部分習(xí)題解黎永錦《泛函分析講義》的Word文檔

/部分習(xí)題解答 意義深刻的數(shù)學(xué)問題從來不是一找出解答就完事了, 好象遵循著的格言,每一代的數(shù)學(xué)家都重新思考并重新改造他們前輩所發(fā)現(xiàn)的解答,并把這解答納入當(dāng)代流行的概念和符號(hào)體系之中L.Bers（貝爾斯）（1914-1993,美國數(shù)學(xué)家）習(xí)題一1.2設(shè),對任意,,,試證明和為上的兩個(gè)度量,且存在序列,,使得,但不收斂于0.1.2證明：（1）只須按度量定義驗(yàn)證即可知道為上的兩個(gè)度量和為QUOTEl1上的兩個(gè)度量.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) （2）取QUOTExn=(1n,1n,……,1n,0,…)當(dāng)QUOTEi≤n時(shí),QUOTExi(n)=1n,當(dāng)QUOTEi>n時(shí)QUOTExi(n)=0,則且,但QUOTEdxn,0=i=1∞xin-0=i=1n1n=11.4試找出一個(gè)度量空間,在中有兩點(diǎn),但不存在,使得.1.4證明：在QUOTER2上取離散度量QUOTEd(x,y)=1,當(dāng)x≠y時(shí)0,當(dāng)x=y時(shí),則對于QUOTEx≠y,有QUOTEdx,y=1,但不存在QUOTEz∈R2,使得QUOTEdx,z1.6在中,設(shè)為的非空子集,為開集,試證明為開集.1.6證明：由QUOTEdx,y=sup|xi-yi|可知,對任意QUOTEx,y∈l∞,有QUOTEdx,y=d(x-y,0),若G是開集,則對于任意QUOTE故QUOTEx+Uy,r?x+G,因而QUOTEUx+y,r?z+G,從而對任意QUOTEx∈F,x+G是開集,由QUOTEF+G=x∈F(x+G)可知QUOTEF+G是開集.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)1.8在中,設(shè)只有限個(gè)不為0},試證明不是緊集.1.8證明：取QUOTExn=(xi(n)),當(dāng)QUOTEi>n時(shí),QUOTExi(n)=0,當(dāng)QUOTEi≤n時(shí),QUOTExi(n)=1i,則QUOTExn∈M,且QUOTElimn→∞xn=x,這里QUOTEx=(1,12,…..,1n,…),但,1.10設(shè)為度量空間,,試證明.1.10證明：對于任意QUOTEx∈F0,有,故QUOTEUx,r∩Fc=?,因而,從而.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)對于任意,有,因而存在,故,從而,故.所以,.1.12設(shè)為度量空間,,試證明為到的連續(xù)算子.1.12證明：對于任意,有QUOTEdx,F=infdx,yy∈故類似地,有因此所以,時(shí),必有,即QUOTEdx,F是連續(xù)函數(shù).1.14設(shè)為度量空間,為閉集,試證明存在可列個(gè)開集,使.1.14證明：由于F是閉集,因此,又因?yàn)槭沁B續(xù)的,所以對任意是開集,從而對于開集,有，所以.1.16試證明是完備的度量空間.1.16證明：設(shè)為的列,則對于任意,存在N,使得時(shí)有.故對每個(gè)固定的i,有.因此是列.因而存在,使得,令,則由可知QUOTE|xi–xiN+1|故由于,因此存在常數(shù)使得.又由可知對任意i及成立.故所以,,即是完備的度量空間.1.18證明中的有界閉集不一定是緊集.1.18證明：令,則M是的有界閉集,但M是不緊集.1.20設(shè),試證明為度量空間,但不是完備的.1.20證明：容易驗(yàn)證是的度量.取,,則為的列，但沒有極限點(diǎn)，因此不是收斂列，所以不是完備的.1.22試證明度量空間上的實(shí)值函數(shù)是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意,和都是的閉集.1.22證明:若度量空間上的函數(shù)是連續(xù)的,則明顯地,對于任意,和都是的閉集.如果對于任意,和都是的閉集,則于任意,容易知道是開集,對于R上的開集,有的構(gòu)成區(qū)間,使得,因而是開集,所以f是連續(xù)的.1.24設(shè)R為實(shí)數(shù)全體,試在R上構(gòu)造算子,使得對任意,,都有,但沒有不動(dòng)點(diǎn).1.24證明：(1)設(shè)R為實(shí)數(shù)全體,則對任意,由可知但f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).實(shí)際上,若QUOTEx=f(x),則,因而矛盾.(2)設(shè)則對任意,由可知但f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).實(shí)際上,若,則,矛盾,所以f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).1.25設(shè)函數(shù)在上連續(xù),處處都有偏導(dǎo)數(shù),且滿足試證明在上有唯一的連續(xù)解.提示：定義:為證明為壓縮算子,然后利用S.Banach不動(dòng)點(diǎn)定理.1.26設(shè)為度量空間,為到的算子,若對任意,,都有,且有不動(dòng)點(diǎn),試證明的不點(diǎn)是唯一的.1.26證明：反證法,假設(shè)A有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),使得,則但這與矛盾,所以A只有唯一的不動(dòng)點(diǎn).1.27設(shè)為度量空間,且為緊集,為到的算子,且時(shí),有,試證明一定有唯一的不動(dòng)點(diǎn).證明思路：構(gòu)造上的連續(xù)泛函,利用緊集上的連續(xù)泛函都可以達(dá)到它的下確界,證明存在,使得,就是的不動(dòng)點(diǎn).1.28試構(gòu)造一個(gè)算子,使得不是壓縮算子,但是壓縮算子.1.28證明：定義,則不是壓縮算子,但是壓縮算子.1.30設(shè),,試證明是壓縮算子.1.30證明：由,可知,所以是壓縮算子.習(xí)題二2.2設(shè)為賦范線性空間,為上的范數(shù),定義試證明為度量空間,且不存在上的范數(shù),使得.2.2證明：由度量的定義可知是X上的度量.假設(shè)存在X上的范數(shù),使得,則對于,一定有.如果取,則,但是,因此不成立,所以一定不存在X上的范數(shù),使得.2.4設(shè)是賦范空間的線性子空間,若是的開集,證明.2.4證明：由于M是線性子空間,因此.由M是開集可知存在.因而對于任意,有,從而,因?yàn)镸是線性子空間,所以,即.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2.6設(shè)是賦范線性空間,若且,試證明.2.6證明：由可知存在,使得,故所以,.2.10在中,若是中只有有限個(gè)坐標(biāo)不為零的數(shù)列全體,試證明是的線性子空間,但不是閉的.2.10證明：明顯地M是線性子空間,取,則且,但,所以M不是閉的子空間.2.12設(shè),滿足對任意成立，若在上連續(xù),試證明是線性的.2.12證明：由可知,對所有正整數(shù)都成立.并且,故對所有正整數(shù)都成立.因此所有正有理數(shù)都有成立,由和可知并且,因而對所有有理數(shù)都有成立.由于在上連續(xù),因此,對于任意,有,使得,文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)從而,所以是線性的.2.14設(shè)是有限維空間,為的基,試證明存在,使得,且,對成立.2.14證明：令,則M是n-1維的閉子空間,且,由定理可知存在,使得,且對任意成立,令,則,且,對任意成立.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2.16設(shè)是賦范空間,為的閉線性子空間,,試證明存在,使得,且,對所有成立.2.16證明：由M是閉線性子空間,因此,因此存在,使得,且對于任意成立.令QUOTEf=gd(xo,M),則,且對任意QUOTEx∈M成立.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2.18設(shè)是嚴(yán)格凸空間,試證明對任意,且時(shí),有使得.2.18證明：假設(shè)存在,使得,但,對任意成立,則,故有因而但這與QUOTEx0+y0=x0+y0矛盾,所以QUOTEx+y=x+y時(shí),有QUOTEy=λx對某個(gè)QUOTEλ>02.20試證明和都不是嚴(yán)格凸的賦范線性空間.2.20證明：在QUOTEl1中,取,則,且,但,因而QUOTEl1不是嚴(yán)格凸的.類似的,在中,取,則QUOTEx=1,y=1,且QUOTEx≠y,但QUOTEx+y=2,所以QUOTEl∞不是嚴(yán)格凸的.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2.22舉例說明在賦范線性空間中,絕對收斂的級數(shù)不一定是收斂級數(shù).2.22證明：令,定義,則是賦范空間,取,則,因此絕對收斂,但級數(shù)不收斂.2.24設(shè)是賦范線性空間,,試證明對任意,有.2.24證明：由可知,,因而,,所以,.2.26在中,,試證明是的完備線性子空間.2.26證明：容易驗(yàn)證是的線性子空間.由于是完備賦范線性空間,是的閉子空間,因此是的完備線性子空間.2.28在中,取范數(shù)，,則為的線性子空間,對,試求出,使得.2.28證明：由于,并對于,有,所以,且.習(xí)題三3.2設(shè),算子,,試證明是線性有界算子,并求.3.2證明：由T的定義可知T是線性算子,且,因此QUOTET≤13,從而T是線性有界算子.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)取,則,且,故,所以.3.4設(shè),試證明.3.4證明：由于,因此.對于任意,由可知,有,使得,故,因而對任意n成立從而,所以QUOTET=supx<1Tx3.6設(shè)是賦范空間,,若對任意,有,試證明.3.6證明：定義,則是到K的線性有界算子,且對于任意,有因?yàn)槿我赓x范空間X的共軛空間QUOTEX*都是完備的,因此由一致有界原理,有.由的定義可知故,所以,.3.7設(shè),是賦范空間,,試證明是空間當(dāng)且僅當(dāng)是空間.證明思路：明顯地,只需證明是空間時(shí),是空間.由于,因此有,故由Hahn-Banach定理存在,使得.若是Cauchy列,定義算子列為,則,并且,因而為的Cauchy列,所以存在,使得.不難證明,從而是空間.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3.8設(shè)是空間,且對任意,試證明.3.8證明：由于,因此對任意x成立,由X是空間可知因而,所以,即f是X的線性連續(xù)泛函.3.10設(shè),是賦范空間,是線性算子,且是滿射,若存在,使得對任意成立,試證明是線性連續(xù)算子,且.3.10證明：由可知T是單射,因而存在,且對于任意,由T滿射可知存在,使得,容易驗(yàn)證是線性算子,故,所以,連續(xù),且.3.12設(shè)是空間,是上的非零線性泛函,試證明一定是開映射.3.12證明：由可知存在,使得,故對于的開集及任意,必有,使得,由于是開集,故有,使,因此對,有,因而,但,故QUOTEα-?,α+??fG,即為的內(nèi)點(diǎn),所以為開集,即一定開映射.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3.13設(shè)是賦范空間,是從到的線性算子,,是從到的線性算子,若對任意,有,試證明和都是線性連續(xù)算子.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明思路：先證為閉算子,從而是線性連續(xù)算子,然后利用Hahn-Banach定理的推論可知,當(dāng)時(shí),存在,使得,不難進(jìn)一步證明為是線性連續(xù)算子.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3.14設(shè),是賦范空間,為到的閉線性算子,為的緊集,試證明為的閉集.3.14證明：若,且,則存在使得,由于是緊集,因此存在,使得,且.由及是閉線性算子可知,所以,即是閉集.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3.15設(shè)為空間,為到的線性算子,若,且和都是閉的,試證明.證明思路：由于的定義域?yàn)?因此明顯地,只需證明為閉線性算子.設(shè)有點(diǎn)列,,當(dāng)時(shí),,.由是閉的,可知必有,使得.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)由于,因此,即.由是閉的,可得,從而.因此,所以為閉線性算子.由閉圖像定理可知3.16設(shè),賦范空間,,若強(qiáng)收斂于,試證明弱收斂于.3.16證明：由于強(qiáng)收斂于,因此對任意,有,故對于任意,有,所以QUOTETn弱收斂于.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)習(xí)題四4.2試證明.4.2證明：對于任意,有QUOTEx=i=1∞xiei=limn→∞i=1nx由于

因此由可知收斂,從而絕對收斂,且令,則,且對于任意,都,有且.反過來,對于任意,則定義f為則是上的線性連續(xù)泛函,且,所以4.4試證明.4.4證明：用反證法,假設(shè)QUOTEl∞*=l1,則由于是可分的,因此QUOTEl∞是可分的,但這與不可分矛盾,所以QUOTEl∞*≠l1文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4.6試證明在中強(qiáng)收斂比按坐標(biāo)收斂強(qiáng).4.6證明：若,且,則因此,對于任意有從而,所以強(qiáng)收斂比按坐標(biāo)收斂強(qiáng).4.7設(shè)是無窮維的賦范空間,試證明一定也是無窮維的賦范空間.證明思路：對于任意的自然數(shù),由于是無窮維的賦范空間,因此存在個(gè)線性無關(guān)的的,由Hahn-Banach定理,不難證明存在,使得,從而只需證明是線性無關(guān)的,則,所以一定也是無窮維的賦范空間.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4.8設(shè)是賦范空間,,,若是相對緊的,試證明.4.8證明：由于是相對緊的,因此存在子列收斂于,但弱收斂于,因此對于任意,有.由收斂于可知,從而,對任意成立.因而.故,所以.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4.10設(shè)為賦范空間,,若,試證明4.10證明：對于任意,定義上的泛函,則由,可知f是X上的線性連續(xù)泛函,由于弱收斂,因此,因而,所以QUOTETxn弱收斂.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4.12設(shè)為空間,弱收斂于,且QUOTEfn收斂于,試證明.4.12證明：由于弱收斂于時(shí),有,使得,因此所以,當(dāng)弱收斂于,且QUOTEfn收斂于時(shí),有.4.14設(shè)是空間,,且存在且有界,試證明的逆存在且.4.14證明：由及可知T*-1存在,并且.4.16設(shè)是賦范空間,,試證明.4.16證明：反證法,假設(shè)QUOTEx0?M,則由于是閉子空間,因此,故由定理可知存在,使得且對于任意,所以,但這與弱收斂于矛盾,因而弱收斂時(shí),一定有.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)習(xí)題五5.2設(shè)是內(nèi)積空間,,試證明是上的線性連續(xù)泛函,且.5.2證明：由可知線性泛函,且,因此是上的連續(xù)線性泛函,并且,取,則，所以，.5.4設(shè)是內(nèi)積空間,,若試證明線性無關(guān).5.4證明：若,且則對于,當(dāng)時(shí),有.因此,所以線性無關(guān).5.6設(shè)是空間的閉真子空間,試證明含有非零元素.5.6證明：由是的真子空間,因而對,存在,使得,由及可知所以,且,即含有非零元.5.8設(shè)是空間的閉真子空間,試證明.5.8證明：由于,因此只須證.對于任意有QUOTEy∈M⊥使得,由可知,故,因此,所以,因而,從而.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)5.9設(shè)是實(shí)內(nèi)積空間上的線性連續(xù)泛函,若,試求,使得.5.9解答:取,則一定有.5.10設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,試證明.5.10證明：由可知,.反過來,對任意,及,可知,因而對于任意成立,故因此,所以.5.12設(shè)是空間,、是的閉真空間,,試證明是的閉子空間.5.12證明：明顯地是的線性子空間,因此只須證在中是閉的,若,且,則由于是空間,是閉子空間,因此,故.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)因而,所以,故,即是的閉子空間.5.14設(shè)是內(nèi)積空間,,試證明的充要條件為對任意,有.5.14證明：若,則對任意,有且因此.反過來,若QUOTEα∈K,有,則由和QUOTEx-αy,x-αy=x,x-x,αy可知令QUOTEα=x,y,則因而,所以.5.16設(shè)是內(nèi)積空間,,試證明當(dāng)且僅當(dāng)對任意,有.5.16證明：若,則對任意,有,因此，所以.反過來,若對任意,有,則令,由及因此,所以,.5.17設(shè)是內(nèi)積空間的正交規(guī)范集,試證明對任意成立.5.17證明：由于是X的正交規(guī)范集,因此對任意,有故5.18設(shè)為空間的正交規(guī)范集,,試證明時(shí),有.5.18證明：若,則由于是正交規(guī)范集,因此.因?yàn)槭峭陚涞?所以由QUOTEi=nn+px,eiei2=i=nn+px,記,則故,由,可知,因而,所以,,即.5.19設(shè)是空間的正交集,試證明弱收斂當(dāng)且僅當(dāng).5.19證明：若弱收斂,則存在,使得對任意成立,故由是正交集可知,所以.反之,若,則由可知是的列,所以在空間中收斂,因而弱收斂.5.20設(shè)是內(nèi)積空間的正交規(guī)范集,則對于任意中最多只有可列個(gè)不為零,且.5.20證明：若QUOTEΛ是有限集,則明顯地,有若QUOTEΛ不是有限集,則對于任意,只能是有限集,因而是可數(shù)集,且對任意,有,故QUOTEα∈Λ(x,eα)2=α∈Λx,eα2≤x25.21設(shè)是空間,,若存在,且,試證明存在且.5.21證明：由于是空間,且,因此QUOTET-1*存在.對于任意,有又因?yàn)?所以,,因而.5.22設(shè)是空間,,若,試證明.5.22證明：由及,可知QUOTETn→T時(shí),有,因此.5.24若是空間,是自伴算子,,試證明是自伴算子.5.24證明：由于是自伴算子,因此QUOTES*=S,且,所以對于QUOTEα,β∈R,αS+βT*=αS*5.25設(shè)是空間,,若是自伴算子,,試證明是自伴算子.5.25證明：由于,因此,所以是自伴的.5.26設(shè)是復(fù)空間,若試證明存在唯一的自伴算子,使得,且.5.26證明：令QUOTET1=12T+T*,T2=12iT-T*,則QUOTET1*=12T+T*=12T*+T=T1,T2*=1假設(shè)存在自伴算子QUOTES1,S2∈LX,X,使得,則且,因此.所以,存在唯一的自伴算子,使得.5.27設(shè)是空間,,若是正規(guī)算子,試證明是正規(guī)算子.5.27證明：由于是正規(guī),因此故由QUOTETn→T可知,所以QUOTET*T-TT*=0即是正規(guī)算子.5.28設(shè)是復(fù)空間,