數(shù)學(xué)（理科）攻略大一輪復(fù)習(xí)課標(biāo)版精練11-1隨機(jī)事件古典概型與幾何概型（試題部分）

專(zhuān)題十一概率與統(tǒng)計(jì)【真題探秘】隨機(jī)事件、古典概型與幾何概型探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.隨機(jī)事件的概率(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.(2)了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率計(jì)算公式.(4)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.(5)了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.(6)了解幾何概型的意義2019課標(biāo)Ⅰ,6,5分古典概型排列與組合★★★2018課標(biāo)Ⅱ,8,5分古典概型組合2018課標(biāo)Ⅰ,10,5分與面積有關(guān)的幾何概型圓的面積和三角形的面積2.古典概型2017課標(biāo)Ⅰ,2,5分與面積有關(guān)的幾何概型圓的面積3.幾何概型2016課標(biāo)Ⅰ,4,5分與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型2016課標(biāo)Ⅱ,10,5分與面積有關(guān)的幾何概型隨機(jī)模擬分析解讀本節(jié)是高考的熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),主要考查利用頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率,常涉及對(duì)立事件、互斥事件,古典概型及與長(zhǎng)度、面積有關(guān)的幾何概型,有時(shí)也與其他知識(shí)進(jìn)行交匯命題,以解答題的形式出現(xiàn),如概率與統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)案例的綜合,主要考查學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率1.(2019山東煙臺(tái)一模,3)已知甲袋中有1個(gè)紅球1個(gè)黃球,乙袋中有2個(gè)紅球1個(gè)黃球,現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一個(gè)球,則取出的兩球中至少有1個(gè)紅球的概率為()A.13 B.12 C.23答案D2.(2019山西太原模擬,2)已知隨機(jī)事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=()答案A考點(diǎn)二古典概型1.(2020屆河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測(cè),4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“濕垃圾”“干垃圾”的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi),沒(méi)有垃圾分類(lèi)和未投放到指定垃圾桶內(nèi)等會(huì)被罰款和行政處罰.若某上海居民提著廚房里產(chǎn)生的“濕垃圾”隨意地投放到樓下的垃圾桶,若樓下分別放有“可回收物”“有害垃圾”“濕垃圾”“干垃圾”四個(gè)垃圾桶,則該居民會(huì)被罰款和行政處罰的概率為()A.13 B.23 C.14答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年廣東新高考將實(shí)行3+1+2模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.今年上高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治,假若他們都對(duì)后面三科沒(méi)有偏好,則他們選課相同的概率為()A.12 B.1C.16 D.答案B考點(diǎn)三幾何概型1.(2020屆貴州貴陽(yáng)8月月考,7)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.13答案B2.(2018湖南三湘名校教育聯(lián)盟第三次聯(lián)考,3)已知以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓以及函數(shù)y=x3的圖象如圖所示,則向圓內(nèi)任意投擲一粒小米(視為質(zhì)點(diǎn)),則該小米落入陰影部分的概率為()A.12 B.14 C.16答案B煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)從1,2,3,4中選取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的概率為()A.13 B.14 C.16答案B2.(2019江西九江一模,4)洛書(shū),古稱(chēng)龜書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖案,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù),其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖,若從四個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù),則能使這兩數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率是()A.12 B.23 C.14答案D方法2幾何概型概率的求法1.(2020屆河南安陽(yáng)第一次調(diào)研月考,10)從[2,3]中任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則a的值能使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上單調(diào)遞增的概率為()A.45 B.35 C.25答案C2.如圖,在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器,圓錐的底面圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切,圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上,現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食,則“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是()π4 B.π12 C.π答案A【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一古典概型(2018課標(biāo)Ⅱ,8,5分)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115答案C考點(diǎn)二幾何概型1.(2018課標(biāo)Ⅰ,10,5分)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()1=p2 1=p3 2=p3 1=p2+p3答案A2.(2017課標(biāo)Ⅰ,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.14 B.π8 C.12答案B3.(2016課標(biāo)Ⅰ,4,5分)某公司的班車(chē)在7:30,8:00,8:30發(fā)車(chē),小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē),且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.13 B.12 C.23答案B4.(2016課標(biāo)Ⅱ,10,5分)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.4nm B.2nm C.答案CB組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一古典概型1.(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.518 B.49 C.59答案C2.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù),則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.

答案73.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為.

答案3考點(diǎn)二幾何概型1.(2015陜西,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12π B.1412π C.12答案B2.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈答案53.(2015福建,13,4分)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.

答案5C組教師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一古典概型1.(2014課標(biāo)Ⅰ,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.18 B.38 C.58答案D2.(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是.

答案53.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.

答案54.(2013課標(biāo)Ⅱ,14,5分)從n個(gè)正整數(shù)1,2,…,n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為114,則n=答案85.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=C31C所以,事件A發(fā)生的概率為13(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32+P(X=1)=C31CP(X=2)=C31C所以,隨機(jī)變量X的分布列為X012P474隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×415+1×715+2×6.(2015陜西,19,12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車(chē)單程所需時(shí)間為T(mén),T只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)劉教授駕車(chē)從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率.解析(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(mén)(分鐘)25303540頻率以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T(mén)25303540P從而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分鐘).(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1,T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”,由于講座時(shí)間為50分鐘,所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1P(A)=0.91.考點(diǎn)二幾何概型1.(2015湖北,7,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥12”的概率,p2為事件“|xy|≤12”的概率,p3為事件“xy≤12”的概率,則1<p2<p3 2<p3<p1 3<p1<p2 3<p2<p1答案B2.(2016山東,14,5分)在[1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.

答案3【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2020屆陜西百校聯(lián)盟九月聯(lián)考,4)“沉魚(yú)、落雁、閉月、羞花”是由精彩故事組成的歷史典故.“沉魚(yú)”講的是西施浣紗的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“閉月”是述說(shuō)貂蟬拜月的故事;“羞花”談的是楊貴妃醉酒觀花的故事.她們分別是中國(guó)古代的四大美女,某藝術(shù)團(tuán)要以四大美女為主題排演一部舞蹈劇,甲、乙、丙、丁抽簽決定扮演的對(duì)象,則甲不扮演貂蟬且乙不扮演楊貴妃的概率為()A.13 B.712 C.512答案B2.(2020屆四川成都青羊石室中學(xué)10月月考,9)2021年廣東新高考將實(shí)行3+1+2模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史,假若他們都對(duì)后面四科沒(méi)有偏好,則他們選課相同的概率為()A.136 B.116 C.18答案D3.(2018重慶九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,4)已知隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率滿足條件P(A∪B)=34,某人猜測(cè)事件A∩B發(fā)生,則此人猜測(cè)正確的概率為( B.12 C.1答案C4.(2019河北石家莊3月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),9)袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫(xiě)有“和”“諧”“?！薄皥@”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“和”“諧”兩個(gè)字都被摸到就停止摸球,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用1,2,3,4代表“和”“諧”“?！薄皥@”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為()A.16 B.29 C.518答案B5.(2020屆安徽合肥一中、安慶一中第一次素質(zhì)測(cè)試,8)2019年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化”會(huì)議在蕪湖舉行.長(zhǎng)三角城市群包括上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市,簡(jiǎn)稱(chēng)“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游,假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中任意選取一個(gè)去旅游,則恰有