北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 （正方形的性質(zhì)與判定）特殊平行四邊形課件教學(xué)(第1課時)

正方形的性質(zhì)與判定第1課時北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)同步課件

學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入新知學(xué)習(xí)課堂小結(jié)12341.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.3.會應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計算問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點下圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形.觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？222.52.533生活中有哪些這樣的圖形呢？一正方形的性質(zhì)新知學(xué)習(xí)有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.有一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形正方形思考正方形是矩形嗎？你認為正方形有哪些性質(zhì)？正方形既是矩形，又是菱形.正方形具有矩形與菱形的所有性質(zhì).仔細思考，給出你的答案定理

正方形四條邊相等，四個角都是直角.定理

正方形的對角線相等且互相垂直平分.探究例1 已知：如圖，四邊形ABCD

是正方形，

求證：正方形ABCD

四邊相等，四個角都是直角.證明：∵

四邊形ABCD

是正方形，

∴四邊形ABCD

是矩形(正方形也是矩形).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° .

∵

四邊形ABCD

是正方形，∴四邊形ABCD

是菱形(正方形也是菱形). ∴AB=BC=CD=AD .ABCD例2 已知：如圖，四邊形ABCD

是正方形.對角線AC、BD

相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO證明：∵四邊形ABCD

是正方形， ∴四邊形ABCD

是平行四邊形. ∴AO=BO=CO=DO(平行四邊形對角線互相平分).

∵四邊形ABCD

是正方形， ∴四邊形

ABCD

是菱形， ∴AC⊥BD(菱形對角線互相垂直).ABCDO思考正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？ABCD同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片，折一折，觀察并思考.對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形4條1.如圖，在正方形ABCD

中，E

為CD

上一點，F(xiàn)為

BC

延長線上一點，且CE=CF.BE

與DF

之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.針對訓(xùn)練ABDCFE解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD

是正方形，

∴BC=DC，∠BCE=90°.(正方形的四條邊都相等，四個角都是直角)∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF，

∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE(2) 延長BE

交DE

于點M， ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°， ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.ABDFECM思考平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？試著用一個圖直觀地表示他們之間的關(guān)系！矩形正方形平行四邊形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一個角為直角一個角為直角2.如圖，在正方形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O，圖中有多少個等腰直角三角形？解：共有8個等腰直角三角形.ABCDO3.如圖，在正方形ABCD

中，點F

為對角線AC

上一點，連接BF，DF.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明.ABFDC全等三角形有：△AFD≌△AFB，△CFD≌△CFB，△ACD≌△ABD.證明：∵四邊形ABCD

為正方形，∴AD=AB(正方形的四條邊都相等).∠DAF=∠BAF(正方形對角線也是頂角的角平分線)在△AFD和△AFB

中∵ AF=AF，

∠DAF=∠BAF， AD=AB，∴△AFD≌△AFB(SAS).ABFDC自己證明其余的兩對三角形全等哦！以△AFD全等于△AFB為例.課堂小結(jié)1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平分正方形的性質(zhì)性質(zhì)定義有一組鄰相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系正方形的性質(zhì)與判定第2課時北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)同步課件

教學(xué)目標(biāo)1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會運用正方形的判定條件進行有關(guān)的論證和計算.情景導(dǎo)入什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個角都是直角;

②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分；④既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.新知講解如何判定一個四邊形是正方形呢？判定一個四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩條：（1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；（2）先證它是菱形，再證它有一個角為直角.

簡記

：

即是矩形又是菱形就是正方形新知講解如圖，將一張矩形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣才能剪出一個正方形？剪下一個等腰直角三角形就能剪出一個正方形.新知講解方位角和距離滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線垂直新知講解準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.新知講解猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對角線互相垂直正方形你能證明這兩種猜想嗎？新知講解定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.證明：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.新知講解證明：對角線互相垂直的矩形是正方形.已知：如圖，在矩形ABCD中，AC,DB是它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.歸納總結(jié)通過矩形判定正方形：符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，所以四邊形ABCD是正方形。判定方法2：對角線互相垂直的矩形是正方形。符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四邊形ABCD是正方形。ABCDO判定方法1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。新知講解你能證明這兩個猜想嗎？把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個角是直角對角線相等正方形新知講解定理：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.新知講解定理：對角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.歸納總結(jié)正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角典例精析例1如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.FABECD典例精析FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.想一想我們知道，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點可以組成一個平行四邊形。那么，任意畫一個正方形，以四邊的中點為頂點可以組成一個怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明.想一想ADCBA1B1C1D1以正方形四邊的中點為頂點，可以組成一個正方形。證明思路：利用三角形的中位線證出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，從而得到四邊形A1B1C1D1是矩形，再根據(jù)一組鄰邊相等得出A1B1C1D1是正方形。議一議以菱形各邊的中點為頂點組成的四邊形會是什么形狀？以矩形各邊的中點為頂點組成的四邊形會是什么形狀？菱形的中點組成的四邊形是矩形.你能試著證明嗎？矩形的中點組成的四邊形是菱形.議一議已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點.求證：四邊形EFGH為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）議一議已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點.求證：四邊形EFGH為菱形.

議一議∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）歸納總結(jié)決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線相等菱形對角線垂直矩形對角線相等且垂直正方形課堂練習(xí)1.在菱形ABCD中，若要添加一個條件后，使它是正方形，則添加的條件可以是()A．AB＝ADB．AB⊥BCC．AC⊥BDD．AC平分∠BAD2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE＝BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是()A．BC＝ACB．BD＝DFC．AC＝BFD．CF⊥BFBC課堂練習(xí)3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是___________（只填寫序號）．②③或①④4.如圖所示，E是正方形ABCD邊BC上任意一點，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，則四邊形EGOF的周長是_____厘米.課堂練習(xí)5．已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE=DF．求證：四邊形AECF是菱形證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADF=∠CBE.又∵BE=DF,∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE,∠AFD=∠