湖南省郴州市鯉魚(yú)江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省郴州市鯉魚(yú)江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中是的導(dǎo)函數(shù)，下面四個(gè)圖象中Y=f（）的圖像大致是參考答案：答案：C2.在中，角所對(duì)的邊分別為，為的外心，為邊上的中點(diǎn)，，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)為E，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再保持所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，則使為增函數(shù)的一個(gè)區(qū)間是

A．

B.

C.

D.

參考答案：A略5.在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在此正方形的內(nèi)切圓外的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，故選A.

6.

函數(shù)在下列各區(qū)間中單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B7.對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C．

D．參考答案：B略8.已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀是

（

）

參考答案：B設(shè)二次函數(shù)為，由圖象可知，，對(duì)稱軸，所以，，選B.9.函數(shù)f（x）是自變量不為零的偶函數(shù)，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在實(shí)數(shù)n使得f（m）=g（n），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】求出g（x）的范圍，利用存在實(shí)數(shù)n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，即﹣1≤log2|m|≤1，，∴，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10.對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列關(guān)于函數(shù)的描述中，正確的是_____.（填寫(xiě)正確命題的序號(hào)）①π是f(x)的一個(gè)周期；②f(x)是偶函數(shù)；③；④，與有且只有2個(gè)公共點(diǎn).參考答案：①②③【分析】假設(shè)π為函數(shù)的周期，代入檢驗(yàn)即可判斷；同理，代入與比較，即可判斷是否為偶函數(shù)；根據(jù)周期與偶函數(shù)性質(zhì)，求得在上的值域即為在上的值域，利用輔助角公式即可求解；畫(huà)出在的圖象，即可判斷與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)?！驹斀狻?，故①正確；因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故②正確；由①②得在上的值域與其在上的值域相同，當(dāng)時(shí)，，角的終邊過(guò)點(diǎn)，故，，，所以的值域?yàn)?，故③正確；，的圖象如圖，所以，與有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性與值域的綜合應(yīng)用，函數(shù)圖象的畫(huà)法及應(yīng)用，屬于中檔題。12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)k=

．參考答案：4，則題意，解得.

13.已知向量，，，若∥，則=

．參考答案：514.當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣6，﹣2]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對(duì)a取交集．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對(duì)任意a∈R恒成立；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f（x）=，則f′（x）=﹣++=﹣（*），當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，由（*）式可知，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．故答案為：[﹣6，﹣2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對(duì)參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，且z=2x-y的最大值為a，則=______．參考答案：6分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用平移法進(jìn)行求解可得a的值，然后求解定積分即可．【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直線y=2x-z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=2x-z的截距最小，此時(shí)z最大．由，得，即a=zmax=2×4-2=6，則==6lnx=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及函數(shù)的積分公式是解決此類問(wèn)題的基本方法，屬中檔題．16.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

．參考答案：原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，且：；當(dāng)時(shí)，分類討論：若，則，若，則，據(jù)此繪制函數(shù)圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像觀察可得a的取值范圍為.

17.如圖，A是兩條平行直線之間的一個(gè)定點(diǎn)，且A到的距離分別為，設(shè)的另兩個(gè)頂點(diǎn)B,C分別在上運(yùn)動(dòng)，且，，則以下結(jié)論正確的序號(hào)是____________.①是直角三角形；

②的最大值為;③;④設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則.參考答案：①②④由正弦定理得：，則，又，，所以①正確；設(shè)，則，，，，則，，所以②正確；，所以③錯(cuò)誤；，令，（當(dāng)時(shí)取等），所以④正確。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.分別是的角所對(duì)的邊，且，．（1）若的面積等于，求;（2）若，求的值參考答案：(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.由余弦定理得19.（2017?衡陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積等于6，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的x解集，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，畫(huà)出函數(shù)圖象，求出三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形面積，得到關(guān)于a的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）≥5化為：|x﹣1|+|x+2|≥5①，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，①式化為﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，①式化為3＞5，不成立；當(dāng)x≥1時(shí)，①式化為2x+1≥5，解得x≥2綜上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；（Ⅱ）當(dāng)x≤﹣2時(shí)，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，綜上，f（x）=；畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示；則f（x）與x軸圍成的△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為：A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）由題設(shè)可得：S=（﹣）?3=6，化簡(jiǎn)得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=（不合題意，舍去）；故a的值是﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，也考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．20.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)為圖象的最高點(diǎn)，為圖象與軸的交點(diǎn)，且三角形的面積為．（I）求的值及函數(shù)的值域；（II）若，求的值．參考答案：(I)又，，則。

則值域是…..7分

(II)由得，

，得則==略21.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知，且．（1）求證：；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍．參考答案：見(jiàn)解析考點(diǎn)：不等式證明：（Ⅰ）所以當(dāng)且及僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。（Ⅱ）由（Ⅰ）知對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于 因?yàn)橹恍瑁椿?2.設(shè)f（x）=xex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=（x+1）2．（I）記，討論函F（x）單調(diào)性；（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．（i）求參數(shù)a的取值范圍；（ii）設(shè)x1，x2是G（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2+2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出a的范圍即可；（ii）根據(jù)a的范圍，得到==﹣，令m＞0，得到F（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）==，（x≠﹣1），F(xiàn)′（x）==，∴x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，x∈（﹣1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2，G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），（i）①a=0時(shí)，G（x）=（x+1）2，有唯一零點(diǎn)﹣1，②a＞0時(shí)，aex+2＞0，∴x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）遞減，x∈（﹣1，+∞）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）遞增，∴G（x）極小值=G（﹣1）=﹣＜0，∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）時(shí)，G（x）有唯一零點(diǎn)，x＜﹣1時(shí)，ax＜0，則ex＜，∴axex＞，∴G（x）＞+（x+1）2=x2+（2+）x+1，∵△=﹣4×1×1=+＞0，∴?t1，t2，且t1＜t2，當(dāng)x∈（﹣∞，t1），（t2，+∞）時(shí)，使得x2+（2+）x+1＞0，取x0∈（﹣∞，﹣1），則G（x0）＞0，則x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，G（x）有唯一零點(diǎn)，即a＞0時(shí)，函數(shù)G（x）有2個(gè)零點(diǎn)；③a＜0時(shí)，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣），若﹣1=ln（﹣），即a=﹣2e時(shí)，G′（x）≤0，G（x）遞減，至多1個(gè)零點(diǎn)；若﹣1＞ln（﹣），即a＜﹣2e時(shí)，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），注意到y(tǒng)=x+1，y=ex+都是增函數(shù)，∴x∈（﹣∞，ln（﹣））時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是減函數(shù)，x∈（ln（﹣），﹣1）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）遞增，x∈（﹣1，+∞）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）遞減，∵G（x）極小值=G（ln（﹣））=ln2（﹣）+1＞0，∴G（x）至多1個(gè)零點(diǎn)；若﹣1＜ln（﹣），即a＞﹣2e時(shí)，x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是減函數(shù)，x∈（﹣1，ln（﹣））時(shí)，G′（x）＞0，G（x）遞增，x∈（ln（﹣），+∞）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）遞減，∵G（x）極小值=G（﹣1）=﹣＞0，∴G（x）至多1個(gè)零點(diǎn)；綜上，若函數(shù)G（x）有2個(gè)零點(diǎn)，則參數(shù)a的范圍是（0，+∞）；（ii）由（i）得：函數(shù)G（x）有2個(gè)零點(diǎn)，則參數(shù)a的范圍是（0，+∞），x1，x2是G（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，則有：，即，即==﹣，∵F（x）=，則F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，x∈（﹣1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，令m＞0，F(xiàn)（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1=e