大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案112函數(shù)極限與連續(xù)microsoftword文檔doc高中數(shù)學(xué)

/11．2函數(shù)極限與連續(xù)性一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1．了解函數(shù)極限的概念;2．掌握極限的四那么運(yùn)算法那么；會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限;3．了解函數(shù)連續(xù)的意義;會(huì)判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的連續(xù)性;4．理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)．二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1．當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限:(1)當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時(shí),如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說當(dāng)x趨向于正無窮大時(shí),函數(shù)f(x)的極限是a,記作,(或x→+∞時(shí),f(x)→a)(2)同理表示——(3)當(dāng),且時(shí),即2．當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限:當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（從x0兩側(cè),但x≠x0）時(shí)，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限是a,記作,(或x→x0時(shí),f(x)→a)(1)與函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處是否有定義及是否等于f（x0）都無關(guān)。(2)“連續(xù)”函數(shù)在x0處的極限就等于

f(x0)3．函數(shù)f(x)的左、右極限:(1)如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0左側(cè)（即x＜x0）無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f(x)的左極限，記作。(2)同理表示——(3)——判斷函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的方法．4．極限不存在的三種形態(tài)：①左極限不等于右極限；②時(shí)，，③時(shí)，的值不確定。5．函數(shù)極限的運(yùn)算法那么——(與數(shù)列類似)6．對(duì)型的極限，要分別通過“約去使分母為零的因式、同除以分子、分母的最高次冪、有理化分子”等變形，轉(zhuǎn)化極限存在的式子再求。7．函數(shù)連續(xù)的定義:(1)如果①函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義，②f(x)存在，③f(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)．(2)如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)．(3)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有f(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有f(x)=f(b),就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)．8．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有最大值和最小值．三、雙基題目練練手1．(四川)已知下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．f(x)在x=1處連續(xù)B．f(1)＝5C．D．2．設(shè)以下說法不正確的選項(xiàng)是()A．=1B．=1C．=1D．時(shí)f(x)極限不存在3．已知函數(shù)f（x）=函數(shù)f（x）在哪點(diǎn)連續(xù)A．處處連續(xù)B．x=1C．x=0D．x=4．(廣東)5．=______6．要使f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，那么需補(bǔ)充定義f(0)=______簡(jiǎn)答:1-3．DCD;3．f（x）=f（x）=f（）．4．;5．;6．f(0)=f（x）===四、經(jīng)典例題做一做【例1】求以下各極限：（1）（2）（－x）；(3)．（a＞0）解:（1）（2）原式==a+b(3)原式=====提煉方法：1．對(duì)于題(1)“”要先除以x的最高次方;題(2)“∞-∞”要先有理化,然后再求極限;2．在題(3)中,當(dāng)b<0時(shí),f(x)=在x=0處連續(xù),極限值就等于f(0)．當(dāng)b>0時(shí),f（x）在x0處不連續(xù)，x→0時(shí),分母為零,要先有理化,去掉掉分母為零的式子,再求極限．【例2】（1）設(shè)f（x）=試確定b的值,使存在．（2）f（x）為多項(xiàng)式,且=1,=5,求f（x）的表達(dá)式解:（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí),f（x）=f（x）,故b=2時(shí),原極限存在（2）由于f（x）是多項(xiàng)式,且=1,∴可設(shè)f（x）=4x3+x2+ax+b（a、b為待定系數(shù)）又∵=5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x點(diǎn)評(píng):（1）理解極限的定義和極限存在的條件;（2）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值．【例3】已知函數(shù)f（x）=，試求:（1）f（x）的定義域，并畫出圖象；（2）求f（x）、f（x）,并指出f（x）是否存在．解:（1）當(dāng)|x|＞2時(shí)，==－1;當(dāng)|x|＜2時(shí)，==1;當(dāng)x=2時(shí)，=0;當(dāng)x=－2時(shí)，不存在．∴f（x）=∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜－2或x=2或x＞2}．如以以下圖:（2）∵f（x）=－1,f（x）=1．∴f（x）不存在．【例4】討論函數(shù)的連續(xù)性,并作出函數(shù)的圖象．分析:應(yīng)先求出f（x）的解析式，再判斷連續(xù)性．解:當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x=x;當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=·x=·x=－x;當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0．∴f（x）=∵f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,∴f（x）不存在．∴f（x）在x=1處不連續(xù)，f（x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù)．圖象如以以下圖所示．提煉方法:分段函數(shù)討論連續(xù)性，要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性．【研討．欣賞】設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果為(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)．求證:在[x1,xn]上至少存在一點(diǎn)x0,使得證明:由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),f(x)在閉區(qū)間[x1,xn]上必有最大值M,和最小值m,從而m≤f(xi)≤M,(i=1,2,……n)．∴,從而必有x0,使．五．提煉總結(jié)以為師1．有限個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)極限的和（或積）,在求幾個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限時(shí)，一般要化簡(jiǎn)，再求極限；2．兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)的極限至少有一個(gè)不存在時(shí)，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在．．3．求函數(shù)的極限的幾種根本的方法:①代入法；②約去分母為零的因式；③分子、分母同除x的最高次冪；④有理化法4．函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)必須具備以下三個(gè)條件:函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有定義;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有極限;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的極限值等于在這一點(diǎn)x0處的函數(shù)值,即f（x）=f（x0）．同步練習(xí)11．2函數(shù)極限與連續(xù)性【選擇題】1．函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)是f（x）在點(diǎn)x0處有極限的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2．以下命題中正確的選項(xiàng)是（）3．f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)為()A．x=0B．x=（k=0,±1,±2,…）C．x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D．x=0和x=（k=0,±1,±2,…）【填空題】4．（北京）的值等于________5．設(shè),那么=6．=________6．原式=＝（cos+sin）＝簡(jiǎn)答提示：1-3．ACD;4．;5．．6．【解答題】7．求以下函數(shù)的極限：（1）（2）(3)設(shè)f（x）=求f（x）解：（1）（2）(3)f（x）=1,f（x）=1,∴f（x）=1．8．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),且f(x)=0,f(x)=－3,求出這一函數(shù)最大值解:∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函數(shù),∴f（－x）=f（x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c∴b=0∴f（x）=ax2+c又f（x）=ax2+c=a+c=0,f（x）=ax2+c=4a+c=－3,∴a=－1,c=1∴f（x）=－x2+1∴f（x）max=f（0）=1∴f（x）的最大值為19．設(shè)f（x）=當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)f（x）是連續(xù)的解:f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時(shí),f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x≠0時(shí),f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí),f（x）在（－∞,+∞）內(nèi)是連續(xù)的10．設(shè)f(x)是x的三次函數(shù),已知．試求的值,(a為非零常數(shù))．解:由已知可設(shè)f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-c),且有【探索題】在一個(gè)以AB為弦的弓形中,C為的中點(diǎn),自A、B分別作弧AB的切線,交于D點(diǎn),設(shè)x為