∠MON的度數(shù)可以得到∠CON的度數(shù)；（3）根據(jù)∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，可以得到∠BON-∠COM的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°故答案為：120°，60°；（2）∵由（1）可知：∠AOC=120°，∠MON=90°，∠AOC=∠MON+∠CON，∴∠CON=∠AOC-∠MON=120°-90°=30°，故答案為：30°；（3）由圖可知：∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，則，∠BON-∠COM=90°-∠BOM-（60°-∠BOM）=30°，即∠BON-∠COM的度數(shù)是30°．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是找出各個角之間的關(guān)系，與已知條件建立關(guān)系，然后求出所求角的度數(shù)．19．（2022·江蘇淮安·七年級期末）如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：AOB、AOC和BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC

是AOB的奇妙線．（1）一個角的角平分線這個角的奇妙線．（填是或不是）（2）如圖2，若MPN60，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當QPN

首次等于180時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(s)．①當t為何值時，射線PM是QPN的奇妙線？②若射線PM同時繞點P以每秒6的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止旋轉(zhuǎn)．請求出當射線PQ是MPN的奇妙線時t的值．【答案】（1）是；（2）①9或12或18；②52或307或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3種情況，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)∠α被角平分線分成的兩個角為∠1和∠2，則有∠α=2∠1，∴一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；故答案是：是；（2）①由題意可知射線PM在QPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）當QPN=2MPN時，10t=2×60，解得t=12；（b）當MPN=2QPM時，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）當QPM=2MPN時，（10t-60）=2×60，解得t=18．故當t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“奇妙線”；②由題意可知射線PQ在MPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）當MPN=2QPN時，60+6t=2×10t，解得t=307（b）當MPQ=2QPN時，60-4t=2×10t，解得t=52（c）當QPN=2MPQ時，10t=2×（60-4t），解得t=203故當射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值為52或307或【點睛】本題考查了角之間的關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，奇妙線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇·七年級專題練習）【感受新知】如圖1，射線OC在∠AOB在內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“和諧線”．[注：本題研究的角都是小于平角的角．]（1）一個角的角平分線_______這個角的“和諧線”．（填是或不是）（2）如圖1，∠AOB=60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，求∠AOC的度數(shù)．【運用新知】（3）如圖2，若∠AOB＝90°，射線OM從射線OA的位置開始，繞點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線ON從射線OB的位置開始，繞點O按順時針方向以每秒7.5°的速度旋轉(zhuǎn)，當一條射線回到出發(fā)位置的時候，整個運動隨之停止，旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），問：當射線OM、ON旋轉(zhuǎn)到一條直線上時，求t的值．【解決問題】（4）在（3）的條件下，請直接寫出當射線ON是∠BOM的“和諧線”時t的值．【答案】（1）不是；（2）15°，45°，20°，40°；（3）4，12，20；（4）7.2，6，10.8，72【分析】（1）結(jié)合“和諧線”和角平分線的定義，即可得到答案；（2）分四種情況討論，由“和諧線”的定義，列出方程可求∠AOC的度數(shù)；（3）根據(jù)題意，分三種情況討論，列出方程可求t的值；（4）根據(jù)題意，分四種情況進行討論，列出方程，分別解方程，即可求出t的值．【詳解】解：∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的2倍，∴一個角的角平分線不是這個角的“和諧線”；故答案為：不是；（2）根據(jù)題意，∵∠AOB=60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，可分為四種情況進行分析：①當∠AOB=3∠AOC=60°時，∴∠AOC=20°；②當∠AOB=3∠BOC=60°時，∴∠BOC=20°，∴∠AOC=40°；③當∠AOC=3∠BOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，∴∠AOC=45°；④當∠BOC=3∠AOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，∴∠AOC=15°；（3）由題意得，∵360°÷15°=24（秒），∴運動時間范圍為：0＜t≤24，則有①當OM與ON第一次成一個平角時，90+15t+7.5t=180，解得：t=4（秒）；②當OM與ON成一個周角時，90+15t+7.5t=360，解得：t=12（秒）；③當OM與ON第二次成一個平角時，90+15t+7.5t=180+360，解得：t=20（秒）綜上，t的值為4或12或20秒；（4）當OM與OB在同一條直線上時，有t=(180°-90°)÷15°=6當OM與ON成一個周角時，有t=12∴6≤t根據(jù)“和諧線”的定義，可分為四種情況進行分析：①當∠MON=3∠BON時，如圖：∵∠MON=360°-90°-15t∴360°-90°-15t解得：t=6②當∠BOM=3∠BON時，如圖：∵∠BOM=360°-90°-15t∴360°-90°-15t解得：t=7.2③當∠BOM=3∠MON時，如圖：∵∠BOM=360°-90°-15t∴360°-90°-15t解得：t=④當∠BON=3∠MON時，如圖：∵∠BON=7.5t∴7.5t解得：t=10.8【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，和諧線的性質(zhì)，角之間的和差關(guān)系，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型21．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，點C是位于直線AB上方的一點，且∠BOC=20°，將一個含60°三角板（∠POQ=60°）頂點放在點O處，一邊OP與射線OA重合，點Q在直線AB的上方．（1）∠QOC=°（2）如圖2，現(xiàn)將圖1位置中三角板△OPQ繞點O沿順時針方向每秒轉(zhuǎn)動8°，射線OC繞點O沿逆時針方向每秒轉(zhuǎn)動12°，設(shè)轉(zhuǎn)動的時間為t秒，當點Q、點C有一點位于直線AB上時，轉(zhuǎn)動停止．①當線段OQ與射線OC重合時，求t的值；②當t=時，OP⊥OC．【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5【分析】（1）根據(jù)角的和差關(guān)系，直接求出∠QOC的度數(shù)，即可；（2）①根據(jù)題意，列出關(guān)于t的一元一次方程，即可求解；②分兩種情況：第一次OP⊥OC時，第二次OP⊥OC時，分別列出關(guān)于t的一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，∴∠QOC=180°-20°-60°=100°，故答案是：100；（2）①設(shè)過t秒，線段OQ與射線OC重合，則12t+8t=100，解得：t=5，②第一次OP⊥OC時，∠QOC=90°-60°=30°，則12t+8t=100-30，解得：t=3.5；第二次OP⊥OC時，∠QOC=90°+60°=150°，則12t+8t=100+150，解得：t=12.5，綜上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，故答案是：3.5或12.5【點睛】本題主要考查一元一次方程與角的和差的綜合應(yīng)用，根據(jù)角的和差關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．22．（2022·浙江·七年級專題練習）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若∠COD=12∠（1）如圖1，已知∠AOB=80°，∠AOC=25°（2）如圖2，已知∠AOB=68°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α0<α<60（3）已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點O以3度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線OA，OB【答案】（1）15°；（2）(683)°；（3）能，103s【分析】（1）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（2）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（3）設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α，旋轉(zhuǎn)的時間為t，根據(jù)內(nèi)半角的定義列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，∴∠COD∵∠AOC∴∠BOD故答案為：15°（2）∵∠AOC∴∠AOD∵∠COB是∠∴∠BOC∴α=∴旋轉(zhuǎn)的角度α為(683)°時，（3）設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α，旋轉(zhuǎn)的時間為t，如圖1，∵∠BOC是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠AOD∴12解得：α=∴t=如圖2，∵∠BOC是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠AOD∴12∴α=∴t=如圖3，∵∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，∴∠BOC∴12∴α=∴t=如圖4，∵∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，∴∠BOC∴12解得：α=∴t=綜上所述，當旋轉(zhuǎn)的時間為103s或30s或110s或3503s時，射線OA，【點睛】本題考查了與角的有關(guān)的計算，涉及到角的和差，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2021·四川·石室中學(xué)七年級期末）如果兩個角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個角互為“伙伴角”，其中一個角叫做另一個角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1=80°，∠2=20°，|∠1-∠2|=60°，則∠1和∠2互為“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是（1）如圖1．O為直線AB上一點，∠AOC=∠EOD=90°，∠AOE=60（2）如圖2，O為直線AB上一點，∠AOC=30°，將∠BOC繞著點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)得∠DOE，同時射線OP從射線OA的位置出發(fā)繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當射線OP與射線OB重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，求當t何值時，∠POD（3）如圖3，∠AOB=160°，射線OI從OA的位置出發(fā)繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒(0<t<1703)，射線OM平分∠AOI，射線ON平分∠BOI，射線OP平分∠MON．問：是否存在【答案】（1）∠EOB；（2）t為35或15；（3）存在，當t=1009或4309時，∠AOI與∠POI【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時間t把∠AOI與∠POI表示出來，根據(jù)∠AOI與∠POI互為“伙伴角（3）根據(jù)OI在∠AOB的內(nèi)部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，由旋轉(zhuǎn)得出經(jīng)過t秒旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，利用角平分線的定義分別表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵兩個角差的絕對值為60°，則此兩個角互為“伙伴角”，而∠AOE=60°，|∠AOE則∠x由圖知∠EOB=120°，∴（2）∵∠BOC繞O每秒1°逆時針旋轉(zhuǎn)得∠DOE則t秒旋轉(zhuǎn)了t°而OP從OA開始逆時針繞O旋轉(zhuǎn)且每秒4°，則t秒旋轉(zhuǎn)了4t∴此時∠==30∠==180又OP與OB重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，∴4tt?又∠POD與∠∴|∠POD∴|30∴|6tt=35秒或15答：t為35或15時，∠POD與∠（3）①若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP左側(cè)時，即∠AOP＞∠AOI，如下圖所示∵OI從OA出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了6t∴∠AOI=6∵OM平分∠AOI∴∠AOM=∠IOM=12此時6t＜160解得：t＜80∵射線ON平分∠BOI∴∠ION=1∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）∵射線OP平分∠∴∠POM=12∠∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根據(jù)題意可得|∠即|6解得：t=1009或-∴此時∠AOI=6×1009=(∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×1009）°＋40°=(2203∴t=1009②若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP右側(cè)時，即∠AOP＜∠AOI，如下圖所示∵OI從OA出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了6t∴∠AOI=6∵OM平分∠AOI∴∠AOM=∠IOM=12此時6t＜160解得：t＜80∵射線ON平分∠BOI∴∠ION=1∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）∵射線OP平分∠∴∠POM=12∠∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得|∠即|6解得：t=203或-∴此時∠AOI=6×203∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×203）°＋40°=60°＞∠AOI∴t=203③若OI在∠AOB的外部但OI運動的角度不超過180°時，如下圖所示∵OI從OA出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了6t∴∠AOI=6∵OM平分∠AOI∴∠AOM=∠IOM=12此時160<6解得：803＜∵射線ON平分∠BOI∴∠ION=1∴∠MON=∠IOM－∠ION=12（∠AOI－∠BOI）∵射線OP平分∠∴∠POM=12∠∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得|∠即|6解得：t=203（不符合前提條件，舍去）或-∴此時不存在t值滿足題意；④若OI運動的角度超過180°且OI在OP右側(cè)時，即∠AOI＞∠AOP如下圖所示此時6解得：t＞30∵OI從OA出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了6t∴∠AOI∵OM平分∠AOI∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI∵射線ON平分∠BOI∴∠ION=1∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12（360°∵射線OP平分∠∴∠POM=12∠∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根據(jù)題意可得|∠即|(360-6解得：t=1703（不符合0<t<1703∴此時不存在t值滿足題意；⑤若OI運動的角度超過180°且OI在OP左側(cè)時，即∠AOI＜∠AOP，如下圖所示此時6解得：t＞30∵OI從OA出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了6t∴∠AOI∵OM平分∠AOI∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI∵射線ON平分∠BOI∴∠ION=1∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12（360°∵射線OP平分∠∴∠POM=12∠∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根據(jù)題意可得|∠即|(360-6解得：t=4309或5509（不符合∴此時∠AOI=360°－6×4309=(∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×4309）°＋50°=(2603)∴t=4309綜上：當t=1009或4309時，∠AOI與∠POI互為【點睛】本題考查了角的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元一次方程的運用及角平分線性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．24．（江蘇省蘇州市振華中學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠(1)如圖1，若∠AOC=40°，求(2)在圖1中，若∠AOC=α，直接寫出∠(3)將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2①探究∠AOC和∠②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OM，滿足：4∠BOE-∠AOC=-3∠【答案】(1)20°(2)∠(3)①∠AOC=2∠DOE【分析】（1）利用角平分線的定義和角的和差的意義解答即可；（2）類比（1）的方法解答即可；（3）①設(shè)∠AOC＝α，則∠BOC＝180°?α，類比（1）的方法解答即可；②設(shè)∠AOC＝α，則∠BOC＝180°?α，利用角平分線的定義將已知條件適當變形得到120°?α＝?∠AOM，再將①的結(jié)論代入即可．(1)解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝12∠BOC＝70°∴∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?70°＝20°；(2)解：∠DOE＝12α∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝180°?α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝12∠BOC＝90°?12∴∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?（90°?12α）＝12(3)解：①∠AOC＝2DOE，理由：設(shè)∠AOC＝α，則∠BOC＝180°?α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝12∠BOC＝90°?12∴∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?（90°?12α）＝12∴∠AOC＝2∠DOE．②∠AOM＝2∠DOE?120°．理由：設(shè)∠AOC＝α，則∠BOC＝180°?α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝12∠BOC＝90°?12∴4∠BOE＝2∠BOC＝360°?2α，∵4∠BOE?∠AOC＝?3∠AOM，∴360°?3α＝?3∠AOM，∴120°?α＝?∠AOM，由①知：∠AOC＝2∠DOE，∴2∠DOE＝α，∴∠AOM＝2∠DOE?120°．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，平角的意義，利用類比的方法解答是解題的關(guān)鍵．25．（江蘇省常州市金壇區(qū)金壇良常初級中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖（1），點O為線段AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC∶∠BOC＝1∶2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在線段AB的下方．(1)將圖（1）中的直角三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使ON落在射線OB上（如圖2），則三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)繼續(xù)將圖（2）中的直角三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使ON在∠AOC的內(nèi)部（如圖3）．試求∠AOM與∠NOC度數(shù)的差？(3)若圖（1）中的直角三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中：①當直角邊OM所在直線恰好垂直于OC時，∠AOM的度數(shù)是；②設(shè)直角三角板繞點O按每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，當直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求三角板繞點O旋轉(zhuǎn)時間t的值．【答案】(1)90(2)30°(3)①150°或30°；②4或16【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON；（2）如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質(zhì)、圖中角與角間的數(shù)量關(guān)系推知∠AOM-∠NOC=30°；（3）需要分類討論：（ⅰ）當直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉(zhuǎn)角是60°；（ⅱ）當直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，旋轉(zhuǎn)角是240°．(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角∠MON=90°．故答案是：90；(2)如圖3，∠AOM-∠NOC=30°．設(shè)∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．②由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°；(3)①當直角邊OM所在直線恰好垂直于OC時，∠AOM的度數(shù)是150°或30°；故答案為：150°或30°；②（?。┤鐖D4，當直角邊ON在∠AOC外部時，由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°．此時三角板的運動時間為：t=60°÷15°=4（秒）．（ⅱ）如圖5，當直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)240°．此時三角板的運動時間為：t=240°÷15°=16（秒）【點睛】本題綜合考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算．解答（3）題時，需要分類討論，以防漏解．26．（江蘇省淮安市洪澤實驗校2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期第一次限時作業(yè)數(shù)學(xué)試題）探索新知：如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）(2)如圖2，若∠MPN＝x，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ＝；（用含x的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）(3)深入研究：如圖2，若∠MPN＝60°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當PQ與PN成180°時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當t為何值時，射線PM是∠QPN的“巧分線”；【答案】(1)是；(2)12x或者13(3)18秒或12秒或9秒.【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“巧分線”定義即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“巧分線”定義列出方程求解即可．（1）解：當OC是角∠AOB的平分線時，∵∠AOB=2∠AOC，∴一個角的平分線是這個角的“巧分線”；故答案為：是；（2）解：分三種情況，①∵射線PQ是∠MPN的“巧分線”，∴∠MPN=2∠MPQ=x∴∠MPQ=12②∵射線PQ是∠MPN的“巧分線”，∴∠QPN=2∠MPQ∵∠QPN+∠QPM=x，∴3∠MPQ=x∴∠MPQ=13③∵射線PQ是∠MPN的“巧分線”，∴2∠QPN=∠QPM，∵∠QPN+∠QPM=x，∴3∠QPN=x，∴∠QPN=13x∴∠QPM=23x∴∠MPQ=12x或者13故答案為：12x或者13（3）解：依題意有三種情況：①13∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=10t，∠NPM=60°∴13×10解得t=18(秒)；②12由∠NPQ=10t，∠NPM=60°∴12解得t=12(秒)；③23∠NPQ=∠由∠NPQ=10t，∠NPM=60°∴23解得：t=9(秒)，故t為18秒或12秒或9秒時，射線PM是∠QPN的“巧分線”．【點睛】本題考查了一元一次方程的幾何應(yīng)用，“巧分線”定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，理解“巧分線”的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵．27．（江蘇省淮安市盱眙縣2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)16(3)57或2013或15或71011【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進行計算即可．【詳解】（1）解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝12∠BOC∴∠BOD＝12∠AOD∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．故答案為：是．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝13∠AOB＝13∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝12∠AOB＝12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝1故答案為：16n（3）設(shè)運動時間為x秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．∵當射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止∴如圖，當射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，當∠AOC根據(jù)題意可得∠AOB=10+x°5解得x如圖,當射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，當12∠AOB=10+x1解得x即運動時間為2013秒時，射線OC是射線OB的“友好線”③如圖，當射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝12∠COB∠AOB=10+x所以10+x＝124解得x＝15（符合題意），即運動時間為15秒時，射線OB是射線OA的“友好線”．④如圖，當射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則12∠AOB＝∠COB∠AOB=10+x∴解得x⑤如圖，∵∠AOB=當∠AOC360-5解得：x當121解得：x綜上所述，當運動時間為57或2013或15或71011【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類