圓錐曲線專題復習及訓練-經(jīng)典好

..高考數(shù)學專題復高考數(shù)學專題復〔第2輪難點突破〕圓錐曲線專題復習與訓練——常用性質歸納、解題方法探尋、典型例題剖析、高考真題演練【高考命題特點】圓錐曲線是歷年高考的重點容，常作為高考數(shù)學卷的壓軸題。1.從命題形式上看，以解答題為主，難度較大。2.從命題容上看，主要考察求圓錐曲線的標準方程、求動點的軌跡方程、根據(jù)方程求最值、求參數(shù)的取值圍、證明定點、定值、探索存在性等。3.從能力要求上看，主要考察數(shù)學思想方法〔如數(shù)形結合、分類討論等〕的運用能力。分析問題和解決問題的能力及運算能力。一、圓錐曲線的常用性質1.關于橢圓的補充性質〔常在解題中遇到〕：①經(jīng)過焦點或的橢圓的弦，當軸時，最短，且②過焦點的直線交橢圓于P、Q兩點，點M是軸上一定點，那么當軸時，的面積最大。③設右〔左〕準線與軸交于點E，過E點的直線與橢圓交于P,，Q兩點，點與點P關于軸對稱，那么直線一定過橢圓的右〔左〕焦點F。一般地，設P、Q是橢圓上兩動點，直線PQ交軸于點，點與點P關于軸對稱，直線交軸于點，那么為定值。④設點P是橢圓右〔左〕準線上任一點〔不在軸上〕，是橢圓的左、右頂點，直線,與橢圓分別交于兩點，那么直線一定過橢圓的右〔左〕焦點。反之，過橢圓右〔左〕焦點F的直線交橢圓于兩點，那么直線的交點P在橢圓的右〔左〕準線上。。⑤設是橢圓的左、右頂點，是橢圓的上、下頂點，P是橢圓上異于頂點的任一點，那么為定值。一般地，設過橢圓中心的直線交橢圓于M、N兩點，P是橢圓上異于M、N的任一點，那么為定值。⑥存在以坐標原點為圓心的圓，使得圓的任一切線與橢圓交于P,Q兩點，滿足，且圓的方程為；反之，假設，那么點到直線PQ的距離為定值.當時，|PQ|取得最大值；當或軸時，|PQ|取得最小值。.⑦設ABCD是橢圓的接矩形，那么矩形ABCD的最大面積為.⑧點P在橢圓上，設，那么焦點三角形的面積。2.雙曲線的補充性質〔在解雙曲線問題時常遇到〕：①平行于漸近線〔斜率為〕的任一條直線與雙曲線有唯一交點.②假設斜率為k的直線與雙曲線的兩支各交于一點，那么，假設直線只與雙曲線的同一支相交于兩點，那么?！苍诘那疤嵯拢粗渤闪ⅰ?③雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離的乘積為定值..④當焦點弦軸時，，是同一支上所有焦點弦中的最短者。⑤在焦點三角形中，設，那么焦點三角形的面積⑥設P是雙曲線右〔左〕支上任一點，那么的切圓與x軸的切點為雙曲線的右〔左〕頂點。⑦雙曲線和稱為共軛雙曲線共軛雙曲線的性質：⑴漸近線一樣；⑵3.拋物線的常用性質〔常在解題中遇到〕：〔1〕拋物線的焦點性質：拋物線：，過焦點的直線交于兩點，分別過作準線的垂線，垂足分別為，設直線的傾斜角為，那么：①，②.③，當時，的最小值為。④.⑤三點共線；三點共線。⑥以為直徑的圓與直線相切。⑦以為直徑的圓過焦點。〔2〕拋物線的補充性質：⑴設A、B是拋物線上兩動點，且滿足，〔O為坐標原點〕，那么直線AB經(jīng)過軸上的定點。反之，也成立。⑵設拋物線的準線交軸于點E，過E點的直線交拋物線于A,B兩點，是點A關于軸的對稱點，那么直線過拋物線的焦點F.⑶過軸上的定點的直線與拋物線)交于兩點，那么〔定值〕。⑷〔拋物線的切線〕設是拋物線上兩動點，分別過A、B兩點作拋物線的切線相交于點，那么有：①切線的方程分別為：。②切線的交點坐標為：，即。③直線AB的斜率為：。④假設直線AB與軸交于點，那么。二、圓錐曲線常見題型及解題思路方法。1.求圓錐曲線的標準方程先判斷焦點的位置，設出相應圓錐曲線的方程，再根據(jù)條件和圓錐曲線的性質列方程〔組〕〔如求橢圓方程，就是根據(jù)條件和性質列出關于a、b、c的方程組〕，求出待定參數(shù)。在解方程〔組〕求a，b時，要注意考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種方程的形式，對于復雜的方程〔組〕，常常是觀察——猜測——驗證，得出a，b的值。2.求橢圓〔或雙曲線〕的離心率或離心率的取值圍求離心率就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質，尋找a、b、c之間的等量關系，求出的值。在橢圓中，有：；在雙曲線中，有：。能求出，也就求得了離心率。在雙曲線中，還要注意漸近線與離心率的關系。求離心率的取值圍就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質尋找a、b、c之間的不等關系。關于不等式的來源，通常是依據(jù)不等式，同時還要注意圓錐曲線中幾個常用的不等關系：①圓錐曲線上點的坐標的圍；②在橢圓中，有，〔其中B為短軸的端點，P為橢圓上任一點〕；③在雙曲線中，有〔其中F為焦點，P為雙曲線上任一點，A是同一支雙曲線的頂點〕。解這類問題時，要盡可能地結合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思考問題。如果涉及直線與圓錐曲線位置關系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標法找關系。3.在圓錐曲線中判斷點與圓的位置關系除常規(guī)方法外〔比擬點到圓心的距離與半徑的大小〕，通常用向量法。例如，直線與圓錐曲線交于A、B兩點，要判斷點P與以AB為直徑的圓的位置關系，只需確定的大小，通過計算，確定其符號。4.證明定點，定值，定直線問題可先取參數(shù)的特殊值〔或圖形的特殊位置〕，對定點，定值，定直線進展探求，然后證明當參數(shù)變化時，結論成立。證明直線過定點，有兩種思路：①求出滿足條件的動直線方程〔只含一個參數(shù)〕，再根據(jù)方程求出定點；②先探求定點，再設出要證明的定點的坐標〔如設動直線與x軸交于點〕，把坐標表示出來，表示式中，往往會含有〔或〕，用所求得的結果代入，就可得出坐標為定值。證明定點、定值、定直線問題，還可利用圓錐曲線中定點、定值、定直線的性質，將問題進展轉化。5.直線與圓錐曲線的位置關系問題這類問題是平面解析幾何中的重點問題，常涉及直線和圓錐曲線交點的判斷，弦長，面積，對稱，共線等問題處理問題的根本方法有兩種：〔1〕聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設交點，再設直線方程，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程構成方程組，消元，求，〔或〕，令〔如果直線經(jīng)過曲線的點，可以省去這一步〕，再根據(jù)問題的要求或求距離，或求弦長，或求點的坐標，或求面積等。〔2〕點差法：設交點為及AB的中點，將A、B兩點的坐標代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：，即，再由題設條件，求中點坐標，根據(jù)問題的條件和要求列式。值得注意的是，用聯(lián)立方程法，設直線方程時，為簡化運算，可采用這種的策略，假設直線過軸上的定點，那么直線方程可設為〔此直線不包括軸〕，聯(lián)立方程，消去，得到關于的方程，求出備用。有時，還要根據(jù)，求出。假設直線過軸上的定點，那么直線方程可設為〔此直線不包括軸〕，聯(lián)立方程，消去y。對于直線，無特殊交代時，通常注意分兩種情況：①直線的斜率存在，消元后，注意；②直線的斜率不存在，即直線為。在涉及到弦的中點及斜率時，求參數(shù)〔如直線的斜率k〕的取值圍，通常采用點差法。6.最值問題這類問題是從動態(tài)角度研究解析幾何中的有關問題，往往涉及求弦長〔或距離〕、面積、坐標〔或截距〕、向量的?！不驍?shù)量積〕、參數(shù)等的最大〔小〕值。其解法是：設變量，建立目標函數(shù)。處理的方法有：〔1〕利用根本不等式；〔2〕考察函數(shù)的單調性；〔3〕利用導數(shù)法；〔4〕利用判別式法。在目標函數(shù)的變形上有一定的技巧，關于弦長，面積表達式的變形，常用到移入根號，別離常數(shù)，換元等方法，把目標函數(shù)轉化為雙勾函數(shù)的形式，或用根本不等式，或利用函數(shù)的單調性求最值。求坐標的最值時，可構造一個一元二次方程，利用。7.求參數(shù)的取值圍問題這類問題主要是根據(jù)條件建立關于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉化關于某個變量的函數(shù)，通過解不等式或求函數(shù)的值域來求參數(shù)的取值圍。具體解法如下：〔1〕結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系?！?〕不等式〔組〕求解法：利用題意結合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式〔組〕，通過解不等式組得出參數(shù)的變化圍。不等式的來源常有以下途徑：①不等式〔含根本不等式〕；②直線與圓錐曲線相交時，有；③點與圓錐曲線〔以橢圓最為多見〕的位置關系；④圓錐曲線〔特別是橢圓〕上點的坐標的圍。〔3〕函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，用一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化圍?！?〕利用根本不等式：根本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進展巧妙的構思?！?〕結合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于：①通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、圍等問題?！?〕構造一個二次方程，利用判別式0。8.求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程是解析幾何中兩類根本問題之一，即根據(jù)動點所滿足的條件，求動點的坐標之間的關系式。最根本的方法是直接法，步驟是：建系設點條件立式坐標代換化簡方程查漏除雜。此外還有定義法〔主要是利用圓錐曲線的定義〕，相關點法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、圓的軌跡問題時，常從幾何角度去探求動點滿足的關系，選用幾何法；如果題目沒有直接給出動點所滿足的條件，而是給出了與動點相關的點所滿足的條件，先設動點坐標為，再把相關點的坐標用動點的坐標來表示，根據(jù)相關點的條件列式，此即為相關點法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)〔通常是相關點的坐標〕列式，消去參數(shù)得到關于的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個，才能消去所有參數(shù)。三.圓錐曲線問題中的條件及要求與韋達定理之間的聯(lián)系舉例：解決圓錐曲線問題的根本方法是坐標法，這就需要把問題的條件轉化為坐標之間的關系，而把問題的條件和要求用坐標表示，特別是用或來表示，往往又是打通問題思路的關鍵。以下是問題中一些條件的坐標表示：設斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，聯(lián)立方程，可求出，以及?！?〕弦的中點：弦AB的中點坐標可表示為〔2〕弦的垂直平分線過定點或：弦的垂直平分線方程為：。弦的垂直平分線過定點，那么有：〔3〕點與以為直徑的圓的位置關系，判斷的符號：，，。其中〔4〕垂直問題：如，那么有：〔5〕A、B兩點關于直線對稱：，〔其中k為直線AB的斜率〕關于圓錐曲線上兩點關于某條直線對稱的問題，一般涉及到弦的斜率和中點，所以常采用"點差法〞，用點差法處理問題時，對于不同的圓錐曲線，有不同的表示方法：當圓錐曲線分別為橢圓、雙曲線、拋物線時，k的表示式有以下三種形式：〔橢圓〕；〔雙曲線〕；〔拋物線〕〔6〕弦長問題：當直線時：當直線時：〔7〕三角形的面積：MNAB①；〔d是點到直線ABMNAB②或，其中M、N為x軸上兩定點，為定長?！?〕三點共線問題：遇三點共線問題，常利用斜率相等列方程。設，假設共線，那么利用直線方程將換成〔或將換成〕，通分后令分子為0，可使所得方程中僅含有〔或僅含有〕。〔9〕為正三角形：點C在的垂直平分線上，且滿足，其中M為的中點。由點C在的垂直平分線上可得：又，，這樣就把問題與韋達定理聯(lián)系起來了?！?0〕A、B與C、D四點共圓：當A、C、B、D四點共圓時，其圓心是線段AB的垂直平分線與線段CD的垂直平分線的交點G，且滿足|GA|=|GC|。線段AB的垂直平分線方程為，假設CD垂直平分AB，那么圓心G是CD的中點，且有.【高考真題、模擬題解析】【例1】〔2010〕橢圓E經(jīng)過點A〔2，3〕，對稱軸為坐標軸，焦點軸上，離心率〔1〕求橢圓E的方程；〔2〕求的角平分線所在直線的方程?！窘狻俊?〕設橢圓E的方程為：橢圓方程形式將A〔2，3〕代入上式，得：∴橢圓E的方程為〔I2〕由〔I〕知，設的角平分線所在直線的方向向量為，那么。易知，，所以，，故。所以的角平分線所在直線的斜率為k=2，故所求直線為：，即。【注】假設OC平分AOB，那么【例2】〔2010〕橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點，以線段為直徑作圓P，圓心為P?！?〕求橢圓C的方程；〔2〕假設圓P與軸相切，求圓心P的坐標；〔3〕設是圓P上的動點，當變化時，求y的最大值.【解】〔1〕因為，且，所以 所以橢圓C的方程為.〔2〕由題意知.由得： 所以圓P的半徑為。由得：解得.所以點P的坐標是〔?！?〕由〔Ⅱ〕知，圓P的方程。因為點在圓P上，所以設，那么當，即，且，y取最大值2．【注】對于形如的函數(shù)，可采用三角代換法求最值，令，那么，于是有：。【例3】〔2010〕如圖，拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個焦點．〔1〕求橢圓的離心率；〔2〕設點，又為與不在軸上的兩個交點，假設的重心在拋物線上，求和的方程．【解】〔1〕因為拋物線C1經(jīng)過橢圓C2的兩個焦點，所以，由，所以橢圓的離心率．〔2〕由〔1〕可知：，所以橢圓C2的方程為：聯(lián)立解得：〔舍去〕，所以，即所以△QMN的重心坐標為〔1，0〕，因為重心在C1上，所以所以所以拋物線C1的方程為：，橢圓C2的方程為：【注】聯(lián)立橢圓方程與其它方程時，為方便運算起見，通常要簡化橢圓方程。如離心率或者a、b、c中的一個，那么橢圓方程可化為只含一個參數(shù)的方程。【例4】〔2010〕設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:的左、右焦點，過F2的直線與橢圓C相交于A,B兩點，直線的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線的距離為2．〔1〕求橢圓C的焦距；〔2〕如果，求橢圓C的方程．【解】〔1〕設焦距為2c，直線的方程為由可得：F1到直線的距離為d=所以橢圓C的焦距為4． 〔2〕設，由〔1〕知：橢圓C的方程可化為，直線l的方程為聯(lián)立，消去x，得：由韋達定理得：因為③從①②③中消去，求得：。故橢圓C的方程為【注】題目中的向量條件往往轉化為坐標之間的關系?！纠?】直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.〔1〕求橢圓C的標準方程；〔2〕圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1.試證明：當點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值圍．【解】〔1〕由x＋ky－3＝0得，〔x－3〕＋ky＝0，所以直線過定點〔3，0〕，即F〔3，0〕．設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝3,a＋c＝8,a2＝b2＋c2，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4，,c＝3.))故所求橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.〔2〕因為點P〔m，n〕在橢圓C上運動，所以eq\f(m2,25)＋eq\f(n2,16)＝1.從而圓心O到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\f(1,\r(m2＋16(1－\f(1,25)m2)))＝eq\f(1,\r(\f(9,25)m2＋16))＜1.所以直線l與圓O恒相交．直線l被圓O截得的弦長為L＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,m2＋n2))＝2eq\r(1－\f(1,\f(9,25)m2＋16))，由于0≤m2≤25，而L關于m2遞增，所以eq\f(\r(15),2)≤L≤eq\f(4\r(6),5)，即L∈[eq\f(\r(15),2)，eq\f(4\r(6),5)]，即直線l被圓O截得的弦長的取值圍是[eq\f(\r(15),2)，eq\f(4\r(6),5)]．【例6】〔高考題〕是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于點A、B的動點，且的最大面積為。〔1〕求橢圓C的方程?！?〕直線AP與橢圓在B點處的切線交于點D，當點P運動時，試判斷直線PF〔F為橢圓C的右焦點〕與以線段BD為直徑的圓的位置關系，證明你的結論?！?〕設橢圓C的右準線為，直線AP與準線交于點M，直線BM與橢圓C交于點Q，試判斷點B與以PQ為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論?！窘狻俊?〕橢圓C的方程為：。〔2〕由〔1〕得：。設直線AP的方程為：，那么有：。于是以BD為直徑的圓E的圓心為，半徑為。聯(lián)立，消去x，得：，由韋達定理得：，所以，從而有：，即。①假設，那么有，圓E的圓心為，半徑，顯然有直線PF與以BD為直徑的圓E相切。②假設，即，那么有，所以直線PF的方程為。于是圓心E到直線PF的距離為。所以直線PF與以BD為直徑的圓E相切。綜上，當點P運動時，直線PF與以BD為直徑的圓E相切?！?〕由〔1〕知：橢圓的右準線為，所以由〔2〕知：，又于是，，所以，所以為銳角，從而為鈍角，故點B在以PQ為直徑的圓的部?！咀ⅰ吭趫A錐曲線中判斷點與圓的位置關系，常采用向量法。【例7】〔2011三?！矨，B是橢圓的左，右頂點，，過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M，N，交直線于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列，R和Q是橢圓上的兩動點，R和Q的橫坐標之和為2，RQ的中垂線交x軸于T點?！?〕求橢圓C的方程；〔2〕求三角形MNT的面積的最大值【解】〔1〕由：b=2，設P〔4，〕，那么,又由：，即，從而。所以橢圓C的方程為〔2〕因為點Q、R在橢圓上，所以即，由，線段QR的中點坐標為，所以線段QR的中垂線方程為，，令，得：，所以RQ的中垂線交x軸的交點為設，，那么設直線，與橢圓聯(lián)立可得:令，那么函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以從而，故GBAD-3【例8】〔2011文22〕在平面直角坐標系中，橢圓.如下圖，斜率為且不過原點的直線交橢圓GBAD-3于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.〔1〕求的最小值；〔2〕假設?，①求證：直線過定點；②試問點B，能否關于軸對稱？假設能，求出此時的外接圓方程；假設不能，請說明理由.【解】〔1〕由題意:設直線,由消去y，得:,設A、B,AB的中點E,那么由韋達定理得:=,即,,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.〔2〕①由題意知：m>0，直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,易知：，，因為，所以有：,又由〔Ⅰ〕知:，所以，于是直線l的方程為,即有，所以直線l過定點〔-1，0〕.②假設點B，G能關于軸對稱。那么有。那么的外接圓的圓心在x軸上，又在線段AB的中垂線上,由〔i〕知：G，所以，B,又因為直線l過定點〔-1，0〕，所以直線l的斜率為，又因為，所以有：，解得，從而有，由于，所以k=1，m=1，E，從而AB的中垂線方程為2x+2y+1=0，所以外接圓的圓心為，G，圓的半徑為R=，所求圓的方程為.綜上所述,點B、G能關于軸對稱，此時的外接圓的方程為.【例9】〔2010理21〕如圖，橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于項點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為A、B和C、D.〔1〕求橢圓和雙曲線的標準方程；〔2〕設直線、的斜率分別為、，證明：；〔3〕是否存在常數(shù)，使得恒成立？假設存在，求的值；假設不存在，請說明理由.【解】〔1〕設橢圓的半焦距為，由題意知： 所以。又，因此 故橢圓的標準方程為 由題意設等軸雙曲線的標準方程為， 因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以 因此雙曲線的標準方程為〔2〕設，那么 因為點P在雙曲線上，所以。 因此。即?！?〕由于PF1的方程為，將其代入橢圓方程得 由違達定理得 所以 同理可得那么 又，所以 故 因此，存在，使恒成立?！纠?0】〔2012預測題原創(chuàng)題〕橢圓C：，過橢圓的右焦點F的直線與橢圓交于兩點〔不與左、右頂點重合〕，分別是橢圓C的左、右頂點，〔1〕證明：直線的交點在橢圓C的右準線l上?！?〕設橢圓C的右準線l與x軸交于點D，求的面積的最大值，并求出當面積最大時的正切值?！窘狻坑桑篎〔1，0〕，右準線l的方程為：設直線MN的方程為，且設，聯(lián)立，消去x，得：，那么有：，。〔1〕設直線與右準線l分別交于P、Q兩點，那么，。于是，所以，即點P與點Q重合。故直線的交點在橢圓右準線上?！?〕由：D〔2，0〕.。令，那么。函數(shù)在上單調遞增，所以，故。當面積最大時，t=1，即k=0，此時軸，所以.【例11】〔2009卷〕橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形〔記為Q〕.〔1〕求橢圓C的方程;〔2〕設點P是橢圓C的左準線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M、N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q〔包括邊界〕時，求直線的斜率k的取值圍?！窘狻俊?〕依題意，設橢圓C的方程為焦距為2c，由題設條件知，所以故橢圓C的方程為.〔2〕橢圓C的左準線方程為所以點P的坐標，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。如圖，設點M，N的坐標分別為線段MN的中點為G，聯(lián)立消去y得：.那么有解得.…………①又由韋達定理可得：，于是有：=，從而.因為，所以點G不可能在y軸的右邊，又直線，方程分別為所以點G在正方形Q〔包括邊界〕的充要條件為即亦即解得，此時①也成立.故k的取值圍是【例12】〔2009〕直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為B，點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS、BS與直線分別交于M、N兩點。〔1〕求橢圓的方程；〔2〕求線段MN的長度的最小值；〔3〕當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點T，使得的面積為？假設存在，確定點T的個數(shù)，假設不存在，說明理由?！窘狻俊?〕由得，橢圓的左頂點為上頂點為故橢圓C的方程為〔2〕直線AS的斜率k顯然存在，且k>0，故可設直線AS的方程為，從而聯(lián)立消去y得:0設那么得，從而即又由得:故又當且僅當，即時等號成立，時，|MN|取最小值〔3〕由〔Ⅱ〕可知，當|MN|取最小值時，此時BS的方程為要使橢圓C上存在點T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上。設直線那么由解得或即直線l：或。聯(lián)立，因為，所以直線與橢圓有兩個交點。聯(lián)立，因為，所以直線與橢圓沒有交點。綜上，滿足條件的點T存在，且有兩個?！纠?3】〔2010T20〕雙曲線的左、右分別為，點是雙曲線上兩個不同的動點。〔1〕求直線與直線的交點E的軌跡方程?！?〕假設過點H〔0，h〕〔h>1〕的兩條直線與〔1〕中的軌跡都只有一個交點，且，求h的值。【解】〔1〕由：，設E〔x，y〕直線的方程為：直線的方程為：得：。由：，即，故有：。因為是雙曲線上兩個不同的動點，所以不與雙曲線的左右頂點重合，所以，又當x=0時，直線與直線分別與雙曲線的兩條漸近線平行，此時P、Q不可能在雙曲線上，所以。故E點的軌跡方程為〔，〕〔2〕設直線的方程分別為〔h>1〕因為，所以。當直線與點E的軌跡都只有一個交點時，直線的位置有以下3種情況：①直線都與橢圓相切：聯(lián)立，于是有，同理可得：。因為，所以，又h>1，故求得：。②直線中有一條與橢圓相切，有一條經(jīng)過左〔右〕頂點：不妨設直線與橢圓相切，直線過右頂點，那么有，，因為，所以，又h>1，故求得：。③直線分別經(jīng)過左、右頂點：那么有，。于是有，又h>1，故求得：。綜上，滿足條件的h的值為：或或。【例14】〔全國高考題〕如圖，是拋物線上兩個動點，且〔為常數(shù)〕，求以下兩種情況下線段的中點到軸的最短距離【解】設直線的方程為：，且設那么到軸的距離，聯(lián)立消去，得:那么有，從而所以求得：。所以令，那么〔1〕當時，.當且僅當時取等號，所以〔2〕當時，函數(shù)在上遞增，所以當，即時，取得最小值且、【例15】直線l過拋物線的焦點F，交拋物線與A,，B兩點，C是拋物線的準線上任一點〔1〕證明：不可能為鈍角〔2〕是否存在這樣的點C，使得為正三角形？假設存在，求點C的坐標，假設不存在，說明理由?！窘狻俊?〕設直線AB的方程為，且設，聯(lián)立，消去x得：。于是有：，從而有：，易知，所以。又，即方程有兩個不等實根，所以不重合，故為銳角或直角，不可能為鈍角?！玖碜C】由拋物線的性質可知：以焦點弦AB為直徑的圓一定和拋物線的準線相切，而點C為準線上任一點，所以點C在圓外或圓上，故為銳角或直角，不可能為鈍角。〔2〕假設拋物線的準線上存在點，使得為正三角形。取AB的中點D，那么，且。由〔1〕可得：，從而，由得：，即，所以。于是，易知。由得：，所以。故拋物線的準線上存在點，使得為正三角形【例16】〕〔2011年市高三第2次模擬考試〕〔1〕動點到點與到直線的距離相等，求點P的軌跡L的方程；〔2〕假設正方形ABCD的三個頂點，，()在〔1〕中的曲線L上，設直線BC的斜率為k，，求關于k的函數(shù)解析式；〔3〕求〔2〕中正方形ABCD的面積S的最小值．【解】〔1〕由題設可得動點P的軌跡方程為．〔2〕由〔1〕，可設直線BC的方程為：，聯(lián)立消去y得：易知、為該方程的兩個根，故有，得，從而得：，類似地，可設直線AB的方程為：，從而得，由，得，解得：：所以〔3〕由〔2〕得：，由根本不等式得：，當且僅當k=1時上述兩式等號均成立所以，僅當k=1時取等號。故，即當k=1時，l取得最小值。故S的最小值為32，【例17】〔2012年威海一?！硻E圓〔0＜b＜2〕的離心率等于拋物線〔p＞0〕的焦點F在橢圓部，且到短軸端點的距離為?！?〕寫出橢圓和拋物線的方程；〔2〕在拋物線上是否存在點P，使得過點P的切線與橢圓相交于A，B兩點，且滿足？假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由.【解】〔1〕〔2〕假設在拋物線上存在點P滿足條件。設過點P的拋物線的切線方程為，且設，聯(lián)立，消去y，得：，那么有：，又由韋達定理得：從而。因為，所以，即，從而得：。聯(lián)立，消去y，得：因為直線與拋物線相切，所以，即。由②④可求得：，代入①檢驗，符合。代入③，求得切點P的坐標為。故在拋物線上存在點P滿足條件，且點P的坐標為?！纠?8】〔2012實驗中學〕橢圓的長軸長為4，離心率為；一動圓經(jīng)過橢圓的右焦點，且與直線相切，記動圓圓心的軌跡為。〔1〕分別求曲線、的方程。〔2〕曲線上有兩動點P、Q，曲線上有兩動點M、N，滿足、〔為正實數(shù)〕，且，求四邊形的面積的最小值?！窘狻俊?〕，。〔2〕由：直線MN和直線PQ都經(jīng)過橢圓的右焦點，且直線MN和直線PQ互相垂直。易知直線PQ不可能與x軸垂直，即直線MN不可能與x軸重合。設直線PQ的方程為，那么直線MN的方程為。聯(lián)立，消去y，得：，設，那么，于是。聯(lián)立，消去x，得：，設，那么，從而，于是。所以.令，那么。因為函數(shù)在上單調遞增，所以當x=3時，y取得最小值，且，故.即四邊形的面積的最小值為8.【例17】拋物線D以雙曲線C:的上焦點F〔0，c〕為焦點.〔1〕求拋物線D的標準方程〔2〕過直線l:上的動點P作拋物線兩條切線，切點為A、B，求證：直線AB過定點Q，并求點Q的坐標*〔3〕在〔2〕的條件下，假設直線PQ交拋物線D于M，N兩點，求證：|PM||QN|=|QM|||PN|。【解】〔1〕。〔2〕設，由得：，所以。于是，。所以切線AP的方程為，即，同理切線BP的方程為。由得：，即。因為點P在直線上，所以。易知：，所以直線AB的方程為，即，亦即。令，那么直線AB的方程可表示為，顯然直線AB過定點?！?〕設，那么直線PQ的方程為：，聯(lián)立，消去y得：。設，那么有，。|PM||QN|=|QM|||PN|而，，只需證。事實上，。所以|PM||QN|=|QM|||PN|。【注】在解析幾何問題中，對于同一直線上兩條線段的比，通常用端點坐標之差的絕對值的比來表示?！纠?9】〔2011高考理22〕動直線與橢圓：交于兩不同點，且的面積，其中為坐標原點．〔1〕證明：和均為定值；〔2〕設線段的中點為，求的最大值；〔3〕橢圓上是否存在三點，使得？假設存在，判斷的形狀；假設不存在，請說明理由．【解】〔1〕當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，那么，由在橢圓上，那么，而，那么，于是，.當直線的斜率存在，設直線為，代入可得，即，那么，即，又由韋達定理，可得：于是又有：，所以那么，滿足，，綜上可知.〔2〕當直線的斜率不存在時，由〔Ⅰ〕知當直線的斜率存在時，由〔Ⅰ〕知，，即所以又所以，當且僅當，即時等號成立，綜上可知的最大值為?！?〕假設橢圓上存在三點，使得，由〔Ⅰ〕知：，.解得。因此只能從中選取，只能從中選取，因此只能從中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有一個過原點，這與相矛盾故橢圓上不存在三點，使得?！緦ｎ}演練之根本訓練題】1．橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是〔〕A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．拋物線2．設F1、F2為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值等于〔〕A．0B．2C．4D．－23．〔2009年高考卷〕橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.假設eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，那么橢圓的離心率是〔〕A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)4．〔2010年模擬〕F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，過F1且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，假設△ABF2為鈍角三角形，那么橢圓C的離心率e的取值圍為〔〕A．(0，eq\r(2)－1)B．(0，eq\r(3)－1)C．(eq\r(2)－1,1)D．(eq\r(3)－1,1)5.B1、B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，假設|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，那么eq\f(|PF1|,|OB2|)的值是〔〕A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),3)6．〔2009年高考全國卷Ⅱ〕雙曲線eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的漸近線與圓〔x－3〕2＋y2＝r2〔r＞0〕相切，那么r＝〔〕A.eq\r(3)B．2C．3D．67．〔2009年高考卷〕設F1和F2為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，假設F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三個頂點，那么雙曲線的離心率為〔〕A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．38．設P是雙曲線eq\f(x2,22)－eq\f(y2,b2)＝1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點．假設|PF1|＝3，那么|PF2|等于〔〕A．1或5B．6C．7D．99.〔2009年高考卷〕設橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26，假設曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，那么曲線C2的標準方程為〔〕A.eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,52)＝1C.eq\f(x2,32)－eq\f(y2,42)＝1D.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,122)＝110．過雙曲線M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左頂點A作斜率為1的直線l，假設l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B、C，且|AB|＝|BC|，那么雙曲線M的離心率是〔〕A.eq\r(10)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(10),3)D.eq\f(\r(5),2)11．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，那么點M的縱坐標是〔〕A.eq\f(17,16)B.eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．012．〔2009年高考卷〕假設點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，那么點P的軌跡為〔〕A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線13．拋物線y2＝4x的焦點為F，過F且傾斜角等于eq\f(π,3)的直線與拋物線在x軸上方的曲線交于點A，那么AF的長為〔〕A．2B．4C．6D．814．如圖過拋物線y2＝2px〔p＞0〕的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，假設|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么拋物線的方程為〔〕A．y2＝eq\f(3,2)xB．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)xD．y2＝3x15．直線l過拋物線C：y2＝2px〔p＞0〕的焦點F，且交拋物線C于A，B兩點，分別從A，B兩點向拋物線的準線引垂線，垂足分別為A1，B1，那么∠A1FB1是〔〕A．銳角B．直角C．鈍角D．直角或鈍角16．F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右兩焦點，P為橢圓的一個頂點，假設△PF1F2是等邊三角形，那么a2＝________.17．正方形ABCD，那么以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為________．18．〔2009年高考卷〕橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，假設|PF1|＝4，那么|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________．19．〔2010年高考卷〕過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a＞0，b＞0〕的一個焦點作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點分別為A、B.假設∠AOB＝120°(O是坐標原點)，那么雙曲線C的離心率為________．20．〔2009年高考、卷〕設雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，那么△AFB的面積為________．21.〔2008年高考卷〕過拋物線x2＝2py〔p>0〕的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸左側)，那么eq\f(|AF|,|FB|)＝________.【答案】：1.A2.D3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.A10.A11.B12.D13.B14.D15.B16.12;17.eq\r(2)－1;18.2、120°；19.2；20.eq\f(32,15)；21.eq\f(1,3)【專題演練之綜合訓練題】【E1】橢圓C:的離心率e=，左,右焦點為，拋物線的焦點恰好是橢圓的一個頂點〔1〕求橢圓C的方程〔2〕假設斜率為k的直線l與x軸交于點A〔2，0〕，與橢圓C交于兩點M，N，證明：〔3〕在〔2〕的條件下，求的面積的最大值【解】〔1〕C：〔2〕設直線l的方程為，其中。設，聯(lián)立，消去x得：那么有：又由韋達定理得：，易知，所以，，因為，即，所以直線與的傾斜角互補，故?！?〕由，。令，那么。當且僅當，即時取等號，所以的最大面積為?！綞2】在平面直角坐標系中，的兩個頂點的坐標為A，B〔1，0〕，平面的兩點G，M同時滿足①,②,③〔1〕求的頂點C的軌跡E的方程；〔2〕過點D〔3，0〕的直線l與〔1〕中的軌跡E交于P、Q兩點，求的取值圍；〔3〕在〔2〕的條件下，求的最大面積?！窘狻俊?〕由條件①、②可得：G、M兩點分別是的重心和外心。設，那么，又由③可知：。因為，所以，化簡的：。此即為點C的軌跡方程?！?〕設直線l的方程為，且設，聯(lián)立，消去x，得：，那么有，又由韋達定理得：。易知，，所以，又因為，所以，于是。故的取值圍為?！?〕。令，那么。當且僅當，即時取等號。所以的最大面積為?！綞3】設橢圓：的焦點分別為、，拋物線C:的準線與軸的交點為A，且．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點〔如圖〕，求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．【解】〔1〕由題意，.拋物線:的準線為，所以點A的坐標為.，為的中點.，，即橢圓方程為.〔2〕