高考數(shù)學藝體生文化課第八章立體幾何第5節(jié)空間中的垂直關系課件

第八章

立體幾何第5節(jié)空間中的垂直關系知識梳理1.線面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.數(shù)學符號表示:2.線面垂直的性質定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.數(shù)學符號表示:3.面面垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.數(shù)學符號表示:4.面面垂直的性質定理:兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.數(shù)學符號表示:精選例題【例1】

(2015福建)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,PO垂直于圓O所在的平面,若D為線段AC的中點,求證:AC⊥平面PDO.【證明】因為O為圓心,∴OA=OC,∵D為線段AC的中點,∴OD⊥AC,∵PO垂直于圓O所在的平面,∴AC⊥PO,∵OD∩PO=O,∴AC⊥平面PDO.【例2】

(2010新課標卷)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.證明:平面PAC⊥平面PBD.【證明】∵PH是四棱錐P-ABCD的高.∴AC⊥PH,又∵AC⊥BD,PH?面PBD,BD?面PBD,且PH∩BD=H.∴AC⊥平面PBD.∵AC?平面PAC.∴平面PAC⊥平面PBD.專題訓練1.(2015汕頭)正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE.求證:AB⊥平面ADE.【證明】∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,∴AE⊥CD.在正方形ABCD中,CD⊥AD,∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADE.2.(2019北京,文)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE.【證明】(1)因為PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC．又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．(2)因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．又AB∥CD，所以AB⊥AE．又PA?平面PAB,AB?平面PAB,PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB．又AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．3.(2019新課標Ⅲ卷,文)圖(1)是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖(2).證明圖(2)中的A,C,G,D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE.【證明】由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個平面，從而A,C,G,D四點共面。由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC=B，故AB⊥平面BCGE．又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.4.(2015湖南,文)如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點.證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;【證明】∵△ABC為正三角形,E為BC中點,∴AE⊥BC,又∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,而AE?平面ABC,∴AE⊥CC1,而CC1∩BC=C,∴AE⊥平面B1BCC1.∵AE?平面AEF,∴平面AEF⊥平面B1BCC1.【證明】

(1)∵三棱柱的側面是正方形,∴CC1⊥BC,CC1⊥AC,BC∩AC=C.∴CC1⊥底面ABC.∵BD?底面ABC,∴CC1⊥BD.由已知可得,底面ABC為正三角形.∵D是AC中點,∴BD⊥AC.∵AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.(2)如圖,連接B1C交BC1于點O,連接OD.顯然點O為B1C的中點.又D是AC中點,∴AB1∥OD.又∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,∴直線AB1∥平面BC1D.6.(2015陜西,文)如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=AB=BC=AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點,將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置,得到四棱錐A1—BCDE.證明:CD⊥平面A1OC.7.(2018北京)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.(1)求證:PE⊥BC;【證明】

(1)∵PA=PD,且E為AD的中點,∴PE⊥AD.∵底面ABCD為矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.7.(2018北京)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.(2)求證:平面PAB⊥平面PCD;(2)∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,∵PD