人教B版（2023）必修第一冊《2.2 不等式》同步練習(xí)（word含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.B.

C.D.

2.（5分）已知，，，則的最小值是

A.B.C.D.

3.（5分）若正數(shù)滿足，則的最小值為

A.B.C.D.

4.（5分）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

5.（5分）不等式對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.

C.D.

6.（5分）已知實(shí)數(shù)，，滿足，且，那么下列各式中一定成立的是

A.B.C.D.

7.（5分）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.B.

C.，D.

8.（5分）已知集合，，則

A.B.

C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）設(shè)，則下列不等式恒成立的是

A.B.

C.D.

10.（5分）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有個(gè)整數(shù)，則的值可以是

A.B.C.D.

11.（5分）下列命題中為真命題的是

A.若事件與事件互為對立事件，則事件與事件為互斥事件

B.若事件與事件為互斥事件，則事件與事件互為對立事件

C.若事件與事件互為對立事件，則事件為必然事件

D.若事件為必然事件，則事件與事件為互斥事件

12.（5分）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，則值域也為的函數(shù)是

A.B.

C.D.

13.（5分）下列不等式不一定成立的是

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）若不等式的解集為，則的值為________.

15.（5分）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值是.

16.（5分）已知，則的大小關(guān)系為__________.

17.（5分）已知，，，則的最小值是______．

18.（5分）已知，則的最小值為_______.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，．

求函數(shù)的解析式；

設(shè)函數(shù)，若對于任意的，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20.（12分）如圖所示，長方體中，四邊形為正方形，且，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，平面與平面所成銳二面角的余弦值為

求證：平面

求直線與平面所成角的正弦值.

21.（12分）若不等式的解集為或，求不等式的解集．

22.（12分）已知函數(shù)，．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

Ⅱ，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

23.（12分）已知關(guān)于的函數(shù)

當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．

當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：由題設(shè)知，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，

即，解得：，

故選：．

由題設(shè)知函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，由此得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．

這道題主要考查根的分布與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，其中根據(jù)方程的根與零點(diǎn)的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點(diǎn)問題，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C;

【解析】解：，，解得．

，，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．

故選：．

，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得再利用“乘法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

該題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“乘法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

3.【答案】A;

【解析】解：由題意，設(shè)，解得，，其中，，

，，整理得，

又由

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號成立，

的最小值為．

故選：．

設(shè)，解得，，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值．

這道題主要考查了換元法的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值問題，其中解答中合理利用換元法，以及準(zhǔn)確利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬中檔題．

4.【答案】B;

【解析】

此題主要考查了均值不等的運(yùn)用，不等式的恒成立，屬于中檔題．

解：，，且，

，

當(dāng)時(shí)等號成立，

若恒成立，

，

即，

故選

5.【答案】D;

【解析】解：不等式對任意，恒成立，等價(jià)于恒成立．

當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．

則有：，

解得：

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

故選：．

不等式對任意，恒成立等價(jià)于恒成立．從而求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

該題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，恒成立的轉(zhuǎn)化，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】B;

【解析】

此題主要考查不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

解：由題意可知，，且，

則，故，故錯(cuò)誤；

由，得，故正確；

由，得，故錯(cuò)誤；

由，得，故錯(cuò)誤；

故選

7.【答案】C;

【解析】

該題考查二次不等式的解法，注意當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，必須進(jìn)行討論，考查了分類討論思想，屬中檔題．

據(jù)題意，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，即，將的值代入分析不等式的解集是否為空集，當(dāng)時(shí)，即，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析不等式解集非空時(shí)的取值范圍，綜合種情況即可得答案．

解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：

當(dāng)時(shí)，即，

若時(shí)，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集，符合題意；

若時(shí)，原不等式為，無解，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，即，

若的解集是空集，則有，解可得，

則當(dāng)不等式的解集不為空集時(shí)，有或且，

綜合可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為，；

故選C．

8.【答案】D;

【解析】

此題主要考查了集合的交集、并集，屬于基礎(chǔ)題型，先化簡兩個(gè)集合即可。

解：由題意得，，

則，

故選

9.【答案】AC;

【解析】解：，，，，，故A正確；

，，，故B錯(cuò)誤；

，，，，故C正確；

，，，，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由不等式的性質(zhì)及基本不等式逐一判斷即可．

這道題主要考查不等式的基本性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】BCD;

【解析】解：當(dāng)時(shí)，原不等式為，易得其解集為，不滿足題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，原不等式為，易得其解集為，滿足題意，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)時(shí)，原不等式為，易得其解集為，滿足題意，故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)時(shí)，原不等式為，易得其解集為，滿足題意，故選項(xiàng)D正確，

故選：．

逐個(gè)選項(xiàng)代入計(jì)算驗(yàn)證正誤即可．

此題主要考查一元二次不等式的整數(shù)解問題，屬于中檔題．

11.【答案】AC;

【解析】解：對于，對立事件首先是互斥事件，故為真命題對于，互斥事件不一定是對立事件，如將一枚硬幣拋擲兩次，共出現(xiàn)正，正，正，反，反，正，反，反四種結(jié)果，事件“兩次出現(xiàn)正面”與事件“只有一次出現(xiàn)反面”是互斥事件，但不是對立事件，故為假命題對于，事件，為對立事件，則在一次試驗(yàn)中，一定有一個(gè)發(fā)生，故為真命題對于，事件表示事件，至少有一個(gè)要發(fā)生，，不一定互斥，故為假命題故選

12.【答案】BC;

【解析】

此題主要考查了函數(shù)的基本概念以及函數(shù)的定義域和值域，涉及復(fù)合函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由的值域，利用不等式的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)即可求得各個(gè)函數(shù)的值域.

解：是和的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋矗?，即，即的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤

是函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的定義域是，則，又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域?yàn)?，故正確；

因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，即，，即的值域?yàn)椋收_；

因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，即，，的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤.

故選

13.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查基本不等式的運(yùn)用，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”.

利用基本不等式結(jié)合特殊值法即可判斷.

解：對于，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)不正確；

對于，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)不正確；

，，所以，選項(xiàng)正確；

當(dāng)時(shí)，有，故選項(xiàng)不正確．

故選

14.【答案】;

【解析】

此題主要考查了一元二次不等式的解集與所對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出、的值，即可求出

解：不等式的解集為，

和是的兩個(gè)根，

，

解得，，

故答案為

15.【答案】-;

【解析】解：，由，得或，

當(dāng)時(shí)，，，得，驗(yàn)證

即，時(shí)，恒成立，

此時(shí)，滿足的最小值是，

當(dāng)時(shí)，，，即，驗(yàn)證

即，時(shí)，恒成立，此時(shí)有最大值是，

綜上，當(dāng)，時(shí)，的最小值是

16.【答案】;

【解析】，因?yàn)?，所以，，從而，故?/p>

17.【答案】4;

【解析】解：，，且，

，

即，

或，

，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，

的最小值是．

故答案為：．

利用基本不等式將中的表示成，求解不等式即可求得的取值范圍，從而得到的最小值．

該題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解答該題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．屬于中檔題．

18.【答案】;

【解析】

此題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

合理利用“”是解答該題的關(guān)鍵，由展開后利用基本不等式可得最小值.

解：，

當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號，

故的最小值為

故答案為

19.【答案】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，

從而，

因?yàn)槎x在偶函數(shù)，

所以

因此，

因?yàn)閷θ我?，，都有成立，所?/p>

又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)．所以在區(qū)間和區(qū)間上的值域相同．

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則

函數(shù)化為，

則

又

所以即，

因此，的取值范圍為，即;

【解析】該題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問題，注意將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．

根據(jù)題意，設(shè)，則，由函數(shù)的解析式可得的解析式，進(jìn)而利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析可得的表達(dá)式，綜合即可得答案；

根據(jù)題意，求出函數(shù)的最小值與的最大值，分析可得，解出最值然后求不等式即可得答案．

20.【答案】證明：由題可知，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，

所以，，設(shè)，所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則即

令，則，，

所以，

又平面的法向量可取為，

所以，

解得或舍去，所以，為的中點(diǎn).

取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，

所以，，故四邊形是平行四邊形，所以

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面

解：由知，所以，，

設(shè)平面的法向量為，

所以即

令，則，所以

直線與平面所成角為，

則，，

故直線與平面所成角的正弦值為;

【解析】此題主要考查利用空間向量證明直線與平面平行，面與面的夾角的余弦值，求解線面的夾角，考查空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，設(shè)，求解平面的法向量為，及平面的法向量可取為，利用平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求解的值，再利用平行線性質(zhì)，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而平面；

由得到，解得平面的法向量為，則，，即可得直線與平面所成角的正弦值為

21.【答案】解：因?yàn)椴坏仁絘+bx+c≤0的解集為{x|x≤-3或x≥4}，

所以，

解得b=-a，c=-12a，

所以不等式b+2ax-c-3b≥0即為-a+2ax+15a≥0，

又a＜0，所以不等式化為-2x-15≥0，

解得x≤-3或x≥5，

所以不等式b+2ax-c-3b≥0的解集為{x|x≤-3或x≥5}．;

【解析】

由不等式的解集判斷，求出、和的關(guān)系，代入不等式中化簡求解集即可．

該題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

22.【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+2|=

∵f（x）≤g（x），

∴或或，

解得≤x＜1或x≥1，

綜上所述，不等式的解集為{x|x≥}．

（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2，a）時(shí)，f（x）=|x-2a+1|+x+2≥3x+1，即|x-2a+1|≥2x-1；

①當(dāng)-2＜a≤時(shí)，2x-1＜0，|x-2a+1|≥2x-1恒成立；

②當(dāng)a＞，x∈[-2，）時(shí)，2x-1＜0，|x-2a+1|≥2x-1恒成立；

x∈[，a）時(shí)，|x-2a+1|2≥|2x-1|2恒成立，

即3+2（2a-3）x-4a（a-1）0恒成立，

令g（x）=3+2（2a-3）x-4a（a-1），g（x）的最大值只可能是g（）或g（a），

，，∴當(dāng)時(shí)，最大為0，

g（a）=3-2a≤0，得0≤a≤，

又a＞，

∴＜a≤；

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-2＜a≤}．;

【解析】

Ⅰ通過去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化求解不等式組的解集即可．

Ⅱ已知條件轉(zhuǎn)化為：所以可化為；分類討論，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

此題主要考查了解絕對值不等式，利用絕對值不等式的幾何意義解決問題；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等．

23.【答案】解：（Ⅰ）關(guān)于x的函數(shù)f（x）=a-3x+2．

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-3x+2＞0，

解方