梁的變形問題

第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程

梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。1、梁的變形1、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程1、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程

梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁軸線從原來沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。

某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度

某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角

撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程1、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定在圖示的坐標(biāo)系中，撓度w

向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角θ規(guī)定為截面法線與x

軸的夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角q為正。1、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系1、梁的變形在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程2、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是:橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形影響可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于曲率的公式在梁小變形情況下，第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程2、撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程yxyx第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形1)支承條件：

l第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形例4-4如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。

第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程

請(qǐng)同學(xué)們自己做一下（2）撓曲線近似微分方程（3）積分第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端，x=l第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形例4-5如圖所示，簡支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFBAC段CB段第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。即代入上面的式子第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFB得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求B指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角，但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時(shí)，彎矩方程分段就很多，導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運(yùn)算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個(gè)梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角，這時(shí)采用疊加法比積分法方便。在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。用疊加法求等截面梁的變形時(shí)，每個(gè)載荷作用下的變形可查教材78~79頁表4-2計(jì)算得出。第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形查表時(shí)應(yīng)注意坐標(biāo)和載荷的方向、跨長及字符一一對(duì)應(yīng)。第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形例4-6求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形=+第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形例4-7

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形

由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計(jì)算式第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形考慮其變形:在使用疊加法求解梁的變形時(shí)，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移。類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計(jì)算。一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的