專題22線面角大題專練A卷-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

專題22線面角大題專練A卷1.如圖，四棱錐中，，，，，為正三角形．Ⅰ求證：；Ⅱ若在線段上有點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值．如圖所示，四棱柱的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，，平面與平面的交線為．證明：直線平面；已知，，設(shè)與平面所成的角為，求的取值范圍．3.如圖，在三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，，，平面平面．Ⅰ若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求證：平面；Ⅱ已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．4.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面；Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．5.如圖所示，在四棱錐中，，，，．證明：求直線與平面所成角的余弦值．6.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．證明：平面；若，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值．7.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，二面角的大小為．證明：平面已知，為線段上的點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)度．8.在四棱錐中，平面，，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足．Ⅰ求證：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案和解析1.【答案】解：Ⅰ取中點(diǎn)，連接，，，，則四邊形為矩形，則，又為正三角形，所以，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，又，所以；Ⅱ由Ⅰ知，，，平面，故平面，，點(diǎn)到平面的距離為，所以，如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得可取，，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為2.【答案】證明：如圖示：連接與交于點(diǎn)，由條件可知，且，四邊形為平行四邊形，且，平面，平面平面，平面平面，故AC，四棱柱的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面，平面，故AC，，平面平面又，故AC平面，平面，解：如圖示：由可知，，過點(diǎn)作軸垂直與平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，，故B，，，由可知是平面的一個(gè)法向量，而，故，，當(dāng)時(shí)，，即3.【答案】解：Ⅰ，且為棱的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，平面．Ⅱ如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，，，，，設(shè)平面，，則設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為．4.【答案】解：Ⅰ方法一：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；方法二空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得令，則，，則．又向量，，又平面，平面；Ⅱ方法一：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又，四邊形為平行四邊形，，又，，所以平面即平面，連接，作，垂足為，連接，平面，平面，，又，直線平面，又直線平面，平面平面，在平面中的射影在直線上，直線為直線在平面中的射影，為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知為直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，即直線與平面所成角的正弦值為．方法二：向量法接續(xù)Ⅰ的向量方法，求得平面平面的法向量，又，，直線與平面所成角的正弦值為．方法三：幾何法體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)．因?yàn)?，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中，易得，可得．設(shè)在平面的投影為，由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．方法四：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)到平面的距離為，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．5.【答案】解：連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面．如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，則直線與平面的夾角余弦值為．6.【答案】證明：取中點(diǎn)，連接，，直三棱柱中，所以四邊形為矩形，因?yàn)?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，且，，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，則，即，解出，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，得，令，可得，，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以，解出或．故的值為或．7.【答案】證明：在四棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又，平面，所以，，所以為二面角的平面角，所以，又為等邊三角形，，所以，又平面，平面，所以平面；解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又，所以，又平面，平面，所以，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即不妨令，則，，可得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，解得，所以的長(zhǎng)為．8.【答案】Ⅰ證明：證法一：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，是的中點(diǎn)，，，，，且，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．證法二：，平面，、在平面內(nèi)，，，，由題意得、、兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，又，．又平面，平面．Ⅱ解