北京西城8中高三上學期月月考數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年度第一學期高三數(shù)學12月練習一、選擇題（本大題共8道小題，每小題5分，共40分）1．如圖，在復平面內(nèi)，點對應的復數(shù)為，則復數(shù)(）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，所以．故選．2．當向量，時,執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】時，，時,,時，,時，，時，,此時，所以輸出．故選．3．數(shù)列的前項和，若，且，則的值為(）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，且，∴,，∴，,，．故選．4．””是"”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，則，∴單調(diào)遞增,且，∴“”是""的必要條件．故選．5．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為（)．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵拋物線的焦點為，準線為，∴，設(shè)，過點向準線作垂線，垂足為，則，∵，又,∴由,則，即，解得，∴的面積為．故選．6．如圖，點為坐標原點，點，若函數(shù)（，且）及(，且）的圖象與線段分別交于點，，且，恰好是線段的兩個三等分點，則，滿足()．A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象可以知道，函數(shù)均為減函數(shù),所以，，∵點為坐標原點，點,∴直線為，∵經(jīng)過點,則它的反函數(shù)也經(jīng)過點，又∵（，且）的圖象經(jīng)過點，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:，∴．故選．7．已知若函數(shù)只有一個零點，則的取值范圍是（)．A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得函數(shù)的圖象和直線只有一個交點，直線經(jīng)過定點，斜率為，當，,當時，,如圖所示,故．故選．8．已知點在曲線上,⊙過原點，且與軸的另一個交點為，若線段，⊙和曲線上分別存在點、點和點，使得四邊形（點，,，順時針排列)是正方形,則稱點為曲線的“完美點”．那么下列結(jié)論中正確的是（）．A．曲線上不存在”完美點”B．曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于C．曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于且小于D．曲線上存在兩個“完美點”,其橫坐標均大于【答案】B【解析】如圖，如果點為“完美點"則有，以為圓心，為半徑作圓（如圖中虛線圓）交軸于,（可重合），交拋物線于點，當且僅當時，在圓上總存在點,使得為的角平分線，即，利用余弦定理可求得此時，即四邊形是正方形，即點為“完美點”，如圖，結(jié)合圖象可知，點一定是上方的交點，否則在拋物線上不存在使得,也一定是上方的點，否則,，,，不是順時針，再考慮當點橫坐標越來越大時，的變化情況：設(shè),當時，，此時圓與軸相離，此時點不是“完美點"，故只需要考慮，當增加時,越來越小，且趨近于，而當時,；故曲線上存在唯一一個“完美點"其橫坐標大于．故選．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則__________．【答案】【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，∵其中一條漸近線的傾斜是，∴，故．10．在中,角，，的對邊分別為，,．若，，，則__________，__________．【答案】；【解析】∵，由正弦定理可得：，∴，，∴．11．已知直線，．若，則實數(shù)__________．【答案】【解析】若，則，且，解得．12．若直線上存在點滿足約束條件則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意，可求得交點坐標為,如圖所示，要使直線上存在點滿足約束條件，則．13．如圖，線段，點，分別在軸和軸的非負半軸上運動，以為一邊,在第一象限內(nèi)作矩形，．設(shè)為原點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】令,則，，，，∴，∵,∴的取值范圍是．14．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（)下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有__________．① ②③ ④()若函數(shù)具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】（）①②④（)或【解析】(）在時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)，①令,即，∵，方程有一個非實根,故具有性質(zhì)．②的圖象與有交點，故有解，故具有性質(zhì)．③令，此方程無解，故，不具有性質(zhì)．④的圖象與的圖象有交點，故有解，故具有性質(zhì)．綜上所述，具有性質(zhì)的函數(shù)有:①②④．(）具有性質(zhì)，顯然，方程有根，∵的值域為，∴，解得或．三、解答題共6小題,共80分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分分）函數(shù)的部分圖象如圖所示．(Ⅰ）寫出及圖中的值．（Ⅱ)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）∵圖象過點，∴，又,∴，由，得或，,又的周期為，結(jié)合圖象知，∴．（Ⅱ）由題意可得，∴,∵,∴，∴當,即時,取得最大值，當，即時，取得最小值．16．（本小題滿分分）甲、乙兩人進行射擊比賽，各射擊局，每局射擊次，射擊命中目標得分,未命中目標得分，兩人局的得分情況如下：甲乙（Ⅰ）若從甲的局比賽中，隨機選取局,求這局的得分恰好相等的概率．(Ⅱ）如果,從甲、乙兩人的局比賽中隨機各選取局，記這局的得分和為,求的分布列和數(shù)學期望．（Ⅲ）在局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同,且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出的所有可能取值．(結(jié)論不要求證明）【答案】見解析【解析】（Ⅰ)由已知可得從甲的局的比賽中，隨機選取局的情況有種，得分恰好相等的有種，所以這局的得分恰好相等的概率為．（Ⅱ）當時，的可能取值有，，，，所以，，，，所以的分布列為：．（Ⅲ）的可能值為，，．17．（本小題滿分分）如圖，在四棱錐中,底面,底面為梯形，,，且，．（Ⅰ）若點為上一點且，證明：平面．（Ⅱ）求二面角的大?。á螅┰诰€段上是否存在一點，使得?若存在,求出的長；若不存在,說明理由．【答案】見解析【解析】(Ⅰ）證明：過點作，交于，連結(jié)，如圖所示,∵,∴，又，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面,平面,∴平面．(Ⅱ)解：∵梯形中，,，∴,∵平面，∴，，∴如圖，以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系,則，,，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為,∵，，∴，即，令得，同理可得，∴，∵二面角為銳角，∴二面角為．（Ⅲ）假設(shè)存在點滿足題意，設(shè)，∴，∵,∴,解得,∴上存在點使得,且．18．（本小題滿分分）已知函數(shù)（為實常數(shù)）．（Ⅰ)若為的極值點,求實數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．（Ⅲ)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】見解析【解析】(Ⅰ）,∵為的極值點，∴，．（Ⅱ）∵，，當，即時，,,此時,在上單調(diào)增,當即時，時，，時，,故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當即時，，,此時，在上單調(diào)遞減．（Ⅲ)當時，∵在上單調(diào)遞增,∴的最小值為，∴,當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,∴的最小值為,∵，∴,，∴,∴．當時，在上單調(diào)遞減，∴的最小值為，∵,，∴，綜上可得：．19．（本小題滿分分）已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,短軸長為，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ)當直線的斜率為時,求的面積．(Ⅲ）在線段上是否存在點，使得經(jīng)，為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】（Ⅰ)由已知，橢圓方程可設(shè)為,∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為，∴,,故所求橢圓方程為．（Ⅱ）右焦點，直線的方程為，設(shè)，,由得,，解得，，∴．（Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形建菱形，因為直線與軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為，由可得：,∴，，，，，其中，以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴，即，∴，∴，化簡得,∴，∴．20．(本小題滿分分）設(shè)函數(shù)，為曲線在點處的切線．（Ⅰ)求的方程．（Ⅱ）當時，證明：除切點之外，曲線在直線的下方．（Ⅲ)設(shè)，,，且滿足，求的最大值．【答案】見解析【解析】解：（Ⅰ），∴，∴的方程為，即．（Ⅱ）要證除切點之