初中數(shù)學說課

初中數(shù)學教師基本功比賽一等獎說題稿中考數(shù)學壓軸題歷來是初三師生關注的焦點，它一般有動態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個知識點，囊括初中重要的數(shù)學思想和方法。對于考生而言，中考壓軸題是一根標尺，可以比較準確的衡量學生綜合解題能力以及數(shù)學素養(yǎng)，同時它的得失，可以直接影響到學生今后的發(fā)展。下面我就2022年上海市數(shù)學中考第23題第2問進行講評。中考題如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P

為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，

使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接

BP、BH．P（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論;（3）設AP為X，四邊形EFGP的面積為S，求出S與X的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．.審題分析本題涉及的知識點有：折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。本題通過翻折將全等變換，相似構造，勾股定理運用，融進正方形，不失一道好的壓軸題，很值得推敲。由于此圖形是正方形，因此里面隱含著很多直角，這是學生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點。題目的難點是學生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決，總有“老虎吃天無從下口”的感覺。用好直角三角形和構造直角三角形是解決此題的關鍵。由于此題綜合性較強，條件較分散，對學生分析問題的能力要求較高，因此難度較大，難度系數(shù)是0.19。.解題過程同一個問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。思路與解法一：從線段AD上有三個直角這一條件出發(fā)，運用“一線三角兩相似”這一規(guī)律（見課件），可將條件集中到△EAP與^PDH上，通過勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)來解決。解法如下：答：APDH的周長不變，為定值8.證明：設BE=a,則AE=4—a，有折疊可知PE=BE=a，.?.AP=2√2a-4,PD=4—2√2a—4,?.?/EPG=900,λ/APE+/DPH=900.又?/PHD+/DPH=900,ΛZAPE=/PHD又＜ZA=ZD=900,ΛAAEP?APDH.:.AAEP的周長APDH的周長AEPd4+2?√2θ≡4 4-a即IJ =~~；—T^^="— .APDH的周長4-2、；2a-4.?.APDH的周長=32-8a=8.4-a評析這種解法用的是設而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規(guī)解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。思路與解法二：求^PDH的周長，因為PD、DH都在正方形的邊上，所以需要將PH轉(zhuǎn)化到正方形的邊上進行解決，因此利用輔助線構造三角形全等進行轉(zhuǎn)化。解法如下：答：△PDH的周長不變，為定值8.證明：如圖2,過B作BQ⊥PH，垂足為Q.由（1）知ZAPB=ZBPH，又?ZA=ZBQP=900,BP=BP,???△ABP^△QBP.ΛAP=QP,AB=BQ.又：AB=BC,ΛBC=BQ.又?ZC=ZBQH=900,BH=BH,，△BCH%BQH.ΛCH=QH.???△PDH的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.評析這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進行了轉(zhuǎn)化，利用三角形全等的知識，得出線段PH=PQ+PH=AP+CH,把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為己知，使問題迎刃而解。3.總結提升：在原題的條件下，還可得以下結論：⑴求證：ZPBH=450；⑵求證：S=S+S；APBH AABP ABCH⑶當PH=m時，則S =16-4m。ADHP證明略。評析拓展提升題有助于學生鞏固所學知識，提高思維能力，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發(fā)學生學習興趣，從而使學生學習積極性和主動性都得到提高。逆向探究：如圖1,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形ABCD紙片，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF，連接BP、BH.ADHP的周長為8.求ABPH面積的最小值。解：設ABPH的面積為S,PD=羽DH=y,貝UAP=4—X,CH=4—y,S =2S +S.正方形ABCD ABPH ADHP.?16=2S+2Xy.?.?HP=AP+CH,HP=(4—X)+(4—y)=8—X—y.由勾股定理得HP2=DP2+DH2,即(8一X-y)2=X2+y2.整理得y=8X一32X-82S+-X.2.?.16=8X-32X-8化簡得2X2+(S-16)X+(64一8S)=0..?.A=(S-16)2一8(64一8S)≥0.S2+32S-256≥0.???S≥16√2-16或S≤-16<2-16(舍去)。???S≥16√2-16.???S的最小值為16J2-16.評析加強逆向思維的訓練，可改變思維結構，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學中應注重逆向思維的培養(yǎng)與塑造，以充分發(fā)揮學生的思考能力，訓練其思維的敏捷性，從而激發(fā)學生探索數(shù)學奧秘的興趣。像以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學過程中，如果有意識的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起道以一當十、以少勝多的效果，增大課堂的容量，培養(yǎng)學生各方面的技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海，唯恐學生不學了。我會繼續(xù)努力深入去研究課本的例、習題和全國各地的中考試題，象學生一樣，不斷追求新知，完善自己。初中數(shù)學如何進行說題在教師教學研究活動中，說課是個簡便易行的形式。通過說課，我們可以洞察執(zhí)教者的設計意圖及行為規(guī)劃。作為學生呢，要不要也說點什么？讓他們說說你拿到這個題，首先是怎么想的，這么想的依據(jù)是什么。讓他們說說以后，他們解答時就不會出現(xiàn)盲目下筆的情況。這讓我想到，說題，其實是一種很好的學習形式。不妨來個界定。說題，就是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規(guī)律一定順序說出來。要求學習者暴露面對題目的思維過程，即“說數(shù)學思維”，而不是像以前解完題拉倒。此前看波利亞的《怎樣解題》也常在解題后提示學生回顧總結解題的經(jīng)驗。其實，解題功夫不能從解答后開始，而是從拿到這個題目開始的。我這里想到，說題應包括如下內(nèi)容：1、說題目大致意思，尤其要說明題目的已知條件和問題，特別要注意挖掘題中隱含條件；2、說題目所涉及的知識點；3、說解題的方法；4、說解題的步驟；5、說解答的格式和表述；6、說檢查；7、說其它解法、解法的優(yōu)化、變化和結論的一般推廣；8、說解題總結，說題目的來源、背景和前后知識的聯(lián)系，說解題的特別注意點和嚴密性?！罢f題”時，教師不但要說清題目，還要說明怎樣解，為什么這樣解；該題與新課程理念、標準有什么聯(lián)系；對培養(yǎng)學生數(shù)學素質(zhì)所起的作用；與有關的數(shù)學教育理論是怎樣聯(lián)系的等。數(shù)學“說題”，在形式上就是通過分析數(shù)學題目，說清楚“如何解題”和“解題的作用”在表面看來，是教師在“說”數(shù)學知識間的前后聯(lián)系，如何解出這個題目的方法和策略，其實質(zhì)展現(xiàn)的是教師自身的數(shù)學教學理論功底、數(shù)學知識的掌握程度、數(shù)學方法的理解能力及數(shù)學教學的前瞻性理論。“說題教學”活動，看似教師的培訓活動，但最終目的是推動學生說題，我們平時看到學生解題一般只表達出解題過程和結果，不能完全暴露其思維過程，使教者無法對癥下藥，根除后患，“說題”能展現(xiàn)學生的思維過程并及時糾正學生的思維偏差。使教師能幫學生從根本上糾正問題，減輕學生的“做題”負擔。我們提倡教師在課堂中讓學生來說題：說對題目的認識、理解；說題目的條件、結論、知識點；說條件、結論之間的轉(zhuǎn)化；說與學過的哪一類問題相似；說可能用到的數(shù)學思想方法；說自己的想法和猜測；說解題方法是如何想到的，為什么這樣想。“說題教學”可激發(fā)學習興趣，鞏固、深化所學知識，能挖掘?qū)W生潛力，培養(yǎng)思維能力和自己獲取知識的能力?！罢f題教學”在相互交流中各抒己見，互獻智慧，在磨練中探索、嘗試、驗證，進行思想方法的溝通，以達到集思廣益和突破創(chuàng)新的目的，能培養(yǎng)學生思維的深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性乃至批判性，開發(fā)學生的腦力資源，挖掘?qū)W生的潛在能力。最終讓學生用自己的眼光觀察數(shù)學問題，用自己的頭腦思考、解決數(shù)學問題?！罢f題”至少有這幾點功效：一是有利于提高教師數(shù)質(zhì)。在“說題”前，教師必須認真學習有關的理論和資料，深入研究數(shù)學結構與分類，長期堅持“說題”必然促進教師自身的數(shù)學知識的熟練，其理論學習變得越來越廣博而深刻，理論應用變得熟練而有效，從而促進教師業(yè)務素質(zhì)產(chǎn)生飛躍性的變化，即由經(jīng)驗型教師逐步變?yōu)槔碚撔徒處煛⒖蒲行徒處?；二是有利于理論?lián)系實際與實踐的結合。課程標準的實施為“說題”提供了廣闊的空間。教師在“說題”時，體現(xiàn)的是教師的數(shù)學教育理論功底的深厚、數(shù)學知識的掌握程度的生熟、數(shù)學方法理解的強弱、數(shù)學教學前瞻性理念的探求。數(shù)學“說題”為現(xiàn)在的課堂教學的改革提供了良好的教育平臺，在課改中各類教研活動會更加活躍，“說題”這種教研方式將發(fā)揮更重要的作用；三是有利于營造教研氣氛。一般來說，“說題”活動往往和教學實踐活動結合在一起進行，通過“說”發(fā)揮了“說題”教師的作用；通過課堂具體實踐，又使教師自身的教學理論得以提煉。也給旁人提供參考，教師的智慧得以發(fā)揮?！罢f題”者要努力尋找現(xiàn)代教育理論的指導，評價者也要努力尋求“說題”教師的特色與成功經(jīng)驗的理論依據(jù)，說評雙方圍繞著共同的課題形成共知識，達到取長補短、優(yōu)勢互補的效果?！罢f題”者得到反饋，進而改進、提高和完善自己的教學方案；聽者從中得到比較、鑒別和借鑒，得到案例示范和理論滋養(yǎng)兩方面的收益，營造了較好的教研氛圍.通過此次“說題”，既展示我們教師的亮點、優(yōu)點和長處，也暴露了在解題教學中存在的問題和不足。豐南中學肖興貴老師《巧妙變式，多題歸一》的“說題”，他選（華東師大版八年級數(shù)學（下）第124頁復習題A組第7題）的一題，已知：如圖1,在AABC中，NC=900，四邊形ABDE>AGFC都是正方形，求證：BG=EC他從題目的考查目標、潛在價值、解題策略和拓展延伸——“四變式，兩聯(lián)想”等四個方面進行“說題”，對題目的能力立意、知識立意；說明題目出處以及題目所涉及的知識點;說明題目所蘊含的數(shù)學思想方法的指導意義；對題目的類型、條件等有效拓展，一題多變，啟發(fā)思維等。肖興貴老師能做到結合學情、因材施教、循序漸進、拓展延伸有章法、觸及中考熱點和難點，充分體現(xiàn)了新課程理念，把握“說題”的實質(zhì)。同時他對教學內(nèi)容的十分嫻熟，理解、把握教材也到位，給與會教師較好啟迪。永興中學勞先智老師《一題多解，多題歸一》一一道解直角三角形題的探討拓展的“說題”的選題很符合教學實際，他把解決這一題目所涉及的數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化思想、建模思想、方程思想、化歸思想概括準確，引導學生去探索數(shù)學問題的規(guī)律性和方法，“做一題、通一類、會一片”的教學效果明顯。永興中學王來燕老師《用分類討論的思想，解有關等腰三角形的問題》的“說題”題目是：等腰三角形的周長為16,其中一邊長是6,求另兩條邊的長(華師版七年級下冊第99頁習題10.3中的一道練習題)。她用簡單的題目說出了課堂教學的平常事，挖掘習題的深度和廣度。反映了她在教學中強化分類討論的思想，特別是解與等腰三角形的邊、角有關的問題時，考慮周到、全面，正確運用分類討論思想，對所有可能的情況進行分析討論，防止解一題多解的習題時漏解、錯解，提高了學生解題能力和培養(yǎng)了學生的思維能力。東山中學鄺展華老師的《以“靜”制“動”》——從一道動點習題說起的“說題”的原題目：如圖所示，在AABC中，NC=90°，AB=10cm，AC=8cm.兩個動點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1Cm/S的速度沿著線段BC向點C運動，點Q以2Cm/S的速度沿著線段CA向點A運動，設運動時間為t(S)，問：當t為何值時，^PCQ的面積等于8cm2?鄺老師意識到，原題以直角三角形為載體，在動態(tài)的情況下探究三角形的面積問題，是幾何和代數(shù)計算的綜合訓練，綜合了勾股定理、圖形面積、方程等初中數(shù)學的主要知識點；在數(shù)學思想方法方面，滲透了數(shù)形結合、方程及轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，考查了學生的思維能力、計算能力，培養(yǎng)了學生運動變化的辯證唯物主義觀點，是一道有一定的綜合性，難度適中的題目。她針對中考數(shù)學壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結合、動態(tài)幾何、函數(shù)思想、存在性問題等方向發(fā)展而選題。她經(jīng)過兩次變式“說題”概括此類題型的