2024屆湖南省長沙市雅禮實驗中學數(shù)學九年級第一學期期末預(yù)測試題含解析

2024屆湖南省長沙市雅禮實驗中學數(shù)學九年級第一學期期末預(yù)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．我們知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式進行求解．對于一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0）也可以通過因式分解、換元等方法，使三次方程“降次”為二次方程或一次程，進而求解．這兒的“降次”所體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．轉(zhuǎn)化思想 B．分類討論思想C．數(shù)形結(jié)合思想 D．公理化思想2．對于二次函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．其圖象的對稱軸為過且平行于軸的直線.B．其最小值為1.C．其圖象與軸沒有交點.D．當時，隨的增大而增大.3．下列運算正確的是()A． B． C． D．4．下列事件中是必然事件是（）A．明天太陽從西邊升起B(yǎng)．籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中C．實心鐵球投入水中會沉入水底D．拋出一枚硬幣，落地后正面向上5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，BC=2，則sin∠A的值為（）A． B． C． D．6．下列方程中，是一元二次方程的是()A． B． C． D．7．已知關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為（）A．0 B．1 C． D．8．如圖，在中，，D為AC上一點，連接BD，且，則DC長為（）A．2 B． C． D．59．如圖，點B、D、C是⊙O上的點，∠BDC=130°，則∠BOC是（）A．100° B．110° C．120° D．130°10．已知關(guān)于的方程，若，則該方程一定有一個根為（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-111．用配方法解一元二次方程時，原方程可變形為（）A． B． C． D．12．已知，如圖，點C，D在⊙O上，直徑AB=6cm，弦AC，BD相交于點E，若CE=BC，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．設(shè)，，，設(shè)，則S=________________(用含有n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．14．如圖，是的切線，為切點，，，點是上的一個動點，連結(jié)并延長，交的延長線于，則的最大值為_________

15．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖，點O為位似中心，位似比為2：3，點A的坐標為（0，2），則點E的坐標是____.16．設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為__________．17．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，則的取值范圍是________．18．拋物線y＝x2+2x與y軸的交點坐標是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）（1）計算：；（2）解方程：x2+3x—4=0.20．（8分）解方程:．21．（8分）如圖，在中，直徑垂直于弦，垂足為，連結(jié)，將沿翻轉(zhuǎn)得到，直線與直線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若為的中點，，求的半徑長；（3）①求證：；②若的面積為，，求的長．22．（10分）某超市銷售一種牛奶，進價為每箱24元，規(guī)定售價不低于進價．現(xiàn)在的售價為每箱36元，每月可銷售60箱．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若這種牛奶的售價每降價1元，則每月的銷量將增加10箱，設(shè)每箱牛奶降價x元（x為正整數(shù)），每月的銷量為y箱．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）超市如何定價，才能使每月銷售牛奶的利潤最大？最大利潤是多少元？23．（10分）某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示．銷售量p（件）

P=50—x

銷售單價q（元/件）

當1≤x≤20時，

當21≤x≤40時，

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？24．（10分）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整.（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下：其中，.……0123…………3003……（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，已畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分；（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)：；（4）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：若關(guān)于的方程有4個實數(shù)根，則的取值范圍是.25．（12分）先化簡，再求值：x﹣1（1﹣x）﹣x（1﹣），其中x=1．26．體育文化公司為某學校捐贈甲、乙兩種品牌的體育器材，甲品牌有A、B、C三種型號，乙品牌有D、E兩種型號，現(xiàn)要從甲、乙兩種品牌的器材中各選購一種型號進行捐贈．

（1）下列事件是不可能事件的是．A．選購乙品牌的D型號B．既選購甲品牌也選購乙品牌C．選購甲品牌的A型號和乙品牌的D型號D．只選購甲品牌的A型號（2）寫出所有的選購方案（用列表法或樹狀圖）；（3）如果在上述選購方案中，每種方案被選中的可能性相同，那么A型器材被選中的概率是多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所體現(xiàn)的數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化思想．【題目詳解】由題意可知，解一元三次方程的過程是將三次轉(zhuǎn)化為二次，二次轉(zhuǎn)化為一次，從而解題，在解題技巧上是降次，在解題思想上是轉(zhuǎn)化思想．故選：A．【題目點撥】本題考查高次方程；通過題意，能夠從中提取出解高次方程的一般方法，同時結(jié)合解題過程分析出所運用的解題思想是解題的關(guān)鍵．2、D【分析】先將二次函數(shù)變形為頂點式，然后可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D三項，再根據(jù)拋物線的頂點和開口即可判斷C項，進而可得答案.【題目詳解】解：，所以拋物線的對稱軸是直線：x=3，頂點坐標是（3，1）；A、其圖象的對稱軸為過且平行于軸的直線，說法正確，本選項不符合題意；B、其最小值為1，說法正確，本選項不符合題意；C、因為拋物線的頂點是（3，1），開口向上，所以其圖象與軸沒有交點，說法正確，本選項不符合題意；D、當時，隨的增大而增大，說法錯誤，所以本選項符合題意.故選：D.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3、D【分析】按照有理數(shù)、乘方、冪、二次根式的運算規(guī)律進行解答即可.【題目詳解】解：A.，故A選項錯誤；B.，故B選項錯誤；C.，故C選項錯誤；D.，故D選項正確；故答案為D.【題目點撥】本題考查了有理數(shù)、乘方、冪、二次根式的運算法則，掌握響應(yīng)的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】必然事件就是一定會發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件，依據(jù)定義即可解決．【題目詳解】解：A、明天太陽從西邊升起，是不可能事件，故不符合題意；B、籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中，是隨機事件，故不符合題意；C、實心鐵球投入水中會沉入水底，是必然事件，故符合題意；D、拋出一枚硬幣，落地后正面向上，是隨機事件，故不符合題意．故選C．5、C【分析】先利用勾股定理求出AB的長，然后再求sin∠A的大?。绢}目詳解】解：∵在Rt△ABC中，，BC=2∴AB=∴sin∠A=故選：C．【題目點撥】本題考查銳角三角形的三角函數(shù)和勾股定理，需要注意求三角函數(shù)時，一定要是在直角三角形當中．6、D【解題分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．【題目詳解】解：A、是一元一次方程，故A不符合題意；B、是二元二次方程，故B不符合題意；C、是分式方程，故C不符合題意；D、是一元二次方程，故D符合題意；故選擇：D.【題目點撥】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元二次方程．7、B【分析】將x=1代入方程即可得出答案.【題目詳解】將x=1代入方程得：，解得a=1，故答案選擇B.【題目點撥】本題考查的是一元二次方程的解，比較簡單，將解直接代入即可得出答案.8、C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC，可判定△ABC∽△BCD，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出DC的長.【題目詳解】∵AB=AC=6∴∠ABC=∠C∵BD=BC=4∴∠C=∠BDC∴∠ABC=∠BCD，∠ACB=∠BDC∴△ABC∽△BCD∴∴故選C.【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到兩組對應(yīng)角相等判定相似三角形.9、A【分析】首先在優(yōu)弧上取點E，連接BE，CE，由點B、D、C是⊙O上的點，∠BDC=130°，即可求得∠E的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案．【題目詳解】解：在優(yōu)弧上取點E，連接BE，CE，如圖所示：

∵∠BDC=130°，

∴∠E=180°-∠BDC=50°，

∴∠BOC=2∠E=100°．

故選A．【題目點撥】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10、C【分析】由題意將變形為并代入原方程左邊，再將方程左邊因式分解即可．【題目詳解】解：依題意得，原方程化為，即，∴，∴為原方程的一個根.故選：C．【題目點撥】本題考查一元二次方程解的定義．注意掌握方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值．11、B【解題分析】試題分析：，，．故選B．考點：解一元二次方程-配方法．12、B【分析】連接OD、OC，根據(jù)CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，進而得出∠DOC=90°，根據(jù)S陰影=S扇形-S△ODC即可求得．【題目詳解】連接OD、OC，∵AB是直徑,∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠CBD=∠CEB=45°，∴∠COD=2∠DBC=90°，∴S陰影=S扇形?S△ODC=?×3×3=?.故答案選B.【題目點撥】本題考查的知識點是扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握扇形面積的計算.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先根據(jù)題目中提供的三個式子，分別計算的值，用含n的式子表示其規(guī)律，再計算S的值即可．【題目詳解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案為：【題目點撥】本題為規(guī)律探究問題，難度較大，根據(jù)提供的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵，同時要注意對于式子的理解．14、【分析】根據(jù)題意可知當ED與相切時，EC最大，再利用△ECD∽△EBA，找到對應(yīng)邊的關(guān)系即可求解.【題目詳解】解：如圖，當CD⊥DE于點D時EC最大．∵CD⊥DE，是的切線∴∠EDC=∠EAB=90°又∵∠E=∠E∴△ECD∽△EBA∴∴則∵，，∠EAB=90°∴CD=AC=1在Rt△ABE中利用勾股定理得即則∴可化為，解得或（舍去）綜上所述，的最大值為．【題目點撥】本題考查了切線和相似的性質(zhì),能通過切線的性質(zhì)找到符合要求的點,再能想到相似得到對應(yīng)邊的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.15、（3，3）【分析】根據(jù)位似圖形的比求出OD的長即可解題.【題目詳解】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖，位似比為2：3，∴OA:OD=2:3,∵點A的坐標為（0，2），即OA=2,∴OD=3,DE=EF=3,故點E的坐標是（3，3）.【題目點撥】本題考查了位似圖形,屬于簡單題,根據(jù)位似圖形的性質(zhì)求出對應(yīng)邊長是解題關(guān)鍵.16、【分析】根據(jù)點A、B、C的橫坐標利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結(jié)論．【題目詳解】∵，，是拋物線y＝?（x＋1）2＋1上的三點，∴y1＝0，y2＝?3，y3＝?8，∵0＞?3＞?8，∴．故答案為：．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)點的坐標利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出縱坐標是解題的關(guān)鍵．17、且【解題分析】一元二次方程的定義及判別式的意義可得a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，解不等式組即可求出a的取值范圍．【題目詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x+1=1有兩個不相等的實數(shù)根，

∴a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，

解得：a＜且a≠1．

故答案是：a＜且a≠1．【題目點撥】考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：（1）△＞1?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=1?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜1?方程沒有實數(shù)根．18、（0，0）【解題分析】令x=0求出y的值，然后寫出即可．【題目詳解】令x=0，則y=0，所以，拋物線與y軸的交點坐標為（0，0）．故答案為（0，0）．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握拋物線與坐標軸的交點的求解方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）或.【分析】（1）利用零負指數(shù)冪法則計算以及利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可；（2）利用因式分解法求出解即可．【題目詳解】（1）=；2）解：x2+3x—4=0解得或.【題目點撥】本題考查實數(shù)的運算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝，x2＝1．【分析】解一元二次方程常用的方法有因式分解法和公式法，方程在整式范圍內(nèi)不能因式分解，所以選擇公式法即可求解；而方程移項后方程左邊可以利用平方差公式進行因式分解，易求出此方程的解．【題目詳解】解：（1）x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）9（x﹣2）2﹣4（x+1）2＝0，[3（x﹣2）+2（x+1）][3（x﹣2）﹣2（x+1）]＝0，3（x﹣2）+2（x+1）＝0或3（x﹣2）﹣2（x+1）＝0，所以x1＝，x2＝1．【題目點撥】本題考查的是一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點和每一種解法的要點，選擇合適的方法進行求解是關(guān)鍵．21、（1）見解析；（2）的半徑為2；（3）①見解析；②．【分析】（1）連接OC，由OA=OC得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，則∠2=∠3，于是可判斷OC∥AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得直線FC與⊙O相切；

（2）首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據(jù)OC2=OE2+CE2，構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）①根據(jù)等角的余角相等證明即可；

②利用圓的面積公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此構(gòu)建方程即可解決問題；【題目詳解】解：（1）證明：連結(jié)，則，，，，又，即直線垂直于半徑，且過的外端點，是的切線；（2）點是斜邊的中點，，是等邊三角形，且是的高，在中，，即解得，即的半徑為2；（3）①∵OC=OB，∴，，，．②，，由①知：，，即，，解得：．【題目點撥】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會利用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．22、（1）y=60+10x；（2）定價為33元，最大利潤是810元．【分析】（1）根據(jù)價格每降低1元，平均每月多銷售10箱，由每箱降價x元，多賣10x，據(jù)此可以列出函數(shù)關(guān)系式；

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，求出最大值．【題目詳解】解：（1）根據(jù)題意，得：y=60+10x，（2）設(shè)所獲利潤為W，則W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，∴當x=3時，W取得最大值，最大值為810，答：超市定價為33元時，才能使每月銷售牛奶的利潤最大，最大利潤是810元．【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，由利潤=（售價-成本）×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式求最值，用二次函數(shù)解決實際問題是解題的關(guān)鍵．23、（1）第10天或第31天該商品的銷售單價為31元/件（2）（3）這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是721元【分析】（1）分別將q=31代入銷售單價關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，求出x即可．（2）應(yīng)用利潤=銷售收入－銷售成本列式即可．（3）應(yīng)用二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別求出最大值比較即得所求．【題目詳解】解：（1）當1≤x≤20時，令，解得；；當21≤x≤40時，令，解得；．∴第10天或第31天該商品的銷售單價為31元/件．（2）當1≤x≤20時，；當21≤x≤40時，．∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．（3）當1≤x≤20時，，∵，∴當x=11時，y有最大值y1，且y1=612.1．當21≤x≤40時，∵26210＞0，∴隨著x的增大而減小，∴當x=21時，有最大值y2，且．∵y1＜y2，∴這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最