行列式的應(yīng)用與發(fā)展

行列式的應(yīng)用與發(fā)展

列方程產(chǎn)生于解線方程組中，但其應(yīng)用遠大于理解線性方程組的范圍，成為許多學(xué)科的重要工具。大家熟知的行列式的基本計算方法有:定義法、拉普拉斯展開法、降價公式、三角形法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法等,下面介紹幾種輔助的方法。1加邊升階計算有時為了便于計算行列式,特意把行列式加邊升階進行計算,這種方法稱之為加邊升階法。它的一般方法是:D=|a11a12a13?a1na21a22a23?a2na31a32a33?a3n?????an1an2an3?ann|=|100?0b1a11a12?a1nb2a21a22?a2n?????bnan1an2?ann|(1)任意選取b1,b2,…bn。例1行列式D=|C2n-1C3n-2C3n-1C1n+1C2nC3n-1C3nC1n+2C2n+1C3nC3n+1C1n+3C2n+2C3n+1C3n+2C1n+4|解現(xiàn)將行列式D加邊升階得D=|10000C2n-2C2n-1C3n-2C3n-1C1n+1C2n-1C2nC3n-1C3nC1n+2C2nC2n+1C3nC3n+1C1n+3C2n+1C2n+2C3n+1C3n+2C1n+4|第1列乘(-1)加到第2列,第1列加到第3列,又由于Cnm+1=Cnm+Cn-1m得D=|1-1100C2n-2C1n-2C3n-1C3n-1C1n+1C2n-1C1n-1C3nC3nC1n+2C2nC1nC3n+1C3n+1C1n+3C2n+1C1n+1C3n+2C3n+2C1n+4|第4列乘以(-1)加到第3列,第2列乘以(-1)加到第5列,并按第3列展開得D=|C2n-2C1n-2C3n-13C2n-1C1n-1C3n3C2nC1nC3n+13C2n+1C1n+1C3n+23|第3、2、1行均乘以(-1)分別加到第4、3、2行,并按第4列展開,可得D=3|C1n-21C2n-1C1n-11C2nC1n1C2n+1|=-3|C1n-21C2n-110C1n-110C1n|=3|1C1n-11C1n|=3這種升階法只適應(yīng)特殊結(jié)構(gòu)的行列式,其關(guān)鍵是公式(1)中b1,b2,…,bn的選取,要使得加邊升階后的行列式便于計算。2角形面積s這是計算行列式常用的方法。一般地,當(dāng)行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有規(guī)律地表示為兩項或多項和的形式,就可以考慮用拆為和的方法來進行計算。例2在平面上,以點M1(x21-x1,x31-x12),M2(x22-x2,x32-x22),M3(x32-x3,x33-x32)為頂點的三角形面積S=|D|其中D=12|x13-x12x12-x11x23-x22x22-x21x33-x32x32-x31|=12|111x1(x1-1)x2(x2-1)x3(x3-1)x12(x1-1)x22(x2-1)x32(x3-1)|=12|-(x1-1)+x1-(x2-1)+x2-(x3-1)+x3x1(x1-1)x2(x2-1)x3(x3-1)x12(x1-1)x22(x2-1)x32(x3-1)|解第1行拆為D=-12(x1-1)(x2-1)(x3-1)|111x1x2x3x12x22x32|+12x1x2x3|111x1-1x2-1x3-1x1(x1-1)x2(x2-1)x3(x3-1)|=-12(x1-1)(x2-1)(x3-1)?(x3-x2)(x3-x1)(x2-x1)+12x1x2x3|111x1x2x3x12x22x32|=12(x3-x2)(x3-x1)(x2-x1)?[x1x2x3-(x1-1)(x2-1)(x3-1)]3計算連疊加連疊加若行列式中某列(行)加上其余乘上某因子的各列(行),使該列(行)元素均相等或出現(xiàn)較多零,從而簡化行列式計算的方法稱為連加法。例3行列式解它的特點是各列元素之和都是x+(n-1)a,先把第2行至第n行元素同時加到第1行,并提出公因式,得D=[x+(n-1)a]|11?1ax?a????aa?x|=[x+(n-1)a]|10?0ax-a?0????a0?x-a|=[x+(n-1)a](x-a)n-14連乘法與拆項法的結(jié)合根據(jù)拉普拉斯定理,所得行列式乘法運算規(guī)則如下:|a11?a1n???an1?ann|?|b11?b1n???bn1?bnn|=|c11?c1n???cn1?cnn|(2)其中cij=∑t=1naitbtj兩個行列式的乘積可以象矩陣的乘法一樣來計算,假若兩個行列式的階數(shù)不同,只要把它們的階數(shù)化為相同,就可以應(yīng)用公式(2)。這種方法的關(guān)鍵是尋找有特殊結(jié)構(gòu)的已知行列式去乘原行列式,從而簡化原行列式的計算,這也是較為常用的方法。顯然H≠0,由行列式乘法規(guī)則DΗ=|abcdbadccdabdcba|?|111111-1-11-11-11-1-11|=(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)Η等式兩邊消去H,得D=(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)說明例4亦可以將連加法與拆項法結(jié)合使用,同樣也較為簡便。求證|A*|=|A|n-1證明因AA*=|A|E,|A||A*|=|A|n,所以有①當(dāng)|A|≠0,有|A*|=|A|n-1②當(dāng)|A|=0時,若A=0,顯然A*≠0,則|A*|=|A|n-1若A≠0,|A*|≠0,則AA*=0,A(A*A*)=0即A=0,矛盾。所以|A*|=0,有|A*|=|A|n-15dnndn這是解決具有對稱關(guān)系的數(shù)學(xué)問題的常用方法。例6n階行列式Dn=|α+βαβ001??00??αβ001α+β|解按第1行展開,得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2,即Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)由此遞推,即得Dn-αDn-1=βn因為Dn中β與α對稱,又有Dn-βDn-1=αn當(dāng)α≠β時,從上兩式中消去Dn-1,得Dn=(αn+1-βn+1)/(α-β)當(dāng)α=β時,Dn=βn+βDn-1=βn+β(βn-1+βDn-2)=2βn+β2Dn-2=…=(n-1)βn+βn-1D1=(n-1)βn+βn-1(α+β)=(n+1)βn6利用行列式求解下面通過幾個例子給出其他一些輔助性的方法。例7行列式D=|1+x11111-x11111+y11111-y|解為了快捷計算行列式D的值,我們借助于函數(shù),設(shè)D=f(x,y),令x=0,有f(0,y)=0,故函數(shù)(x,y)有因式x,即x/f(x,y)。把x換成-x,相當(dāng)于把行列式D中的第1、2兩行對換,再把第1、2兩列對換,所以有f(-x,y)=f(x,y),即f(x,y)為x的偶數(shù),從而有x2/f(x,y)。再由x與y的對稱性,有y2/f(x,y),而f(x,y)的最高次數(shù)是4,故f(x,y)=Ax2y2。比較系數(shù)可知A=1,于是得出行列式D的值為:D=x2y2。例8行列式D=|1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4|解法1設(shè)x、y、z、u為未知量,考察線性方程組{x+ay+a2z+a3u=a4x+by+b2z+b3u=b4x+cy+c2z+c3u=c4x+dy+d2z+d3u=d4(3)設(shè)行列式G為(3)的系數(shù)行列式,則G=|1aa2a31bb2b31cc2c31dd2d3|=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)由線性方程組的克萊姆法則,得Gu=D。從(3)式中知a、b、c、d為四次方程W4-uW3-zW2-yW-x=0的四個根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有a+b+c+d=u,從而D=(a+b+c+d)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)解法2作輔助函數(shù)f(x)=|eaxaeaxa2eaxa3eaxeaxbebxb2ebxb3ebxeaxcecxc2ecxc3ecxeaxdedxd2edxd3edx|(4)根據(jù)行列式的求導(dǎo)法則,對第1、2、3列求導(dǎo)所得的行列式均為0,只有對最后一列求導(dǎo)的行列式值不為0,于是f(x)=|eaxaeaxa2eaxa4eaxeaxbebxb2ebxb4ebxeaxcecxc2ecxc4ecxeaxdedxd2edxd4edx|=eax+bx+cx+dx|1aa2a31bb2b31cc2c31dd2d3|從(4)式得f(x)=eax+bx+cx+dx|1aa2a31bb2b31cc2c31dd2d3|=eax+bx+cx+dx(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)對上式f(x)求導(dǎo)f′(x)=(a+b+c+d)eax+bx+cx+d