統(tǒng)計(jì)學(xué)第9章 列聯(lián)分析

第9章列聯(lián)分析9.1分類數(shù)據(jù)與列聯(lián)表例：某集團(tuán)公司下屬四個(gè)分公司?，F(xiàn)該集團(tuán)欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，由于涉及到各分公司的利益，希望對(duì)各分公司職工的態(tài)度有所了解。所以從四個(gè)分公司中隨機(jī)選取420名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示：關(guān)于改革方法的調(diào)查結(jié)果分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成該方案68755779279反對(duì)該方案32453331141合計(jì)100120901104209.1.1列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表：是由兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表每個(gè)單元：反應(yīng)兩方面的信息行R:態(tài)度變量行合計(jì)：RT列C:單位變量列合計(jì)：CTRxC列聯(lián)表：2x4列聯(lián)表9.1.2列聯(lián)表的分布1觀察值的分布一分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)百分比贊成該方案68755779279279/420=0.664反對(duì)該方案32453331141141/420=0.336合計(jì)10012090110420總合計(jì)（樣本容量）：N百分比：RTN2期望值的分布分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成100x0?664=66120x0.664=8090x0.664=60110x0.664=73279反對(duì)100x0.336=34120x0.336=4090x0.336=30110x0.336=37141合計(jì)10012090110420期望值：無xC9.1.3觀察值與期望值頻數(shù)對(duì)比分布表分公司二分公司三分公司四分公司贊成觀察值68755779期望值66806073反對(duì)觀察值32453331期望值344030379.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)9.2.1思路：如果各分公司員工對(duì)改革方案的態(tài)度一致則各分公司員工贊成或反對(duì)該方案的比例應(yīng)該相同艮卩兀二兀二兀二兀1234其中“為第i個(gè)分公司贊成改革方案的比例i那么，對(duì)比分布表中相應(yīng)的觀察值與期望值就應(yīng)該非常接近

9.2.2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：設(shè)f為觀察值頻數(shù)0f為期望值頻數(shù)eX2=工?eX2=工?e29.2.3判斷準(zhǔn)則當(dāng)X2大于某臨界值時(shí)，拒絕態(tài)度一致的原假設(shè)一一右單側(cè)檢驗(yàn)即X2>X2時(shí)，拒絕原假設(shè)a自由度=(R-1)(C-1)完成上面的例題解：H:兀=兀=兀二兀各分公司員工對(duì)這項(xiàng)改革的態(tài)度一致01234H:上面等式不全相等各分公司員工對(duì)這項(xiàng)改革的態(tài)度不一致1X2計(jì)算表f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/.0e6866240.06063234-240.11767580-5250.312545405250.62505760-390300079736360.49323137-6360.9730e==14y（f-f）2X2〒e=3.0319e自由度=（r-i）（c-1）=3a=0.1,查表得：0.1由于3.0319<6.251，所以不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為四個(gè)分公司員工對(duì)這項(xiàng)改革的態(tài)度是一致的。例：從總體中隨機(jī)抽取n二200的樣本，調(diào)查后按不同屬性歸類，得到如下結(jié)果：n=2&n=56,n=4&n=36,n=3212345依據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，各類別在總體中的比例分別為：兀=0.1，兀=0.2,兀=0.3，兀=0.2,兀=0.212345請(qǐng)以a二0.1的顯著性水平檢驗(yàn)，說明現(xiàn)在的情況與經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比是否發(fā)生了顯著變化。沒有發(fā)生顯著變化發(fā)生了顯著變化解：沒有發(fā)生顯著變化發(fā)生了顯著變化H:兀=0.1，兀=0.2,兀=0.3，兀=0.2,兀=0.2TOC\o"1-5"\h\z012345H:上面等式不全相等1?二200x0.1二20，f二200x0.2二40，f二200x0.3二60，e1e2e3f二200x0.2二40，f二200x0.2二40，e4e5X2=工(f0-fe)2e(28-20e(28-20)2(56-40匕(48-601(36-40)2(32-40匕=++++2040604040自由度=5-1=4X2⑷二7.7790.1由于14>7.779，所以不能接受原假設(shè)，即認(rèn)為現(xiàn)在的情況與經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比已經(jīng)發(fā)生了顯著變化。9.3獨(dú)立性檢驗(yàn)適用：兩個(gè)分類變量之間是否存在聯(lián)系例：一種原料來自三個(gè)不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分為三個(gè)不同等級(jí)從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表所示一級(jí)二級(jí)三級(jí)合計(jì)甲地區(qū)526424140乙地區(qū)605952171丙地區(qū)506574189合計(jì)162188150500要求檢驗(yàn)各個(gè)地區(qū)與原料的質(zhì)量之間是否存在依賴關(guān)系解：H:地區(qū)與原料等級(jí)之間是獨(dú)立的(不存在依賴關(guān)系)0H:地區(qū)與原料等級(jí)之間是不獨(dú)立的(存在依賴關(guān)系)1期望值的計(jì)算：以52為例設(shè)人=樣本來自于甲地區(qū)則P(A)=140/500B=樣本屬于一級(jí)原料則P(B)=162/500

若地區(qū)與原料等級(jí)獨(dú)立，貝y有P（AB）=140X162500500即來自于甲地區(qū)又屬于一級(jí)品的原料頻數(shù)應(yīng)為500x出x162500500般化：f=Nx罟x…XCT檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：x檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：x2=工代入數(shù)據(jù)得：(f-f)(f-f)20e—f

e(一140x162Qc171X162\52—60—1500J1500丿2140x162500171x162+500189x150189x150、500a二0.05，查表得：X2(4)=9.4480.0574-???+'么=19.82189x150500自由度=（r-i）（c-1）=4由于19.82>9.448，所以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為這些原料的產(chǎn)地與等級(jí)之間存在依賴關(guān)系。比較：獨(dú)立性檢驗(yàn)與一致性檢驗(yàn)抽取樣本的方法不同一致性檢驗(yàn)：在各類別中分別抽取獨(dú)立性檢驗(yàn)：先抽取，再分類計(jì)算期望值的理論不同

9.4x2檢驗(yàn)的期望值準(zhǔn)則例：下表是某個(gè)應(yīng)用x2檢驗(yàn)問題的觀察值與期望值情況，“0.05,請(qǐng)檢驗(yàn)原假設(shè)是否成立類別A3032B110113C8687D2324E52F54G41合計(jì)263263解：H:擬合的好0H:擬合的不好1X2計(jì)算表類別f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/f0eeA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E52394.5F54110?25G41399合計(jì)263263X2二14?008自由度=7-1=6X2(6)二12.5920.05因?yàn)?4.008>12.592，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為數(shù)據(jù)擬合的不好X2檢驗(yàn)的期望值準(zhǔn)則如果只有兩個(gè)單元，每個(gè)單元的期望頻數(shù)必須是5或者5以上；如果有兩個(gè)以上單元，若20%的單元期望頻數(shù)小于5,則不能引用x2檢驗(yàn)。改進(jìn)方法：把期望頻數(shù)小于5的單元進(jìn)行合并。類別f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/f0eeA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E1477497合計(jì)263263X2=7.133自由度=5-1=4X2⑷二9.4480.05因?yàn)?.448>7.133，所以不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為數(shù)據(jù)擬合的好9.5列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量檢驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立的情況下，兩者的相關(guān)程度如何9.5.1申相關(guān)系數(shù)

其中，咒2(f-fe)2en：列聯(lián)表中的總頻數(shù)，樣本容量想法：兩個(gè)變量越獨(dú)立，則f與f越接近，申越接近于00e男女贊成24反對(duì)男女贊成24反對(duì)36獨(dú)立男女贊成010反對(duì)50完全相關(guān)男女贊成50反對(duì)010完全相關(guān)9=0，相互獨(dú)立9=1，完全相關(guān)(2x2)一般情況下，9e(0,1)，越接近于1相關(guān)性越強(qiáng)。局限性當(dāng)列聯(lián)表的行或列大于2時(shí)，隨著行或列的增加，9相關(guān)系數(shù)會(huì)隨之增加且沒有上限，對(duì)兩個(gè)變量相關(guān)程度的測(cè)量就不夠清晰了。所以適用于描述2x2列聯(lián)表最常用的一種相關(guān)系數(shù)9.5?2列聯(lián)相關(guān)系數(shù)——c相關(guān)系數(shù)說明：

c二0，相互獨(dú)立ce[o,l]c相關(guān)系數(shù)的可能最大值依賴于列聯(lián)表的行數(shù)與列數(shù)，且隨著行數(shù)或列數(shù)的增大而增大。所以行數(shù)、列數(shù)不相等的列聯(lián)表的c相關(guān)系數(shù)不能比較RxC兩個(gè)變量完全相關(guān)時(shí)的c相關(guān)系數(shù)x2x3x40.70710.81650.879.5.3V相關(guān)系數(shù)V=V=：-nxminin「（R-1）,（C-1）「e[0,1]=o,相互獨(dú)立