解析幾何問題的題型及方法

PAGE.PAGE.解析幾何問題的題型與方法一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進(jìn)展直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.2.能正確畫出二元一次不等式〔組〕表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等根本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實(shí)際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問題.理解"曲線的方程〞、"方程的曲線〞的意義，了解解析幾何的根本思想，掌握求曲線的方程的方法.4．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔r＞0〕，明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)展一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程〔θ為參數(shù)〕，明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線〔雙曲線的漸近線〕等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.二．考試要求：(一)直線和圓的方程1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。

2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。

3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。

4．了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用。

5．了解解析幾何的根本思想，了解坐標(biāo)法。

6．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。

(二)圓錐曲線方程1．掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)。

2．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。

3．掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)。

4．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。三．教學(xué)過程：〔Ⅰ〕根底知識詳析高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題,1個填空題,1個解答題)，共計30分左右，考察的知識點(diǎn)約為20個左右。其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考察。選擇題和填空題考察直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的根底知識。解答題重點(diǎn)考察圓錐曲線中的重要知識點(diǎn)，通過知識的重組與，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，著重考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的根本知識和向量的根本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。(一)直線的方程1.點(diǎn)斜式：；2.截距式：；3.兩點(diǎn)式：；4.截距式：；5.一般式：，其中A、B不同時為0.(二)兩條直線的位置關(guān)系兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行〔沒有公共點(diǎn)〕；相交〔有且只有一個公共點(diǎn)〕；重合〔有無數(shù)個公共點(diǎn)〕.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交.設(shè)直線：=+，直線：=+，那么∥的充要條件是=，且=；⊥的充要條件是=-1.(三)線性規(guī)劃問題1．線性規(guī)劃問題涉及如下概念：⑴存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式〔或方程〕組成的不等式組來表示，稱為線性約束條件.⑵都有一個目標(biāo)要求，就是要求依賴于x、y的某個函數(shù)〔稱為目標(biāo)函數(shù)〕到達(dá)最大值或最小值.特殊地，假設(shè)此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標(biāo)函數(shù).⑶求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.⑷滿足線性約束條件的解〔x，y〕叫做可行解.⑸所有可行解組成的集合，叫做可行域.⑹使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個問題的最優(yōu)解.2．線性規(guī)劃問題有以下根本定理：⑴一個線性規(guī)劃問題，假設(shè)有可行解，那么可行域一定是一個凸多邊形.⑵凸多邊形的頂點(diǎn)個數(shù)是有限的.⑶對于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點(diǎn)中找到.3.線性規(guī)劃問題一般用圖解法.(四)圓的有關(guān)問題1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程〔r＞0〕，稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為〔a，b〕，半徑為r.特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)〔0，0〕，半徑為r時，圓的方程為.2.圓的一般方程〔＞0〕稱為圓的一般方程，其圓心坐標(biāo)為〔，〕，半徑為.當(dāng)=0時，方程表示一個點(diǎn)〔，〕；當(dāng)＜0時，方程不表示任何圖形.3.圓的參數(shù)方程圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：〔θ為參數(shù)〕〔θ為參數(shù)〕(五)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義：橢圓的定義中，平面動點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于||這個條件不可無視.假設(shè)這個距離之和小于||，那么這樣的點(diǎn)不存在；假設(shè)距離之和等于||，那么動點(diǎn)的軌跡是線段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔＞＞0〕，〔＞＞0〕.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，那么橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(六)橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為〔＞＞0〕.⑴圍：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.⑵對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.⑶頂點(diǎn)：有四個〔-a，0〕、〔a，0〕〔0，-b〕、〔0，b〕.線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).⑷離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.2.橢圓的第二定義⑴定義：平面動點(diǎn)M與一個頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)〔e＜1＝時，這個動點(diǎn)的軌跡是橢圓.⑵準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對稱性，〔＞＞0〕的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為.對于橢圓〔＞＞0〕的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即.3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑.設(shè)〔-c，0〕，〔c，0〕分別為橢圓〔＞＞0〕的左、右兩焦點(diǎn)，M〔x，y〕是橢圓上任一點(diǎn)，那么兩條焦半徑長分別為，.橢圓中涉及焦半徑時運(yùn)用焦半徑知識解題往往比擬簡便.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個獨(dú)立條件.(七)橢圓的參數(shù)方程橢圓〔＞＞0〕的參數(shù)方程為〔θ為參數(shù)〕.說明⑴這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同：；⑵橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比擬而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.(八)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義：平面與兩個定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a〔小于||〕的動點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用"三角形的兩邊之差小于第三邊〞加以理解.假設(shè)2a=||，那么動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；假設(shè)2a＞||，那么無軌跡.假設(shè)＜時，動點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又假設(shè)＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為"差的絕對值〞.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和〔a＞0，b＞0〕.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，那么焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比擬分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個問題：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(九)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1.雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.2.雙曲線的漸近線方程為或表示為.假設(shè)雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).3.雙曲線的第二定義：平面到定點(diǎn)〔焦點(diǎn)〕與到定直線〔準(zhǔn)線〕距離的比是一個大于1的常數(shù)〔離心率〕的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是〔-c，0〕和〔c，0〕，與它們對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和.在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有與的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個獨(dú)立的條件.(十)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1．拋物線的定義：平面到一定點(diǎn)〔F〕和一條定直線〔l〕的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否那么軌跡是過點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線。2．拋物線的方程有四種類型：、、、.對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號那么曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號那么曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。3．拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例〔1〕圍：x≥0；〔2〕對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；〔3〕頂點(diǎn)：O〔0，0〕，注：拋物線亦叫無心圓錐曲線〔因?yàn)闊o中心〕；〔4〕離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；〔5〕準(zhǔn)線方程；〔6〕焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P〔x1，y1〕，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為〔p＞0〕：〔7〕焦點(diǎn)弦長公式：對于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。設(shè)過拋物線y2=2px〔p＞O〕的焦點(diǎn)F的弦為AB，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB的傾斜角為α，那么有①|(zhì)AB|=x+x+p以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長的求法，對于其它的弦，只能用"弦長公式〞來求。〔8〕直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當(dāng)a≠0時，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線一樣，用判別式法即可；但如果a=0，那么直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點(diǎn)。(十一)軌跡方程⑴曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；⑵以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線〔圖形或軌跡〕.〔十二〕考前須知1．⑴直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=a〔a∈R〕.因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.⑵直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因?yàn)閍≠0，b≠0，所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.⑷當(dāng)直線或的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡化計算.2.⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在.⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)展a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)注意兩個問題：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.⑷雙曲線的漸近線方程為或表示為.假設(shè)雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).⑸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個和〔a＞0，b＞0〕.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.⑹求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.〔Ⅱ〕例分析例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。分析：滿足兩個條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個解法，即用其中一個條件列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個條件求出此參數(shù)。解法一：先用"平行〞這個條件設(shè)出l的方程為3x+4y+m=0①再用"面積〞條件去求m，∵直線l交x軸于，交y軸于由，得，代入①得所求直線的方程為：解法二：先用面積這個條件列出l的方程，設(shè)l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，那么有，因?yàn)閘的傾角為鈍角，所以a、b同號，|ab|=ab，l的截距式為，即48x+a2y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直線l的方程為說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。例2、假設(shè)直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2,3)，B(3,2)，數(shù)m的取值圍。解：直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0,-2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0,-2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，那么直線只能落在∠ABC的部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，那么由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2，∵A(-2,3)B(3,2)∴∴-m≥或-m≤即m≤或m≥說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB部變化時，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時，也要能求出m的圍。例3、x、y滿足約束條件x≥1，x-3y≤-4，3x+5y≤30，求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如下圖的陰影局部〔包括邊界〕.作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，t∈R.可知，當(dāng)在的右下方時，直線上的點(diǎn)〔x，y〕滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線往右平移時，t隨之增大.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B，此時所對應(yīng)的t最大；當(dāng)在的左上方時，直線上的點(diǎn)〔x，y〕滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線往左平移時，t隨之減小.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C，此時所對應(yīng)的t最小.x-3y+4=0，由解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔5，3〕；3x+5y-30=0，x=1，由解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔1，〕.3x+5y-30=0，所以，=2×5-3=7；=2×1-=.例4、某運(yùn)輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，有11名駕駛員.在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運(yùn)480噸瀝青的任務(wù).每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡車每天的本錢費(fèi)A型車350元，B型車400元.問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的本錢費(fèi)最低，最低為多少？解：設(shè)每天派出A型車與B型車各x、y輛，并設(shè)公司每天的本錢為z元.由題意，得x≤10，y≤5，x+y≤11，48x+56y≥60，x，y∈N，且z=350x+400y.x≤10，y≤5，即x+y≤11，6x+7y≥55，x，y∈N，作出可行域，作直線：350x+400y=0，即7x+8y=0.作出一組平行直線：7x+8y=t中〔t為參數(shù)〕經(jīng)過可行域的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過6x+7y=60和y=5的交點(diǎn)A〔，5〕，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)不都是整數(shù)，而x，y∈N，所以可行域的點(diǎn)A〔，5〕不是最優(yōu)解.為求出最優(yōu)解，必須進(jìn)展定量分析.因?yàn)椋?×+8×5≈69.2，所以經(jīng)過可行域的整點(diǎn)〔橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)〕且與原點(diǎn)最小的直線是7x+8y=10，在可行域滿足該方程的整數(shù)解只有x=10，y=0，所以〔10，0〕是最優(yōu)解，即當(dāng)通過B點(diǎn)時，z=350×10+400×0=3500元為最小.答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司所化的本錢費(fèi)最低為3500元.例5、點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t(0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如下圖的直角坐標(biāo)系.(1)寫出直線的方程；〔2〕計算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；〔3〕證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.解:(1)顯然,于是直線的方程為；〔2〕由方程組解出、；〔3〕,.由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過點(diǎn)Q.說明：需要注意的是,Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式,有趣嗎"例6、設(shè)P是圓M：(x-5)2+(y-5)2=1上的動點(diǎn)，它關(guān)于A(9,0)的對稱點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)S，求|SQ|的最值。解：設(shè)P(x,y)，那么Q(18-x,-y)，記P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi，那么S點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(x+yi)·i=-y+xi，即S(-y,x)∴最小值為，那么|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為例7、⊙M：軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，〔1〕如果，求直線MQ的方程； 〔2〕求動弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 解:〔1〕由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直線AB方程是 〔2〕連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即把〔*〕及〔**〕消去a，并注意到，可得說明：適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答此題的要害所在。例8、直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).〔1〕求證：;〔2〕求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.解:〔1〕易求得拋物線的焦點(diǎn).假設(shè)l⊥x軸，那么l的方程為.假設(shè)l不垂直于x軸，可設(shè),代入拋物線方程整理得.綜上可知.〔2〕設(shè)，那么CD的垂直平分線的方程為假設(shè)過F，那么整理得，.這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn).而l與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.說明：此題是課此題的深化，課本是高考試題的生長點(diǎn)，復(fù)習(xí)要重視課本。例9、橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的局部上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1、F2距離的等比中項(xiàng)，假設(shè)能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)不能找到，請說明理由。解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M〔x1，y1〕a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴，，點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離，∴，∴，∴或，這與x1∈[-2，0)相矛盾，∴滿足條件的點(diǎn)M不存在。例10、橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，離心率為，〔Ⅰ〕求橢圓方程；〔Ⅱ〕設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M，又點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上，且M分有向線段所成的比為2，求線段AB所在直線的方程。解：〔Ⅰ〕設(shè)橢圓方程為由2c=4得c=2又故a=3，∴所求的橢圓方程為〔Ⅱ〕假設(shè)k不存在，那么，假設(shè)k存在，那么設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2又設(shè)A由得①②∵點(diǎn)M坐標(biāo)為M〔0，2〕∴由∴∴代入①、②得…③④由③、④得∴∴線段AB所在直線的方程為：。說明：有向線段所成的比，線段的定比分點(diǎn)等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點(diǎn)公式，也可以直接用有向線段的比解題。另外，向量的長度，點(diǎn)的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結(jié)合，為解決這些問題開辟了新的解題途徑。例11、直線l與橢圓有且僅有一個交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點(diǎn)P的軌跡方程．解：從直線所處的位置,設(shè)出直線的方程,由，直線l不過橢圓的四個頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程得化簡后，得關(guān)于的一元二次方程于是其判別式由，得△=0．即①在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，由，得代入①式并整理，得,即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．說明：方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,你能畫出它的圖形嗎"例12、雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是〔1〕求雙曲線的方程；〔2〕直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.解：∵〔1〕原點(diǎn)到直線AB：的距離.故所求雙曲線方程為〔2〕把中消去y，整理得.設(shè)的中點(diǎn)是，那么即故所求k=±.說明：為了求出的值,需要通過消元,想法設(shè)法建構(gòu)的方程.例13、過點(diǎn)作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。分析：假設(shè)直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，那么要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了防止討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運(yùn)算。解：設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，：把代入橢圓方程得：，即，，∴，此時令直線的傾角為，那么即△OAB面積的最大值為，此時直線傾斜角的正切值為。例14、〔2003年高考題〕常數(shù)，向量經(jīng)過原點(diǎn)O以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A〔0，a〕以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.假設(shè)存在，求出E、F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.解：∵=〔1，0〕，=〔0，a〕，∴+λ=〔λ，a〕，－2λ=〔1，－2λa〕.因此，直線OP和AP的方程分別為和.消去參數(shù)λ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得……①因?yàn)樗缘茫骸瞚〕當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在符合題意的定點(diǎn)E和F；〔ii〕當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為符合題意的兩個定點(diǎn)；〔iii〕當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為符合題意的兩個定點(diǎn).說明：由于向量可以用一條有向線段來表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類問題的關(guān)鍵是：根據(jù)直線的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。例15、橢圓的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量?！?〕求橢圓的離心率e；〔2〕設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，求∠的取值圍；解：〔1〕∵，∴?！呤枪簿€向量，∴，∴b=c,故?！?〕設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時，cosθ=0，∴θ。說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計問題。求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。例16、一條斜率為1的直線與離心率為的橢圓C：〔〕交于P、Q，兩點(diǎn)，直線與Y軸交于點(diǎn)R，且，，求直線和橢圓C的方程。解：橢圓離心率為，，所以橢圓方程為，設(shè)方程為：，由消去得……〔1〕……〔2〕所以而所以所以……〔3〕又，，從而……〔4〕由〔1〕〔2〕〔4〕得……〔5〕由〔3〕〔5〕解得，適合，所以所求直線方程為：或；橢圓C的方程為說明：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，構(gòu)建起向量與解析幾何的密切關(guān)系，使向量與解析幾何融為一體。求此類問題的關(guān)鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。表達(dá)了向量的工具性。例17、橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個動點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．〔1〕求橢圓C的離心率；〔2〕求橢圓C的方程．解法一：〔1〕設(shè),對由余弦定理,得，解出〔2〕考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：i)當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為………………①橢圓方程為由得.于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為………………②將①代入②，消去得,整理為的一元二次方程，得.那么x1、x2是上述方程的兩根．且，，AB邊上的高ii)當(dāng)k不存在時，把直線代入橢圓方程得由①②知S的最大值為由題意得=12所以故當(dāng)△ABF2面積最大時橢圓的方程為：解法二：設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：……②把①代入②并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號，即由題意知,于是.故當(dāng)△ABF2面積最大時橢圓的方程為：例18、〔2002年XX高考題〕兩點(diǎn)M〔-1，0〕，N〔1，0〕且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，〔Ⅰ〕點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？〔Ⅱ〕假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，為的夾角，求tanθ。解：〔Ⅰ〕記P〔x,y〕，由M〔-1，0〕N〔1，0〕得所以于是，是公差小于零的等差數(shù)列等價于即所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓?！并颉滁c(diǎn)P的坐標(biāo)為。。因?yàn)?〈，所以說明：在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將"形〞和"數(shù)〞嚴(yán)密地結(jié)合在一起。向量的夾角問題融入解析幾何問題中，也就顯得十分自然。求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知識結(jié)合向量的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問題轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的問題，用數(shù)形結(jié)合方法使問題獲解?！并蟆场?qiáng)化訓(xùn)練1、P是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，假設(shè)，那么橢圓的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、△ABC的頂點(diǎn)A(3,-1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為：x-4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。3、求直線l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分線的方程。食物P食物Q食物R維生素A〔單位/kg〕400600400維生素B〔單位/kg〕800200400本錢〔元/kg〕6544、三種食物P、Q、R的維生素含量與本錢如下表所示.現(xiàn)在將xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44000單位與維生素B48000單位，那么x，y，z為何值時，混合物的本錢最??？5、某人有樓房一幢，室面積共180，擬分隔成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元；小房間每間面積為15，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元.裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？6、△ABC三邊所在直線方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。7、橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，假設(shè)過點(diǎn)A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。8、橢圓〔a＞b＞0〕上兩點(diǎn)A、B，直線上有兩點(diǎn)C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線的方程。9、求以直線為準(zhǔn)線，原點(diǎn)為相應(yīng)焦點(diǎn)的動橢圓短軸MN端點(diǎn)的軌跡方程。10、假設(shè)橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸端點(diǎn)正好是正方形的四個頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長軸端點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程。11、直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.〔１〕求此橢圓的離心率；〔2〕假設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.12、設(shè)A〔x1，y1〕為橢圓x2+2y2=2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作一條直線，斜率為，又設(shè)d為原點(diǎn)到直線的距離,r1、r2分別為點(diǎn)A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離。求證：為定值。13、某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土石最省工？14、橢圓〔a＞b＞0〕，P為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，〔1〕假設(shè)，，求證：離心率；〔2〕假設(shè)，求證：的面積為。15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變.〔1〕建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；〔2〕過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，試確定實(shí)數(shù)的取值圍．16、〔2004年春季高考〕點(diǎn)A〔2，8〕，在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合〔如圖〕〔I〕寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；〔II〕求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔III〕求BC所在直線的方程?！并簟?、參考答案1、解：設(shè)c為為橢圓半焦距，∵∴又∴解得：選〔D〕。說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開辟了新思路。求解此類問題的關(guān)鍵是利用向量垂直的充要條件："〞，促使問題轉(zhuǎn)化，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題。2、解：設(shè)B(a,b)，B在直線BT上，∴a-4b+10=0①又AB中點(diǎn)在直線CM上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程6x+10y-59=0∴②解①、②組成的方程組可得a=10，b=5∴B(10,5)，又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又∴∴，∴BC所在直線的方程為即2x+9y-65=03、解法一：設(shè)l2到l1角平分線l的斜率為k，∵k1=-1，k2=7∴，解之得k=-3或，由圖形可知k<0，∴k=-3，又由解得l1與l2的交點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得即6x+2y-3=0解法二：設(shè)l2到l1的角為θ，那么，所以角θ為銳角，而，由二倍角公式可知∴或?yàn)殇J角，∴，∴k=-3等同解法一。解法三：設(shè)l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①∴，由解法一知，∴，代入①化簡即得：6x+2y-3=0解法四：用點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)l上任一點(diǎn)P(x,y)，那么P到l1與l2的距離相等?！嗾淼茫?x+2y-3=0與x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線，k<0，∴x-3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y-3=0.4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述問題可以看作只含x，y兩個變量.設(shè)混合物的本錢為k元，那么k=6x+5y+4〔100-x-y〕=2x+y+400.于是問題就歸結(jié)為求k在條件下的線性規(guī)劃問題.解：條件可歸結(jié)為以下不等式組：x≥0，y≥0，x+y≤100，400x+600y+400〔100-x-y〕≥44000，800x+200y+400〔100-x-y〕≥48000.x+y≤100，即y≥20，①2x-y≥40.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出不等式組①所表示的平面區(qū)域，這個區(qū)域是直線x+y=100，y=20，2x-y=40圍成的一個三角形區(qū)域EFG〔包括邊界〕，即可行域，如下圖的陰影局部.設(shè)混合物的本錢為k元，那么k=6x+5y+4〔100-x-y〕=2x+y+400.作直線：2x+y=0，把直線向右上方平移至位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)E，且與原點(diǎn)的距離最小，此時2x+y的值最小，從而k的值最小.2x-y=40，x=30，由得即點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔30，20〕.y=20，y=20，所以，=2×30+20+400=480〔元〕，此時z=100-30-20=50.答：取x=30，y=20，z=50時，混合物的本錢最小，最小值是480元.5、解：設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，那么x、y滿足18x+15y≤180，1000x+600y≤8000，x，y∈N，且z=200x+150y.所以6x+5y≤60，5x+3y≤40，x，y∈N，作出可行域及直線：200x+150y=0，即4x+3y=0.〔如圖4〕把直線向上平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B，且與原點(diǎn)距離最大.此時，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60與5x+3y=40聯(lián)立的方程組得到B〔，〕.由于點(diǎn)B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而x，y∈N，所以可行域的點(diǎn)B不是最優(yōu)解.為求出最優(yōu)解，同樣必須進(jìn)展定量分析.因?yàn)?×+3×=≈37.1，但該方程的非負(fù)整數(shù)解〔1，11〕、〔4，7〕、〔7，3〕均不在可行域，所以應(yīng)取4x+3y=36.同樣可以驗(yàn)證，在可行域滿足上述方程的整點(diǎn)為〔0，12〕和〔3，8〕.此時z取最大值1800元.6、解：解方程組可得A(6,-3)、B(6,-1)、C(4,2)設(shè)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么：解之得：D=，E=4，F(xiàn)=30所以所求的△ABC的外接圓方程為：7、分析：假設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線f〔x，y〕=0相交于兩點(diǎn)P〔x1，y1〕、Q〔x2、y2〕，那么弦PQ的長度的計算公式為，而，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f〔x，y〕=0方程，消去y〔或x〕，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。解：設(shè)A〔x0，0〕〔x0＞0〕，那么直線的方程為y=x-x0，設(shè)直線與橢圓相交于P〔x1，y1〕，Q〔x2、y2〕，由y=x-x0可得3x2-4x0x+2x02-12=0，x2+2y2=12，，那么∴，即∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A〔2，0〕。8、解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O＇〔0，1〕，半徑r=3。設(shè)正方形的邊長為p，那么，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直線y=x+k的距離應(yīng)等于正方形邊長p的一半即，由點(diǎn)到直線的距離公式可知k=-2或k=4。〔1〕設(shè)AB：y=x-2由y=x-2CD：y=x+4x2+y2-2y-8=0得A〔3，1〕B〔0，-2〕，又點(diǎn)A、B在橢圓上，∴a2=12，b2=4，橢圓的方程為。〔2〕設(shè)AB：y=x+4，同理可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔0，4〕，〔-3，1〕代入橢圓方程得，此時b2＞a2〔舍去〕。綜上所述，直線方