17春秋福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一

謀學(xué)網(wǎng)福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一試卷總分:100得分:0一、判斷題(共37道試題,共74分)1.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分2.存在[0,1]上的有界可測函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分3.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價(jià)于f,h,g∈BV.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分4.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分5.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分6.積分的四條基本性質(zhì)構(gòu)成整個(gè)積分論的基礎(chǔ)，而其導(dǎo)出性質(zhì)是基本性質(zhì)的邏輯推論。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分7.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分8.若f∈Lip[a,b],則f∈AC[a,b].A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分9.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分10.若f_n與g_n分別測度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分11.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分12.三大積分收斂定理包括Levi定理，F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分13.若f可測，則|f|可測，反之也成立.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分14.積分的引進(jìn)分為三個(gè)遞進(jìn)的步驟：非負(fù)簡單函數(shù)的積分，非負(fù)可測函數(shù)的積分，一般可測函數(shù)的積分.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分15.f在[a,b]上為增函數(shù)，則f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx≤f(b)-f(a).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分16.當(dāng)f在[a,b]上R可積時(shí)也必L可積，而且兩種積分值相等.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分17.f,g∈M(X),則fg∈M(X).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分18.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點(diǎn).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分19.函數(shù)f在[a,b]上為常數(shù)的充要條件是f在[a,b]上絕對連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分20.若|A|=|B|,|C|=|D|，則|A∪C|=|C∪D|.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分21.若A交B等于空集，則A可測時(shí)必B可測.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分22.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間后所得之集.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分23.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分24.連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分25.集合A可測等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分26.對任意可測集E，若f在E上可積，則有Lim_{n->+∞}n·M[E(|f|>=n)]=0.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分27.f可積的充要條件是f+和f-都可積.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分28.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分29.測度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分30.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分31.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分32.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分33.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分34.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分35.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分36.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則fL可積.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分37.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.A.錯(cuò)誤B.正確滿分：2分二、單選題(共5道試題,共10分)1.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的A.連續(xù)函數(shù)B.單調(diào)函數(shù)C.有界變差函數(shù)D.絕對連續(xù)函數(shù)滿分：2分2.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.非充分非必要條件滿分：2分3.下列關(guān)系式中不成立的是（）A.f(∪Ai)=∪f(Ai)B.f∩(Ai)=f(∩Ai)C.(A∩B)0=A0∩B0D.(∪Ai)c=∩(Aic)滿分：2分4.有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是（）A.有限集B.可數(shù)集C.有連續(xù)統(tǒng)勢的集D.基數(shù)為2^c的集滿分：2分5.開集減去閉集其差集是（）A.閉集B.開集C.非開非閉集D.既開既閉集滿分：2分三、多選題(共8道試題,共16分)1.若f∈BV[a,b]，則（）A.f為有界函數(shù)B.Vax(f)為增函數(shù)C.對任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)D.f至多有可數(shù)個(gè)第一類間斷點(diǎn)滿分：2分2.A，B是兩個(gè)集合，則下列正確的是（）A.f^-1(f（A）)=AB.f^-1(f（A）)包含AC.f(f^-1（A）)=AD.f(A\B)包含f(A)\f(B)滿分：2分3.若f不可測，g可測，則下列正確的是（）A.f+g不可測B.fg不可測C.g^2可測D.|g|可測滿分：2分4.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（）A.f可測B.|f|可積C.f^2可積D.|f|<∞.a.e.滿分：2分5.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（）A.幾乎處處可微B.L可積C.f'可積D.區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)滿分：2分6.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（）A.f在R上處處不連續(xù)B.f在R上為可測函數(shù)C.f