山東省部分高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁山東省部分高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．設(shè)集合，則（）

A．B．

C．D．

2．已知，則（）

A．B．C．D．

3．已知（）的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）

A．B．C．D．

4．已知雙曲線的虛軸在軸上，且虛軸長為，離心率為3，則該雙曲線方程為（）．

A．B．C．D．

5．的值等于（）

A．B．0C．D．

6．一袋里裝有帶編號(hào)的紅色，白色，黑色，藍(lán)色四種不同顏色的球各兩個(gè)，從中隨機(jī)選4個(gè)球，已知有兩個(gè)是同一顏色的球，則另外兩個(gè)球不是同一顏色的概率為（）．

A．B．C．D．

7．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（）

A．B．C．D．

8．已知三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且長度均為，以頂點(diǎn)P為球心，2為半徑作一個(gè)球，則該球面被三棱錐四個(gè)表面截得的所有弧長之和為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）

A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱

C．函數(shù)在上的最小值為D．若，則

10．一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”．把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”，則下列命題正確的有（）

A．若是“黃金橢圓，則

B．若焦距為4，且點(diǎn)A在以為焦點(diǎn)的“黃金橢圓”上，則的周長為

C．若是黃金雙曲線的左焦點(diǎn)，C是右頂點(diǎn)，則

D．若是黃金雙曲線的弦，離心率為e，M是的中點(diǎn)，若和的斜率均存在，則

11．在三棱臺(tái)中，平面，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），滿足平面，則（）

A．點(diǎn)P的軌跡長度為1

B．P到平面的距離為定值

C．有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P，使得

D．與平面所成角的最大值為30°

12．若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）

A．在上單調(diào)遞減B．

C．在上恰有5個(gè)零點(diǎn)D．是偶函數(shù)

三、填空題

13．已知向量滿足，且，則與的夾角為.

14．點(diǎn)為圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為．

15．若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則.

四、雙空題

16．元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提及：今有銀一秤一斤十兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之.其意思是：現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每個(gè)人所得是前一個(gè)人所得的一半.若銀的數(shù)量不變，按此法將銀依次分給5個(gè)人，則得銀最多的那個(gè)人得銀兩，得銀最少的3個(gè)人一共得銀兩.(規(guī)定：1秤=10斤，1斤=10兩)

五、解答題

17．已知函數(shù).

(1)求的最小正周期；

(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值和最大值.

18．如圖1，在等腰中，分別為的中點(diǎn)，過作于．如圖2，沿將翻折，連接得到四棱錐為中點(diǎn)．

(1)證明：平面；

(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．

19．設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若，且的前n項(xiàng)和為，求.

20．已知函數(shù)，．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．

21．第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉辦，各地中學(xué)掀起足球熱．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行足球點(diǎn)球比賽，每人點(diǎn)球3次，射進(jìn)點(diǎn)球一次得50分，否則得0分．已知甲每次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為，且每次是否射進(jìn)點(diǎn)球互不影響；乙第一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為，從第二次點(diǎn)球開始，受心理因素影響，若前一次射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為，若前一次沒有射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為．

(1)設(shè)甲3次點(diǎn)球的總得分為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求乙總得分為100分的概率．

22．如圖，已知拋物線E：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且.過劣弧上的動(dòng)點(diǎn)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線，，相交于點(diǎn)M.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求點(diǎn)M到直線距離的最大值.

試卷第1頁，共3頁

試卷第1頁，共3頁

參考答案：

1．C

【分析】由交集的定義直接求解.

【詳解】集合，則.

故選：C

2．A

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的概念可解得，代入計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)，則，

所以，解得，可知；

所以.

故選：A

3．D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)即可求得，與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.

【詳解】因?yàn)榈?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故可得，

則展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)以及二項(xiàng)式系數(shù)和，屬基礎(chǔ)題.

4．A

【分析】設(shè)雙曲線方程，根據(jù)虛軸長和離心率列出等量關(guān)系即可得解.

【詳解】設(shè)雙曲線方程，

，

所以，

所以雙曲線方程為.

故選：A

5．C

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式，可將原式化成即可求得結(jié)果.

【詳解】利用誘導(dǎo)公式可知，

所以，原式

即.

故選：C

6．C

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率求出至少有兩個(gè)球顏色相同的概率，再求出兩球顏色相同、另外兩球顏色不同的概率即可求解作答.

【詳解】記至少有兩個(gè)球顏色相同的事件為，兩球顏色不同的事件為，

因此，，

所以有兩個(gè)是同一顏色的球，則另外兩個(gè)球不是同一顏色的概率為.

故選：C

7．C

【分析】由極值點(diǎn)定義確定的關(guān)系，化簡，由此求的范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

又函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，

所以方程由兩個(gè)不同的正根，且為其根，

所以，，，

所以，

則

，

又，即，可得，

所以或（舍去），

故選：C.

8．B

【分析】畫出圖形，找到球面被三棱錐四個(gè)表面截得的弧，求出弧長相加即可.

【詳解】如圖所示，該球面被三棱錐四個(gè)表面截得的弧分別為弧EF，弧DF，弧EG和弧DG，

因?yàn)槿龡l棱兩兩垂直，且長度均為，

由勾股定理得：，所以，故，

因?yàn)椋?，故?/p>

所以，

則，所以，

故該球面被三棱錐四個(gè)表面截得的所有弧長之和為.

故選：B

9．BC

【分析】通過變換可得，利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.

【詳解】的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，

則，即.

的對稱軸為，則A錯(cuò)誤，B正確.

當(dāng)時(shí),即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù),則C正確.

時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，

若，單調(diào)遞增，則，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10．BCD

【分析】對A：橢圓焦點(diǎn)位置不確定，可能在軸上也可能在軸上，所以應(yīng)有兩個(gè)值；

對B：由題意，根據(jù)黃金橢圓的性質(zhì)可得的值，由橢圓的定義即可求出的周長；

對C：根據(jù)雙曲線為黃金雙曲線，可得，從而可得，，，從而可得，即可判斷；

對D：設(shè)，，，，，，由點(diǎn)差法求出直線的斜率，從而可求出斜率之積，再由“黃金雙曲線”的離心率的值即可求解．

【詳解】解：對A：橢圓焦點(diǎn)位置不確定，可能在軸上也可能在軸上，所以應(yīng)有兩個(gè)值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對B：由題意，則，所以，則的周長為，所以選項(xiàng)B正確；

對C：由題意，，，

因?yàn)殡p曲線為黃金雙曲線，則，

所以，所以，

所以，，，

所以，所以，所以選項(xiàng)C正確；

對D：設(shè)，，，，，，

則，兩式相減得，

是的中點(diǎn)，且，

，，

從而，

所以，

所以選項(xiàng)D正確；

故選：BCD.

11．ABD

【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).對A，根據(jù)中位線的性質(zhì)求解即可；對B，根據(jù)平面判斷可得；對C，根據(jù)結(jié)合正三角形的性質(zhì)判斷即可；對D，易得為與平面所成角，再根據(jù)的最值判斷即可.

【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)槿馀_(tái)中，則，

故且，故四邊形為平行四邊形，則.

又平面，平面，故平面，

同理，平面，又，平面，

故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).

對A，，故A正確；

對B，因?yàn)槠矫妫势矫?，所以到平面的距離為定值，故B正確；

對C，因?yàn)椋十?dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；

對D，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成角.

由題意，故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以與平面所成角的最大值為，故D正確.

故選：ABD

12．AD

【分析】由函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)的周期，即可得出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，從而結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷.

【詳解】由是定義在上的奇函數(shù)得，

由是偶函數(shù)得，即關(guān)于對稱，

結(jié)合是奇函數(shù)可得關(guān)于對稱，

∴，∴，∴函數(shù)的周期為8.

當(dāng)時(shí)，，則在（1個(gè)周期）的圖象如圖所示.

對A，由圖易得，在上單調(diào)遞減，A對；

對B，由函數(shù)的奇偶性、周期性可得，B錯(cuò)；

對C，由圖易得，在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)；

對D，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對稱，所以，故是偶函數(shù)，D對.

故選：AD

13．/90°

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合已知、向量數(shù)量積定義求夾角即可.

【詳解】由題設(shè)，則，

所以，則，

又，則.

故答案為：

14．

【分析】首先求出，設(shè)出，，利用向量關(guān)系，建立等量關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，解得.

設(shè)點(diǎn)，，則由題意可得，，解得，，

又因?yàn)辄c(diǎn)滿足圓的方程，代入可得，化簡得.

故答案為：

15．

【分析】設(shè)公切線與相切于，與相切于，根據(jù)公切線斜率為以及點(diǎn)在函數(shù)圖像上列出方程求解.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

則，，

設(shè)公切線與相切于，與相切于，

則，，

解得，，所以，，

所以切線方程為，即，

又在切線上，所以，所以.

故答案為：

16．

【分析】將這5個(gè)人所得銀的數(shù)量由小到大排列即為數(shù)列，則是公比為的等比數(shù)列，

由可得的值，再計(jì)算和即可求解.

【詳解】由題意可得一秤一斤十兩共兩，

將這5個(gè)人所得銀的數(shù)量由小到大排列即為數(shù)列，

則是公比為的等比數(shù)列，

所以前項(xiàng)的和為，可得，

所以得銀最多的那個(gè)人得銀，

得銀最少的3個(gè)人一共得銀，

故答案為：；.

17．(1)

(2)最小值為0，最大值為

【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式計(jì)算可得；

（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】（1）由題意，，

所以的最小正周期；

（2）當(dāng)時(shí)，，

可知，

即，

故的最小值為，最大值為.

18．(1)證明見解析

(2)

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理取線段中點(diǎn)為，連結(jié)，證明，，即可證明；

（2）由于直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，根據(jù)等體積法求解點(diǎn)到平面的距離，從而將夾角正弦值轉(zhuǎn)化為，從而可得答案.

【詳解】（1）取線段中點(diǎn)為，連結(jié)

因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，

在△AOB中，，且，

由題意知AO⊥BC，又DE⊥BC，AO、DE在面ACED內(nèi)，則，且，

所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)槠矫?/p>

所以平面，同理平面，

因?yàn)槠矫?，所以，又DF//EG，所以，

因?yàn)?，是線段中點(diǎn)，所以

因?yàn)槠矫?/p>

所以平面；

（2）直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，

做平面于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接

所以是在平面內(nèi)的射影，

所以是直線與平面所成的角，

易知的面積為，

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面?/p>

由題意，易知為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，

所以，又平面平面，平面，所以平面，

則，即點(diǎn)到平面的距離為

所以，

因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫裕?/p>

所以

所以中，，則，

所以，則，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

所以，故直線與平面所成的角的正弦值為.

19．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求解；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，

所以，則或.

又，，∴.

（2）由（1）可得，，

∴

20．(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

(2)

【分析】（1）求導(dǎo)分與0的大小關(guān)系討論分析即可；

（2）化簡可得，再構(gòu)造，求導(dǎo)可得，再分與兩種情況討論單調(diào)性，結(jié)合判斷是否滿足恒成立即可.

【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?/p>

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，令可得，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)，即，時(shí)，設(shè)，

則，，.

當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，

，故，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以不恒成立，不符合題意.

綜上，

21．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為100

(2)

【分析】（1）運(yùn)用二項(xiàng)分布求得其分布列及期望.

（2）乙總得分為100分的事件為3次點(diǎn)球中有2次射中1次未射中，結(jié)合互斥事件的概率加法公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)甲3次點(diǎn)球射進(jìn)的次數(shù)為Y，則，

Y的可能取值為0，1，2，3，且，則X的所有可能的取值為0，50，100，150．

；

；

；

，

所以X的概率分布列為

X050100150

P

，

（或）．

（2）設(shè)“乙第i次射進(jìn)點(diǎn)球”為事件（，2，3），

則乙總得分為100分的事件為．

因?yàn)椋?，互斥?/p>

所以，

故乙總得分為100分的概率為．

22．（1）；（2）.

【分析】（1）利用求得圓心到弦的距離為1，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入拋物線方程可得，問題得解

（2）設(shè)，，分別求得與的方程，即可求得點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)為，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程可得：，，即可得點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)為，，再由點(diǎn)到直線距離公式可得點(diǎn)M到直線的距離為：，，利用其單調(diào)