山東省高考理科數(shù)試卷解析

2013年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）（2013?山東）復(fù)數(shù)z滿足（z﹣3）（2﹣i）=5（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z，即可求得z的共軛復(fù)數(shù)．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2013?山東）已知集合A={0，1，2}，則集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是（）A．1B．3C．5D．9考點(diǎn)：集合中元素個(gè)數(shù)的最值．專題：計(jì)算題．分析：依題意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，從而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當(dāng)x=0，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當(dāng)x=1，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當(dāng)x=2，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè)．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查集合中元素個(gè)數(shù)的最值，理解題意是關(guān)鍵，考查分析運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（5分）（2013?山東）已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，則f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2013?山東）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與平面所成的角．專題：空間角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，即為∠APA1為PA與平面ABC所成角．利用三棱錐的體積計(jì)算公式可得AA1，再利用正三角形的性質(zhì)可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如圖所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P為底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故選B．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三棱柱的性質(zhì)、體積計(jì)算公式、正三角形的性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．5．（5分）（2013?山東）函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能的值為（）A．B．C．0D．考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．12．（5分）（2013?山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A．0B．1C．D．3考點(diǎn)：基本不等式．專題：計(jì)算題；壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：依題意，當(dāng)取得最大值時(shí)x=2y，代入所求關(guān)系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，∴==≤=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=”），∴=1，此時(shí)，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值為1．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，由取得最大值時(shí)得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．二、填空題13．（4分）（2013?山東）執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的?值為0.25，則輸出的n值為3．考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出n的值．解答：解：循環(huán)前，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=2，n=1，第一次循環(huán)，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=3，n=2，第二次循環(huán)，F(xiàn)0=2，F(xiàn)1=4，n=3，此時(shí)，滿足條件，退出循環(huán)，輸出n=3，故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直到循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫(xiě)程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于基礎(chǔ)題．14．（4分）（2013?山東）在區(qū)間[﹣3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為．考點(diǎn)：幾何概型；絕對(duì)值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：本題利用幾何概型求概率．先解絕對(duì)值不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間[﹣3，3]的長(zhǎng)度求比值即得．解答：解：利用幾何概型，其測(cè)度為線段的長(zhǎng)度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1可得①，或②，③．解①可得x∈?，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集為{x|x≥1}，∴|在區(qū)間[﹣3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為P==．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．15．（4分）（2013?山東）已知向量與的夾角為120°，且，．若，且，則實(shí)數(shù)λ=．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的模．專題：計(jì)算題；壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用，，表示向量，通過(guò)數(shù)量積為0，求出λ的值即可．解答：解：由題意可知：，因?yàn)椋?，所?==﹣12λ+7=0解得λ=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直，考查轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)與計(jì)算能力．16．（4分）（2013?山東）定義“正數(shù)對(duì)”：ln+x=，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，則；④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有①③④（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：綜合題；壓軸題；新定義．分析：由題意，根據(jù)所給的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對(duì)a，b分類討論，判斷出每個(gè)命題的真假解答：解：對(duì)于①，由定義，當(dāng)a≥1時(shí)，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有l(wèi)n+（ab）=bln+a；當(dāng)a＜1時(shí)，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1時(shí)bln+a=0，所以此時(shí)亦有l(wèi)n+（ab）=bln+a．由上判斷知①正確；對(duì)于②，此命題不成立，可令a=2，b=，則ab=，由定義ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)a≥b＞0時(shí)，≥1，此時(shí)≥0，當(dāng)a≥b≥1時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此時(shí)命題成立；當(dāng)a＞1＞b時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna，此時(shí)，故命題成立；同理可驗(yàn)證當(dāng)1＞a≥b＞0時(shí)，成立；當(dāng)＜1時(shí)，同理可驗(yàn)證是正確的，故③正確；對(duì)于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個(gè)小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據(jù)定義判斷出④是正確的故答案為①③④點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，理解定義所給的運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強(qiáng)，探究性強(qiáng)．易因?yàn)槔斫獠磺宥x及忘記分類討論的方法解題導(dǎo)致無(wú)法入手致錯(cuò)三、解答題17．（12分）（2013?山東）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．考點(diǎn)：余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．專題：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)于新，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯(lián)立即可求出a與c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進(jìn)而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．解答：解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，聯(lián)立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B為三角形的內(nèi)角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A為銳角，∴cosA==，則sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．18．（12分）（2013?山東）如圖所示，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì)．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）由給出的D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，利用三角形中位線知識(shí)及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質(zhì)得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出BA、BQ、BP的長(zhǎng)度，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出一些向量的坐標(biāo)，利用二面角的兩個(gè)面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．解答：（1）證明：如圖，∵C，D為AQ，BQ的中點(diǎn)，∴CD∥AB，又E，F(xiàn)分別AP，BP的中點(diǎn)，∴EF∥AB，則EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；（2）由AQ=2BD，D為AQ的中點(diǎn)可得，三角形ABQ為直角三角形，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BP=BQ=2，則D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F(xiàn)（0，0，1），因?yàn)镠為三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．則，，．設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為由，得，取z1=1，得y1=2．所以．設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．則二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了計(jì)算能力，解答此題的關(guān)鍵是正確求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，是中檔題．19．（12分）（2013?山東）甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．解答：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20．（12分）（2013?山東）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n且（λ為常數(shù)）．令cn=b2n（n∈N※）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知條件列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出首項(xiàng)和公差后可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）把{an}的通項(xiàng)公式代入，求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，然后由cn=b2n得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②聯(lián)立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a(bǔ)n=2n﹣1代入，得，則．所以b1=T1=λ﹣1，當(dāng)n≥2時(shí)，=．所以，．Rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：=所以；所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的求和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．21．（13分）（2013?山東）設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；（2）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個(gè)數(shù)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與最值；（2）分類討論：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②當(dāng)x≥1時(shí)，令v（x）=lnx﹣．利用導(dǎo)數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結(jié)論．解答：解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函數(shù)y=|lnx|，當(dāng)x＞0時(shí)的值域?yàn)閇0，+∞）．如圖所示：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），則=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，則h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞減．∴c．②當(dāng)x≥1時(shí)，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），則=＞0，故m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴c≥m（1）=．綜上①②可知：當(dāng)時(shí)，方程|lnx|=f（x）無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程|lnx|=f（x）有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程|lnx|=f（x）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力及其化歸思想方法．22．（13分）（2013?山東）橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為