余弦定理-完整版公開課教學(xué)設(shè)計

余弦定理（2）教材分析：地位及作用“余弦定理”是人教A版數(shù)學(xué)必修5主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具具有廣泛的應(yīng)用價值，起到承上啟下的作用。學(xué)情分析：本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的認識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點。教學(xué)目標：掌握余弦定理．進一步體會余弦定理在解三角形、幾何問題、實際問題中的運用，體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．教學(xué)重點：余弦定理的應(yīng)用；教學(xué)難點：運用余弦定理解決判斷三角形形狀的問題．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)回顧余弦定理的兩種形式（一）a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c22bc2ab2ca（二）cosA= ，cosB ，cosC= .2bc2ab2ca、學(xué)生活動探討實際生活中有哪些問題可以利用余弦定理來解決．三、數(shù)學(xué)應(yīng)用1．例題．例1A,B兩地之間隔著一個水塘，先選擇另一點C,測得CA=182m,CB=126m,/ACB=63。，求A,B兩地之間的距離(精確到1m).解由余弦定理，得AB2=CA2+CB2—2CA?CBcosC=182。+126?！?x182x126cos63。氏28178.18TOC\o"1-5"\h\zAb :B所以，AB氏168(m). '、,、 /答：A,B兩地之間的距離約為168m. /例2在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流.一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.曲后到達江北岸B碼頭.設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15。,并與A碼頭相距1.2km.該渡船應(yīng)按什么方向航行速度是多少(角度精確到0.1。,速度精確到0.1km/h)解如圖，船按AD方向開出，AC方向為水流方向，以AC為一邊、AB為對角線作平行四邊形ACBD,其中AB=1.2(km),AC=5x0.1=0.5(km).在AABC中，由余弦定理，得BC2=1.22+0.52—2x1.2x0.5cos(90。一15。)氏1.38所以AD=BC氏1.17(km).因此，船的航行速度為1.17+0.1=11.7(km/h).在AABC中，由正弦定理，得sin/ABC=sin/ABC=ACsin/BAC

BC0.5sin75。

07氏0.4128所以 /ABC=24.4。所以 /DAN=/DAB—/NAB=/ABC—15。29.4。.

答：渡船應(yīng)按北偏西9.4。的方向，并以11.7km/h的速度航行.例3在AABC中，已知sinA=2sinBcosC,試判斷該三角形的形狀.解由正弦定理及余弦定理，得sinAsinBb-a2+b2-c2sinAsinBbcosC= 2ab所以a=2x竺節(jié)廣，整理,得b2=c2因為b>0,c>0,所以b=c.因此，AABC為等腰三角形.例4在AABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，試判斷AABC的形狀.解由acosA+bcosB=ccosC及余弦定理，得整理b2+c2整理b2+c2-a2 c2+a2-b2a2+b2-c2a義 +b* =c義 ,2bc2ca2ab得c4=(a2-b2)2,a2-b2=c2或a2-b2=-c2,所以a2=b2+c2或a2+c2=b2,所以所以A所以AABC為直角三角形.證明：設(shè)/AMB證明：設(shè)/AMB=a,則/AMC=180o-a,在AABC中，由余弦定理，得例5如圖，AM是AABC中BC邊上的中線，求證:, 1■— ---———AM=-v2(AB2+AC2)-BC2.^2AB2=AM2+BM2—2AM?BMcosa.在AACM中，由余弦定理，得AC2=AM2+MC2—2AM-MCcos(180o-a).因為cos(180o-a)=-cosa,BM=MC=1BC,2所以AB2+AC2=2AM2+1BC2,2因此，AM=1；2(AB2+AC2)-BC2.^2

2練習(xí)．(1)在AABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC等于()A2 b_2c_1d_1? ? ? ?3 3 3 4(2)如圖，長7m的梯子BC靠在斜壁上，梯腳與壁基相距.5m,梯頂在沿著壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角a精確到0.1。.(3)在AABC中，已知a=2,b=3,C=60。，試判斷此三角形的形狀.(4)在AABC中，設(shè)CB=a,AC=b,且|a|=2,|b|=<3,a?b=一”,