第三章 導(dǎo)數(shù)與微分(外)

§3.1

引出導(dǎo)數(shù)概念的例題§3.2導(dǎo)數(shù)的概念§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1引出導(dǎo)數(shù)概念的例題(一)變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)速度的關(guān)系為設(shè)一物體作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)的路程和時(shí)間求該物體在某一時(shí)刻的瞬為此,讓時(shí)間由

變化到其平均速度為:

此平均速度可以作為物體在t0時(shí)刻的速度的近似值

t越小

近似的程度就越好

(二)

曲線的切線的斜率因此,當(dāng)

t

0時(shí)

極限就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0

y0)處的切線的斜率

在曲線上另取一點(diǎn)Q(x0+

x

y0+

y)

作割線PQ

設(shè)其傾角為觀察切線的形成

演示

當(dāng)

x

0時(shí)

動(dòng)點(diǎn)Q將沿曲線趨向于定點(diǎn)P

從而割線PQ也將隨之變動(dòng)而趨向于切線PT

此時(shí)割線PQ的斜率趨向于切線PT的斜率

上面兩個(gè)例子的實(shí)際意義完全不同，但從抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)看，其實(shí)質(zhì)是一樣的，都是函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比，當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)的極限，數(shù)學(xué)上把這種極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．即如果極限§3.2導(dǎo)數(shù)的定義(一)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義3.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，存在，

即如果令如果上述極限不存在,則稱該函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).又可以表示為則在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，其極限導(dǎo)數(shù)的其它定義式:導(dǎo)數(shù)的定義式:有了導(dǎo)數(shù)的概念后，前面兩個(gè)問(wèn)題便可敘述為:

由導(dǎo)數(shù)定義可得求導(dǎo)數(shù)的步驟:（3）求極限:（2）計(jì)算比值:（1）求函數(shù)的改變量:就是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即（2）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率導(dǎo)數(shù)即速度

就是路程函數(shù)在處的（1）作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)刻的瞬時(shí)

例1

求函數(shù)f(x)=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

解

..導(dǎo)數(shù)的定義式:或

定義3.2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值

則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)

記作提問(wèn):1.導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫?

(二)

導(dǎo)函數(shù)的定義答2.f

(x0)與f

(x)是什么關(guān)系?就是其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值,即函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答:例2設(shè)求解:由此可見(jiàn)(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線方程為:即

這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．程為:因此，曲線在點(diǎn)處的切線方在點(diǎn)處的切線斜率函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線

其中

例3

求曲線f(x)=x2在點(diǎn)x=2處的切線方程.解:由例1得切線的斜率因此切線方程為:即法線方程為:即從而,法線的斜率為:練習(xí):求曲線f(x)=x3在點(diǎn)x=1處的切線方程.(四)

左右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:

函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性:應(yīng)注意的問(wèn)題:

這個(gè)結(jié)論的逆命題不成立

即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(五)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理3.1如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

則它在點(diǎn)x0處必連續(xù)

x0處連續(xù)

但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo)

結(jié)論:1.可導(dǎo)一定連續(xù)

2.不連續(xù)一定不可導(dǎo)

3.連續(xù)不一定可導(dǎo)

右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)顯然兩者不相等,因?yàn)?如函數(shù)連續(xù)，但不可導(dǎo)．所以不存在(見(jiàn)圖).解:又例4設(shè)所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.

1．常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即例如:§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則2.冪函數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:的導(dǎo)數(shù):練習(xí):3．正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù):余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù):特別地，當(dāng)時(shí)，有

4．對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例:5．指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):特別地，當(dāng)時(shí)，有例:

(二)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則1．代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)

注1:該法則可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形.解:例1設(shè)求且則也是的可導(dǎo)函數(shù)，如果都是的可導(dǎo)函數(shù)，

注2:該法則可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)乘積的情形.如:2．乘積的導(dǎo)數(shù)則也是的可導(dǎo)函數(shù)，且特別地，當(dāng)時(shí)，則有如果都是的可導(dǎo)函數(shù)，解:例2

設(shè)求

3．商的導(dǎo)數(shù)且例3設(shè)求如果都是的可導(dǎo)函數(shù)，則也是的可導(dǎo)函數(shù)，且解:解:例4

設(shè)

求即同樣方法可以求出解:．

例5

設(shè)

求(三)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或

注1:這個(gè)公式可以推廣到兩個(gè)以上函數(shù)復(fù)合的情形．么復(fù)合函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo),而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，定理3.2如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那且有例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).顯然是由解:顯然是由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的,因此三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的,因此

注2:對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，在運(yùn)用公式熟練之后，計(jì)算時(shí)就不必寫出中間變量了．解:把該函數(shù)先看作以下兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的:再把看作以下兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的:例2

求的導(dǎo)數(shù)．解:例3

求的導(dǎo)數(shù).顯函數(shù)與隱函數(shù)

形如y

f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是顯函數(shù)

由方程F(x

y)

0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)

例如

方程x

y3

1

0確定的隱函數(shù)為(四)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有些隱函數(shù)不能化成顯函數(shù),例如由直接由方程求出其導(dǎo)數(shù)的方法.現(xiàn)在,介紹一種不用將隱函數(shù)化為顯函數(shù)就可以確定的隱函數(shù).隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：解之得

解：方程求導(dǎo)數(shù)，的兩邊同時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù).例1求由方程所確定的隱函數(shù)得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).及和的一個(gè)方程從中解出即在求導(dǎo)過(guò)程中，把看成的函數(shù)，可得到包含將方程兩邊逐項(xiàng)對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，即得提示:

解之得

練習(xí):求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及y

|x=0

解:方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得因?yàn)楫?dāng)x

0時(shí)

從原方程得y

1

所以即(五)反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.3

如果函數(shù)x

f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f

(y)

0

那么它的反函數(shù)y

f

1(x)也可導(dǎo)

并且

例1

證明(arcsinx)

證:

因?yàn)閥=arcsinx是x=siny的反函數(shù)

所以

例2證明(arctanx)

證:

因?yàn)閥=arctanx是x=tany的反函數(shù)

所以反函數(shù)的求導(dǎo)公式:

練習(xí):求

y=2x·arctanx的導(dǎo)數(shù).

方程兩邊先同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然后將取了對(duì)數(shù)的結(jié)果利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行充分化簡(jiǎn),最后將化簡(jiǎn)后的結(jié)果看作隱函數(shù),應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出其導(dǎo)數(shù)．(六)取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

解:函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),得構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的求導(dǎo)．用法:常用于幾個(gè)因式通過(guò)乘、除、開(kāi)方所例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

注:即即有另解:兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得即(即轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù))(即轉(zhuǎn)化為隱函數(shù))于是

即上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得例2

求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

兩邊取自然對(duì)數(shù)并化簡(jiǎn)，得特別地，當(dāng)時(shí)，有同理,冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:于是

例3

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得兩邊取自然對(duì)數(shù)，得化簡(jiǎn),得(七)

由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)x

j(t)具有反函數(shù)t

j-1(x)

且t

j-1(x)與y

y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可導(dǎo)

則例1求圓在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線方程.解:所求切線方程的斜率為切點(diǎn)的坐標(biāo)為切線方程為(七)基本導(dǎo)數(shù)公式(7)(8)(3)(4)(1)(2)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(為常數(shù))

(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)

2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(八)綜合舉例:例1設(shè)求解:解:例2設(shè)求例3由求解:例4設(shè)解:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),不存在.

習(xí)題3-32．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處在點(diǎn)處(1)(2)(3)(4)4．求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(7)(8)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(1)(2)(1)(2)5．求下列方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：7．求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．§3.4高階導(dǎo)數(shù)或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)．函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)．相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

,記作如果導(dǎo)函數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱數(shù)，記作類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù).一般地函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的階導(dǎo)解:例1

求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．三階導(dǎo)數(shù):解:因?yàn)樗岳?

求的階導(dǎo)數(shù)．特別地,當(dāng)時(shí),有解:因?yàn)樗岳?

求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．例4

求正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx的n階導(dǎo)數(shù)

解

y

sinx

一般地

可得§3.5函數(shù)的微分

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時(shí)函數(shù)改變量的大?。@就需要引進(jìn)微分的概念．

一、微分的概念引例已知正方形的面積一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運(yùn)算法則四、微分的形式不變性五、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用其邊長(zhǎng)由變化到是邊長(zhǎng)的函數(shù)若正方形的面積改變的近似則面積相應(yīng)的改變量為:如圖中藍(lán)色部分區(qū)域即表示很微小時(shí),當(dāng)問(wèn)正方形的面積改變了多少?值是多少?當(dāng)邊長(zhǎng)由變化到可以把分成兩部分:近似地表示即因此,當(dāng)很少時(shí)，第二部分:(圖中深的線性函數(shù)(圖中淺藍(lán)部分)，第一部分:是時(shí)，當(dāng)藍(lán)部分)，是比較高階的無(wú)窮小量,可用

設(shè)函數(shù)y

f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義

x0及x0

Dx在這區(qū)間內(nèi)

如果函數(shù)的增量Dy

f(x0

Dx)

f(x0)可表示為Dy

ADx

o(Dx)

其中A是不依賴于Dx的常數(shù)

o(Dx)是比Dx高階的無(wú)窮小

那么稱函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0是可微的

而ADx叫做函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分

記作dy

即dy

ADx

微分的定義

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是dy

f

(x0)Dx

可微與可導(dǎo)的關(guān)系:y

f(x)在點(diǎn)x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

這是因?yàn)?/p>

一方面

另一方面其中a

0(當(dāng)Dx

0)

且A=f(x0)是常數(shù)

aDx

o(Dx)

,

函數(shù)y

f(x)在任意點(diǎn)x的微分

稱為函數(shù)的微分

記作dy

或df(x)

即dy

f

(x)Dx

例如

dcosx

(cosx)

Dx

dex

(e

x)

Dx

自變量的微分

因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)

dy=dx=(x)

Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分

記作dx

即

dx

Dx

因此

函數(shù)y

f(x)的微分又可記作

dy

f

(x)dx

exDx

sinx

Dx

例1求下列函數(shù)的微分解:(1)因?yàn)樗钥梢?jiàn),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的微分的商,因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商.的關(guān)系.它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間到注:對(duì)兩邊同時(shí)除以得解:解之得故并把看作的函數(shù),得(2)

方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),例2

已知求及二、微分的幾何意義當(dāng)x從x0變到x0+Dx時(shí)

Dy是曲線上點(diǎn)M的縱坐所以dy是過(guò)點(diǎn)(x0

f(x0))的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)

當(dāng)|Dx|很小時(shí)

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在點(diǎn)M的鄰近

我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段

標(biāo)的增量;而的增量.同時(shí)有

根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積，所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運(yùn)算法則．

（9）

三、微分的基本公式與運(yùn)算法則d(x

)

x

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(x

)

x

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(ex)

ex微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

1.基本初等函數(shù)的微分公式

三、微分的基本公式與運(yùn)算法則微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則

公式d(u

v)

vdu

udv

的證明

因?yàn)閐(uv)

(u

v

uv

)dx

u

vdx

uv

dx

而u

dx

du

v

dx

dv

所以d(uv)

vdu

udv

(u

v)

u

v

(Cu)

Cu

(u

v)

u

v

uv

d(u

v)

du

dvd(Cu)

Cdu

d(u

v)

vdu

udv求導(dǎo)法則

微分法則

四、微分形式的不變性其微分為:設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)是自變量時(shí)，代入上式得而函數(shù)的微分則為復(fù)合函數(shù),且若其微分為為微分形式的不變性．這一性質(zhì)稱其微分的形式均保持不變．的函數(shù)，是自變量還是其它變量由此可見(jiàn)，無(wú)論例3

求解:解:

對(duì)方程兩邊求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分．例4

求由方程所確定的隱函數(shù)五、微分在近似計(jì)算方面的應(yīng)用可以用該式計(jì)算函數(shù)增量的近似值.

又因?yàn)樗越乒接挚蓪懽?/p>

即由微分的定義知，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式:該式可以用來(lái)計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)附近的近似值．若分別令在中,取時(shí),上式又變?yōu)?則會(huì)得到以下近似計(jì)算公式(當(dāng)比較小時(shí)成立):解:令解:由例7求的近似值.例6求的近似值.代入上述公式(5)中,得得例8求的近似值.解:由于角度較大,所以不能使用公式可令習(xí)題3－41．已知函數(shù),當(dāng)，求，．2．求下列函數(shù)的微分：3．求下列函數(shù)的近似值：時(shí)間路程欲求時(shí)刻的瞬時(shí)速度可見(jiàn)這一小段的路程為因此,這一小段時(shí)間內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的平均速度為已知路程和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系物體作變速直線運(yùn)動(dòng)示意圖從而得到小球在點(diǎn)的瞬時(shí)速度為結(jié)論演示先讓時(shí)間發(fā)生微小的改變,即從變化到已走過(guò)路程為已走過(guò)路程為先讓時(shí)間發(fā)生微小的改變,即從變化到運(yùn)動(dòng)方向解因此切線方程為，即

法線方程為

即五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2.1如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在處必連續(xù)．證明因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則存在所以有即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．

注意:這個(gè)定理的逆命題不一定成立．即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，不是充分條件．如函數(shù)