二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

..二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【探究拓展】探究1：設(shè)分別是實(shí)系數(shù)一元二次方程和的一個(gè)根，且求證：方程有且僅有一根介于之間.變式1：函數(shù)f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝0的兩實(shí)根為x1、x2，方程f(x)＝x的兩實(shí)根為α、β.〔1〕假設(shè)|α－β|＝1，求a、b的關(guān)系式；〔2〕假設(shè)a、b均為負(fù)整數(shù)，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；〔3〕假設(shè)α<1<β<2，求證：(x1＋1)(x2＋1)<7.變式2：二次函數(shù)滿(mǎn)足且方程有實(shí)根.〔1〕求證：函數(shù)在上是增函數(shù).〔2〕設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為和，求證：.變式3：設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a>2c>2b，求證：〔1〕a>0且－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；〔2〕函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)至少有一個(gè)零點(diǎn)；〔3〕設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，那么eq\r(2)≤|x1－x2|<eq\f(\r(57),4).變式4：設(shè)函數(shù)且.〔1〕求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；〔2〕設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值圍；〔3〕求證：函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)在區(qū)間.探究2：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.〔1〕求的取值圍；〔2〕求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).變式：二次函數(shù)和〔1〕假設(shè)為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；〔2〕假設(shè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)判斷在上的單調(diào)性；〔3〕假設(shè)方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根為，的兩實(shí)根為，求使得成立的的取值圍.探究3：二次函數(shù)，方程的兩根和滿(mǎn)足〔1〕數(shù)的取值圍；〔2〕試比擬與的大小．并說(shuō)明理由變式：，是的零點(diǎn)，且，那么從小到大的順序?yàn)開(kāi)________________探究4：是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值圍解析1：函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，即方程=0在[-1，1]上有解.a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.所以實(shí)數(shù)a的取值圍是或a≥1.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決一元二次方程根的分布問(wèn)題.解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,又∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域；設(shè)t=3-2x，x∈[-1，1]，那么，t∈[1,5],，設(shè)，時(shí)，，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時(shí)，>0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，∴y的取值圍是，∴=0在[-1，1]上有解∈或.點(diǎn)評(píng):將原題中的方程化成的形式,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域的問(wèn)題,是解析2的思路走向.變式1：函數(shù)．〔1〕求證：函數(shù)y=f(x)的圖象恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)．〔2〕假設(shè)y=f(x)在〔1，3〕有零點(diǎn)，求a的取值圍．〔1〕設(shè)，即． 令x2=4，得x=2或2． 那么函數(shù)y=f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)〔2，7〕，〔2，1〕．〔2〕∵f(2)=7>0，f(2)=1<0，∴y=f(x)在〔2，2〕有零點(diǎn)． 1〕假設(shè)a>0，拋物線開(kāi)口向上，y=f(x)在〔1，3〕有零點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)f(1)>0，或f(3)>0． 那么， 或．∴0<，或． 2〕假設(shè)a<0，拋物線開(kāi)口向下，y=f(x)在〔1，3〕有零點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)f(1)>0．即．∴，結(jié)合a<0，得a<0． 3〕假設(shè)a=0，y=f(x)的零點(diǎn)為，在〔1，3〕．綜合1〕，2〕，3〕，得a的取值圍為〔∞，〕∪〔，∞〕．變式2：函數(shù)．〔1〕假設(shè)的解集是，數(shù)的值；〔2〕假設(shè)為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的值．探究5：函數(shù)，，假設(shè)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值圍是________.變式1：函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，假設(shè)對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值圍是.分析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言："函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，R，或〞，數(shù)m的取值圍.不難發(fā)現(xiàn)，假設(shè)利用上述解法3，采用對(duì)立轉(zhuǎn)化法，即可設(shè)命題，或；那么命題，.假設(shè)命題成立時(shí)：首先，當(dāng)時(shí)，，存在實(shí)數(shù)，使得不等式組成立.其次，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，g(x)為上的減函數(shù)且值域?yàn)?，必存在，使得函?shù)且.再者，當(dāng)時(shí)，g(x)為上的增函數(shù)且值域?yàn)?；假設(shè)存在實(shí)數(shù)使成立，即要有.又，解得或；綜上，假設(shè)命題成立時(shí)：有或；即可知當(dāng)命題成立時(shí)：.答案錯(cuò)了變式2：設(shè)函數(shù)，函數(shù)，假設(shè)存在，使得與同時(shí)成立，那么實(shí)數(shù)的取值圍是____________挖掘題中隱含條件：存在，使得，從而對(duì)參數(shù)的圍進(jìn)展局部縮小；解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒過(guò)，故由函數(shù)的圖象知：①假設(shè)時(shí),恒大于0，顯然不成立。②假設(shè)時(shí)，③假設(shè)時(shí)，，另，顯然不成立。解法1〔別離參數(shù)法〕時(shí)，或者當(dāng)時(shí)，都有.當(dāng)時(shí)，那么有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此，假設(shè)R，使得與同時(shí)成立，那么由上分析可知：只有當(dāng)時(shí)，不等式成立.設(shè)函數(shù)，.令，，易求.那么解法2〔數(shù)形結(jié)合法〕由于；.假設(shè)存在R，使得，那么，即；那么：1°當(dāng)時(shí)，由題意可知，，.二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，在上為減函數(shù)，那么，即.2°當(dāng)時(shí)，，.而二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，在上為增函數(shù)，又，因此，，此情形下.綜上，.解法3〔對(duì)立轉(zhuǎn)化法〕命題p：假設(shè)R，使得與同時(shí)成立.那么p：對(duì)R，或成立.下研究假設(shè)命題p成立時(shí)，參數(shù)的取值圍：1°當(dāng)時(shí)，R，恒成立，因此，適合題意.2°當(dāng)時(shí)，；那么，2.1°，即；2.2°，即；因此有.3°當(dāng)時(shí)，；那么，有，即；因此，.綜上，當(dāng)時(shí)，p成立；那么，命題p成立時(shí)，.變式3：設(shè)函數(shù)，函數(shù)，假設(shè)不存在，使得與同時(shí)成立，那么實(shí)數(shù)的取值圍是_______評(píng)注：〔1〕含參曲線的特征觀察〔定點(diǎn)？平行直線系？切線構(gòu)成的包絡(luò)線？〕〔2〕充分挖掘題中的隱含條件，從而對(duì)參數(shù)的圍進(jìn)展局部縮小；變式4：函數(shù)，，對(duì)有或成立.假設(shè)，那么實(shí)數(shù)的取值圍是________.變式5：，，假設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足條件：①，或；②(-∞,-4),，那么m的取值圍是_______分析：對(duì)于條件①，仍然采用對(duì)立轉(zhuǎn)化法，分析命題"，且〞.又當(dāng)時(shí)，函數(shù)，那么只要存在實(shí)數(shù)使成立即可.首先，當(dāng)時(shí)，，那么適合；其次，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，那么總存在實(shí)數(shù)使成立.再者，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，即要有；又此時(shí)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為，那么，解得；因此，命題成立時(shí)，或；那么條件①成立時(shí)，；對(duì)于條件②，當(dāng)時(shí)，，那么可知存在，；并且.可分如下兩種情形：(1)，解得；(2)，解得；綜上可知，當(dāng)條件①②都成立時(shí)，.探究6：設(shè)，方程的兩個(gè)根是和，且，.又假設(shè)，試比擬與的大小.

【解】因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，

所以，，.

因此.

由，及，，得.所以，當(dāng)時(shí)，有.

探究7：實(shí)數(shù)R，函數(shù)，，且滿(mǎn)足.〔1〕求的取值圍；〔2〕設(shè)為常數(shù)，且a0，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，令且，，求證：.探究8：設(shè)函數(shù)〔1〕當(dāng)，求函數(shù)的零點(diǎn)；〔2〕當(dāng)時(shí)，