2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題30圓錐曲線求過定點大題100題教師版

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題30圓錐曲線求過定點大題100題1．已知橢圓C：.（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)分別為橢圓C的左右頂點,點P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點M,N.當(dāng)點P運動時,以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點？試證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和,證明見解析【分析】（1）先將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到,即可求出離心率.（2）根據(jù)橢圓方程求出,設(shè),則①,分別求出直線和的方程,再分別與相交于點和,設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點,則,即得②,將①代入②得解得或,得出為直徑的圓是過定點和.【詳解】解：（1）由得,那么所以解得,所以離心率（2）由題可知,設(shè),則①直線的方程：令,得,從而點坐標(biāo)為直線的方程：令,得,從而點坐標(biāo)為設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點,則由得②由①式得,代入②得解得或所以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和.2．已知橢圓：的短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）求過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線，被橢圓截得的弦長；（3）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】（1）橢圓的方程：（2）（3）見解析，【分析】（1）根據(jù)橢圓短軸長公式和離心率公式進行求解即可；（2）求出過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程，將與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合橢圓弦長公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可；（3）根據(jù)以為直徑的圓過橢圓的右頂點，可以得到向量的數(shù)量積為零，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)進行求解即可.【詳解】（1）因為橢圓：的短軸長為，離心率為，所以有且，而，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）因為，所以橢圓的右焦點坐標(biāo)為，因此過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程是，因此有因此設(shè)交點坐標(biāo)分別為，因此有，因此有,所以直線被橢圓截得的弦長為；（3）設(shè)，由題意可知，設(shè)橢圓右頂點的坐標(biāo)為：，因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以有，即.直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：因此，因此由可得：，化簡得：，或當(dāng)時，直線方程為該直線恒過點這與已知矛盾，故舍去；當(dāng)時，直線方程為該直線恒過點，綜上所述：直線過定點.3．如圖,已知橢圓的上頂點為,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于點(不同于點).當(dāng)變化時,試問直線是否過某個定點若是,求出該定點;若不是,請說明理由.【答案】(1)(2)過定點【分析】(1)橢圓的上頂點為,離心率為,可得,即可求得答案.(2)設(shè)切線方程為,則,即.設(shè)兩切線的斜率分別為,則是上述方程的兩根,根據(jù)韋達定理可得:,結(jié)合已知即可求得答案.【詳解】(1)橢圓的上頂點為,離心率為可得解得橢圓的方程為.(2)設(shè)切線方程為,則即設(shè)兩切線的斜率分別為,則是上述方程的兩根,根據(jù)韋達定理可得:由消掉得:設(shè)同理可得直線BD方程為令,得,故直線過定點.4．已知動點到定點的距離比它到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)點(為常數(shù))，過點作斜率分別為的兩條直線與，交曲線于兩點，交曲線于兩點，點分別是線段的中點，若，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）由題意可得，點到定點的距離等于它到的距離，從而點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，從而求出答案；（2）先寫出直線的點斜式方程，再聯(lián)立拋物線方程消元，得韋達定理結(jié)論，利用中點坐標(biāo)公式求出點，同理求出點，從而求出直線直線的斜率及直線方程，從而得出直線過定點．【詳解】解：（1）∵點到定點的距離比它到軸的距離大1，∴點到定點的距離等于它到的距離，∴點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，∴動點的軌跡的方程為（2）由題意，直線的方程為，設(shè)，由，得，∴，又線段的中點為，所以，同理，∴直線的斜率，∴直線的方程為：，即，∴直線過定點．5．已知F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，.（1）求拋物線的方程：（2）已知為拋物線上一點，M，N為拋物線上異于P的兩點，且滿足，試探究直線MN是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.【答案】（1）（2）過定點，【分析】(1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達定理即可求解出的值，即可求解出拋物線的方程；(2)求解出點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)求解出之間的關(guān)系，從而確定出直線所過的定點.【詳解】解：（1）由已知，直線AB的方程為聯(lián)立直線與拋物線，消y可得，，所以，因為，所以，即拋物線的方程為.（2）將代入可得，不妨設(shè)直線MN的方程為,聯(lián)立，消x得，則有，由題意,化簡可得，，代入此時直線MN的方程為，所以直線MN過定點.6．已知圓，圓，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點的直線l與曲線C相交于A，B兩點，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過的定點，再驗證直線l斜率不存在時，也過該定點，從而證明直線過定點.【詳解】（1）設(shè)動圓P的半徑為r，因為動圓P與圓M外切，所以，因為動圓P與圓N內(nèi)切，所以，則，由橢圓定義可知，曲線C是以為左、右焦點，長軸長為8的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，故，所以曲線C的方程為.（2）①當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線，，聯(lián)立，得，設(shè)點，則，，所以，即，得.則，因為，所以.即，直線，所以直線l過定點.②當(dāng)直線l斜率不存在時，設(shè)直線，且，則點，解得，所以直線也過定點.綜上所述，直線l過定點.7．設(shè)拋物線的對稱軸是軸，頂點為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與拋物線交于、兩點（和都不與重合），且，求證：直線過定點并求出該定點坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析；直線恒過點.【分析】（1）設(shè),將點代入方程求解即可；（2）當(dāng)時顯然不成立；當(dāng)時聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理得到及的關(guān)系,由可得,代入即可得到與的關(guān)系,進而得到定點；當(dāng)不存在時,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,同理運算即可【詳解】解：（1）因為拋物線的對稱軸是軸,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,因為拋物線經(jīng)過點所以,所以,所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在且時,顯然直線與拋物線至多只有一個交點,不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在且時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去,得①；消去,得②；設(shè),則為方程①的兩根,為方程②的兩根,,因為,所以,因為,所以,即,所以,即,所以直線的方程可化為,當(dāng)時,無論取何值時,都有,所以直線恒過點,當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,把與聯(lián)立得,則,因為,所以,即,得,所以直線的方程為,所以直線過點,綜上,無論直線的斜率存在還是不存在,直線恒過點.8．已知拋物線：的焦點為，為拋物線上一點，為坐標(biāo)原點，的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點，設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點，，若，證明直線過定點并寫出定點坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析,恒過定點【分析】（1）先求出的外接圓的半徑長，再利用拋物線的定義可求出的值，從而得出拋物線的方程；（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，列出韋達定理，等價于即可得到、的關(guān)系，即可得到直線恒過定點.【詳解】解：（1）因為的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，因為外接圓的周長為，所以圓的半徑為3，又圓心在的垂直平分線上，，，解得：，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)的方程為，，，由得，，則.所以，，因為，所以，即，化簡得，所以，所以，所以的方程為，恒過定點.9．已知拋物線上一點到焦點的距離等于.求拋物線的方程:設(shè)不垂直與軸的直線與拋物線交于兩點，直線與的傾斜角互補，求證:直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】定點是，證明見解析【分析】（1）由焦半徑公式求得，得拋物線方程；（2）設(shè)，設(shè)直線方程是，代入拋物線方程，由韋達定理可得，代入，求得，從而直線方程只有一個參數(shù)，由方程可得定點坐標(biāo)．【詳解】因為，所以拋物線方程是.設(shè)，設(shè)直線方程是，由，所以，由得；整理得，，即，解得，所以直線方程是，過定點，定點是.10．已知拋物線：上任意一點到其焦點的距離的最小值為1.，為拋物線上的兩動點（、不重合且均異于原點），為坐標(biāo)原點，直線、的傾斜角分別為，.（1）求拋物線方程；（2）若，求證直線過定點；（3）若（為定值），探求直線是否過定點，并說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知求出的值，最后寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，由已知可以得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，最后得到直線過定點；（3）根據(jù)（2）中的特例，再結(jié)合，根據(jù)兩角和的正切公式、直線傾斜角和斜率的關(guān)系，最后能求出直線所過定點.【詳解】（1）設(shè)為拋物線上任一點，為焦點，則，故拋物線方程.（2）設(shè)，，：，聯(lián)立得，，，即，則.得已，從而直線過定點.（3）由（2），：，，當(dāng)或時，，，故，于是直線經(jīng)過定點.當(dāng)且時，，，即，.故直線：，即為，故直線過定點.11．已知動圓M與直線相切，且與圓外切，記動圓M的圓心軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且（O為坐標(biāo)原點），證明直線l經(jīng)過定點H，并求出H點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）H（6,0），證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去，列出韋達定理，根據(jù)即可得到方程，解得.【詳解】解：（1）因為已知動圓與直線相切，且與圓外切，所以動圓的圓心到點的距離與動圓的圓心到直線的距離相等.∴動圓的圓心的軌跡是以為焦點的拋物線.∴曲線的方程.（2）∵直線l與曲線相交于A，B兩點，∴直線l的斜率不為0.設(shè)，，直線l的方程為.由，消去，得.∴，即.∴，.∵，∴.∴.∴，滿足.∴直線l的方程為.∴直線l過定點H（6,0）.12．已知拋物線，直線與相交于兩點，弦長．（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于異于坐標(biāo)原點的兩點，若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求證：直線恒過定點并求出定點．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立得，求出p的值即得拋物線的方程；（2）由題得斜率一定存在，設(shè)．根據(jù)求出，即得直線經(jīng)過的定點.【詳解】（1）設(shè)，，∴，∴；（2）由題得斜率一定存在，設(shè)．則，，∴，∴，，∴，∴，恒過點．13．已知動點M與到點N(3，0)的距離比動點M到直線x=-2的距離大1，記動圓M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點，且(O為坐標(biāo)原點)，證明直線l經(jīng)過定點H，并求出H點的坐標(biāo).【答案】(1);(2)證明見解析，定點【分析】（1）題意可轉(zhuǎn)化為動點到點的距離與動點到直線的距離相等，通過拋物線的定義可得曲線方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線結(jié)合韋達定理，根據(jù)可以計算出的值，進而可求直線所過定點.【詳解】（1）由題意得動點到點的距離與動點到直線的距離相等，∴動點的軌跡是以為焦點的拋物線.∴曲線的方程為.（2）∵直線與曲線相交于兩點，∴直線的斜率不為0設(shè)，，直線的方程為由，消去得，∴，即∴，，∵，∴，∴，∴，滿足，∴直線的方程為，∴直線過定點.14．已知橢圓經(jīng)過點，且長軸長是短軸長的2倍．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點在橢圓上運動，點在圓上運動，且總有，求的取值范圍；（3）過點的動直線交橢圓于、兩點，試問：在此坐標(biāo)平面上是否存在一個點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明由．【答案】（1）．（2）（3）存在，【分析】（1）根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，可得之間的關(guān)系，把點的坐標(biāo)代入橢圓方程中，這樣可以求出的值，進而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式寫出的表達式，根據(jù)橢圓的范圍，求出的取值范圍，根據(jù)圓的半徑和的大小關(guān)系，進行分類討論，最后求出的取值范圍；（3）由對稱性可知，點一定位于軸上，設(shè)，，，根據(jù)題意可以判斷，根據(jù)直線是否存在斜率進行分類討論.當(dāng)存在斜率時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可以判斷存在定點滿足題意，并求出定點；當(dāng)不存在斜率時，解方程組，最后判斷是否滿足剛得到定點條件.【詳解】（1）因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，橢圓過點，所以有：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，則，，∴，∴，①時，，②時，，綜上，．（3）由對稱性可知，點一定位于軸上，設(shè)，，，則（*），①的斜率存在時，設(shè)，代入橢圓方程，得，，則（*）式為，即，，整理，得，∴，得．②的斜率不存在時，，代入橢圓方程，得，∴此時以為直徑的圓的方程為，也經(jīng)過點．綜上，存在滿足題設(shè)條件．15．已知拋物線上一點到焦點F的距離.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l與拋物C交于A，B兩點（A，B異于點P），且，試判斷直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）過定點【分析】（1）根據(jù)拋物線定義以及點在拋物線上列方程組解得，，即得結(jié)果；（2）先根據(jù)坐標(biāo)化簡得，再設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理解得，即可判斷定點坐標(biāo).【詳解】（1）由題可得：，解得，，拋物線的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立，消x得：，，，，，同理，又，，，直線l的方程為：，過定點.16．已知橢圓：的兩焦點與短軸一端點組成一個正三角形的三個頂點，且焦點到橢圓上的點的最短距離為1.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點.【分析】（1）由題可得,利用求解即可；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,則,,由,則直線的方程為,可整理為,將,,,代入中,整理即可得到所過定點【詳解】解：（1）由題,則,因為,所以,,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去可得,設(shè),,則,,設(shè),所以,所以直線的方程為,即,所以,將,,,代入,則,所以,整理可得，所以直線過定點17．已知動點到點的距離比到直線的距離小，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.【答案】（1）．（2）證明見詳解.【分析】（1）將描述的軌跡性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為拋物線的定義，據(jù)此寫出曲線方程；（2）設(shè)出直線AB方程，利用，得到直線AB方程中系數(shù)之間的關(guān)系，從而證明直線恒過定點.【詳解】（1）由題意可知，到點的距離比到直線的距離小，則：動點到點的距離與到直線的距離相等，故：點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．（2）因為點M在拋物線上，故可知，設(shè)點，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，所以，所以；因為，即，所以，等價于，所以或當(dāng)時，直線的方程：直線過定點與重合，舍去；當(dāng)時，直線的方程：直線過定點，所以直線過定點．18．已知動圓M與直線相切，且與圓N：外切（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；（2）點O為坐標(biāo)原點，過曲線C外且不在y軸上的點P作曲線C的兩條切線，切點分別記為A，B，當(dāng)直線與的斜率之積為時，求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）直接利用直線與圓的位置關(guān)系式，圓和圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用直線與曲線的相切和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)動圓圓心M（x，y），由于圓M與直線y=-1相切，且與圓N：外切．利用圓心到直線的距離和圓的半徑和圓心距之間的關(guān)系式，可知C的軌跡方程為：（2）設(shè)直線：，，，因為，，所以兩條切線的斜率分別為，，則直線的方程是，直線的方程是.兩個方程聯(lián)立得P點坐標(biāo)為，，，由聯(lián)立得：，故直線過定點.19．已知拋物線：，過焦點的直線與軸平行，且與拋物線交于，兩點，若.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于異于坐標(biāo)原點的兩點、，若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求證：直線恒過定點并求出該定點.【答案】（1）；（2）見解析，過點【分析】（1）依題意可得，即可取出拋物線方程.（2）依題意直線斜率一定存在，設(shè)：，，，則，，聯(lián)立直線方程與曲線方程，消元列出韋達定理，即可求出參數(shù)的值，從而得到直線過的定點.【詳解】解：（1）由題意，∴，；（2）斜率一定存在，設(shè)：，，，則，，，消元得，，，，∴，∴，∵，∴，∴：，恒過點.20．已知橢圓，焦距為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一直線與橢圓相交于、兩點（、不是橢圓的頂點），以為直徑的圓過橢圓的上頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，直線過定點．【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距求出的值，進而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)以為直徑的圓過橢圓的上頂點，得，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，并代入韋達定理，可得出與所滿足的等式，即可得出直線所過定點的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，有，，所以，橢圓的焦點在軸上，得，有，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由方程組，得，即．，即．設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為、，則，，，．以為直徑的圓過橢圓的上頂點，，即，即，化簡得，或．當(dāng)時，直線過定點，與已知矛盾．當(dāng)時，滿足，此時直線為過定點.直線過定點．21．設(shè)是橢圓上的點，是焦點，離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上的兩點，且，問線段的垂直平分線是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標(biāo)，若不過定點，說明理由.【答案】（1）（2）過，【分析】（1）由條件可知，并且點代入橢圓方程，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，則，與橢圓方程聯(lián)立，求得的中點坐標(biāo)，并表示線段的垂直平分線方程，利用條件，求得直線所過的定點，并說明當(dāng)斜率不存在時，也滿足.【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，得，因此，橢圓的方程為；（2）由題意知，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則.將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得.由韋達定理可得，①，所以，，則線段的中點坐標(biāo)為.則線段的垂直平分線方程為，即，即，此時，線段的垂直平分線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的垂直平分線就是軸，也過點；綜上所述，線段的垂直平分線過定點.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：（）過點，其心率等于.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點，動點M滿足，且橢圓E于點P.①求證：為定值：②設(shè)與以為直徑的圓的另一交點為Q，求證：直線經(jīng)過定點.【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析.【分析】（1）由題意的離心率公式和點滿足題意方程，結(jié)合橢圓的，，的關(guān)系解出方程，進而得到橢圓方程；（2）①設(shè)，，求得直線的方程，代入橢圓方程，解得點的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得證；②先求得的斜率，再由圓的性質(zhì)可得，求出的斜率，再求直線的方程，即可得到定點.【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，所以且解得所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，①易得直線的方程為：，代入橢圓得，，由得，，從而，所以.②依題意，，由得，，則的方程為：，即，所以直線過定點.23．已知拋物線：的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）直線恒過定點【分析】（1）設(shè)，代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義，可得，進而得到拋物線方程；（2）由題可得，直線的斜率不為，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與曲線方程，由，則，即可得到，的關(guān)系式，再求出直線過定點；【詳解】解：（1）設(shè)，代入得：，即由得：，解得：或（舍去）故拋物線C的方程為：.（2）由題可得，直線的斜率不為設(shè)直線：，，聯(lián)立，得：，，，由，則，即.于是，所以或當(dāng)時，直線：，恒過定點，不合題意，舍去.當(dāng)，，直線：，恒過定點綜上可知，直線恒過定點24．橢圓（）的離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓有且只有一個公共點，且直線與直線和分別交于兩點，試探究以線段為直徑的圓是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點，若不恒過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）以線段為直徑的圓恒過定點，且定點為【分析】（1）由離心率及拋物線的焦點是橢圓長軸的端點即的關(guān)系可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，則由消去得關(guān)于的二次方程，根據(jù)判別式等于得，另外先求出點，，則可求出以線段為直徑的圓的方程，整理得，將代入即可求出定點.【詳解】解：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為（），

因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，則

，

由，得

∴橢圓的方程為；（2）明顯直線的斜率存在，設(shè)，則由，消去得，，整理得，又由，得，由，得，所以以線段為直徑的圓為，整理得，將代入得，當(dāng)時，，所以以線段為直徑的圓恒過定點，且定點為.25．已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為.（1）求C的方程；（2）設(shè)C的右頂點為A，不過C左、右頂點的直線l：與C相交于M，N兩點，且.請問：直線l是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）由焦點坐標(biāo)、長軸長和短軸長關(guān)系、橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進而得到所求方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式；根據(jù)垂直關(guān)系可得，代入韋達定理的結(jié)果可整理得到，進而解得，；分別驗證兩個結(jié)果可知滿足題意，根據(jù)直線過定點的求解方法可確定定點坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得：，解得：的方程為：（2）設(shè)，由得：則，化簡得：…①，又，即又即化簡為：解得：，，均滿足①式當(dāng)時，，直線過點，不合題意，舍去；當(dāng)時，，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為26．設(shè)拋物線，滿足，過點作拋物線的切線，切點分別為.（1）求證：直線與拋物線相切；（2）若點坐標(biāo)為，點在拋物線的準(zhǔn)線上，求點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點在直線上運動，直線是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【答案】（1）證明見詳解；（2）（3）是，【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由，即可證明；（2）根據(jù)點在拋物線上解得，進而寫出點坐標(biāo)，再根據(jù)點既在直線上，又在拋物線上，聯(lián)立方程組即可求得的坐標(biāo)；（3）寫出直線的方程，根據(jù)過點和過點的直線交于點得到的結(jié)論，整理化簡直線方程，即可求得恒過的定點.【詳解】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得故，因為點在拋物線上，故則直線與拋物線只有一個交點又因為，故該直線不與軸平行，即證直線與拋物線相切.（2）因為點在拋物線上，故可得，解得由（1）可知過點的切線方程為，即又拋物線的準(zhǔn)線方程為，故令，解得，即點的坐標(biāo)為.因為過點的切線方程為，其過點故可得，又因為點滿足拋物線方程，故可得，聯(lián)立方程組可得解得（舍去，與點重合），，故點的坐標(biāo)為.（3）由（1）得過點的切線方程為令，可解得過點的切線方程為令，可解的因為兩直線交于點，故可得整理得①當(dāng)過兩點的直線斜率存在，則設(shè)其方程為：整理得，將①代入可得故直線方程為故該直線恒過定點;當(dāng)過兩點的直線斜率不存在時，，代入①可得過此時直線，也經(jīng)過點綜上所述，直線恒過定點，即證.27．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線相交于兩點.設(shè)直線是拋物線的切線，且直線為上一點，且的最小值為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)是拋物線上，分別位于軸兩側(cè)的兩個動點，為坐標(biāo)原點，且.求證：直線必過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）見解析，.【分析】（1）依題意，設(shè)出M、N坐標(biāo)及直線的方程為，代入拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)直線和拋物線相切于點，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率為1，因此得，可得切線的方程，設(shè)出P點坐標(biāo)，代入化簡并求得最小值為可解出p，即可求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，代入y2=4x，利用韋達定理結(jié)合，求出b，即可證明直線l必過一定點，并求出該定點．【詳解】(1)依題意，直線的方程為.設(shè),將直線的方程代入中，得，因此.設(shè)直線和拋物線相切于點，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率即導(dǎo)數(shù)為1，因此得，切點的坐標(biāo)為，因此切線的方程為.設(shè)，于是將，代入其中，可得.當(dāng)時，取得最小值，由，可解得正數(shù)值為2，因此所求的拋物線方程為.（2）顯然，直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，，則，故，也即，①將代入拋物線中，得，故.將它們代入到①中，得，解得，因此直線恒過點.28．已知曲線上任意一點滿足，直線的方程為，且與曲線交于不同兩點，.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點，直線與的斜率分別為，，且，判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）把已知等式根式里式子配方后由幾何意義得出動點到兩定點距離之和為定值，從而確定動點軌跡是橢圓，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得出結(jié)論；（2）設(shè)與的交點，，聯(lián)立直線與曲線的方程：，消整理，應(yīng)用韋達定理得，代入，得的關(guān)系，由此求得直線過定點的坐標(biāo)．【詳解】（1）由可化得，設(shè)，，則等式即為，且，所以曲線是橢圓，焦點為，（在軸上），長半軸長，半焦距，短半軸長，所以曲線的方程為.（2）聯(lián)立直線與曲線的方程：，消整理得，∵直線與曲線交于不同兩點，，∴，得，設(shè)與的交點，，則，.由題意，∴，由得，且滿足，則：，所以直線經(jīng)過定點.29．已知橢圓上任一點到，的距離之和為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，設(shè)直線不經(jīng)過點,與交于，兩點，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）定點，證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得,,a=2,則b2=a2﹣c2=2,即可求得橢圓方程;(2)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達定理及直線的斜率公式化簡可得m=﹣2k﹣4,再根據(jù)直線的點斜式方程,即可判斷直線l恒過定點(2,﹣4).【詳解】(1)由橢圓定義知,,,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)直線l恒過定點(2,﹣4),理由如下:若直線斜率不存在,則,不合題意.故可設(shè)直線方程:,聯(lián)立方程組,代入消元并整理得:,則,.,將直線方程代入,整理得:,即,韋達定理代入上式化簡得:,因為不過點,所以,所以,即,所以直線方程為,即,所以直線過定點.30．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的頂點坐標(biāo)可直接得，根據(jù)△是等腰直角三角形可得，進而由橢圓方程中的關(guān)系即可得橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況：當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立橢圓后，設(shè)，，由韋達定理表示出，根據(jù)斜率關(guān)系，整理可得與的等量關(guān)系，代入直線方程即可確定直線AB過定點.當(dāng)斜率不存在時，易證也過該定點即可.【詳解】（1）由已知可得，是等腰直角三角形可得，由，則所求橢圓方程為.（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意.設(shè)，，由得.則.由已知，所以，即.所以，整理得.故直線的方程為，即.所以直線過定點.若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，，由已知，得.此時方程為，顯然過點.綜上，直線過定點.31．已知橢圓經(jīng)過點，離心率，直線的方程為.（1）求，的值；（2）過橢圓左焦點的直線交橢圓于，兩點，過作直線的垂線與交于點.求證：當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時，直線必經(jīng)過軸上一定點.【答案】（1），；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點，列方程求得的值：（2）設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理用表示出：，，及，在寫出直線方程，化簡整理，即可分析出恒過的定點【詳解】解：由，得，又在橢圓上，解得：，（1）左焦點，設(shè)直線的方程為：由設(shè)，，則，，直線令，可得，即，可得，而，則，所以可得即直線經(jīng)過點．特別，當(dāng)與軸重合時，顯然直線經(jīng)過點．綜上所述，直線過定點.32．已知橢圓過，兩點，其中為橢圓的離心率.過點作兩條直線，，與橢圓的另一個交點分別為，，且與的斜率之積為-2.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線恒過一個定點.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得解；（2）設(shè)的斜率為，則的斜率為，聯(lián)立方程組可得、，表示出后即可表示直線的方程，化簡即可得證.【詳解】（1）橢圓過，，，，解得，橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)的斜率為，則的斜率為，，，由，得，，又，，，即，同理，，.即，即，直線恒過定點.33．已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，且滿足.（1）求、的值；（2）設(shè)、是拋物線上不與重合的兩個動點，記直線、與的準(zhǔn)線的交點分別為、，若，問直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標(biāo)，否則請說明理由.【答案】（1），；（2）過定點，且定點的坐標(biāo)為.【分析】（1）將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程結(jié)合拋物線的定義可得出關(guān)于、的方程組，解出即可；（2）設(shè)直線方程為，、，求出直線、的方程，解出點、的坐標(biāo)，利用，得，結(jié)合韋達定理，求出，再求出定點坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程，則，由題意得，解得；（2）由（1）得拋物線的焦點，，顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線方程為，、，聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，.直線的斜率，故直線的方程為，令，得，故的坐標(biāo)為，同理的坐標(biāo)為，，，，，所以，，，所以，直線的方程為，過定點.34．已知拋物線（）的焦點，為坐標(biāo)原點，，是拋物線上異于的兩點.（1）求拋物線的方程；（2）若直線，的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點.【答案】（1）；（2）證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)，即可求得以及拋物線方程；（2）對直線的斜率進行討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達定理，結(jié)合直線，的斜率之積為，找到直線之間的等量關(guān)系，從而證明問題.【詳解】（1）因為拋物線（）的焦點坐標(biāo)為，所以，即.所以拋物線的方程為.（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，.因為直線，的斜率之積為，所以，化簡得.所以，，此時直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立方程組，消去得.由根與系數(shù)的關(guān)系得，因為直線，的斜率之積為，所以，即.即，解得（舍去）或.所以，即，所以即綜合①②可知，直線過定點.35．已知拋物線:（）上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于不同兩點，若滿足，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）見解析，.【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義，可得的方程，即可得出拋物線的方程；（2）方法一：設(shè)，，由得，進行坐標(biāo)運算并化簡整理，運用直線的斜率公式和直線方程，以及直線恒過定點的求法，可得所求定點坐標(biāo).方法二：設(shè)，，設(shè)直線：（），與拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，而，則，代入坐標(biāo)進行運算并解出，進行檢驗后可得直線方程，由此可得直線恒過定點以及定點坐標(biāo).【詳解】解：（1）拋物線:（）的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得，，解得，所以拋物線方程為.（2）方法一：設(shè)，，，且，皆不為，，，即，，又，，直線斜率為，直線方程為：，即為，直線恒過定點，直線恒過定點，定點坐標(biāo)為.方法二：設(shè)，，由條件可知直線的斜率不為0，可設(shè)直線：（），代入,得：，，，，，，即，，，，符合，直線：，則直線恒過定點，直線恒過定點，定點坐標(biāo)為.36．在橢圓：中，點，分別為橢圓的左頂點和右焦點，若已知離心率，且在直線上.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，連接，分別交直線于點，，求證：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)、離心率和橢圓關(guān)系可求得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式；分別利用表示出的坐標(biāo)，從而得到；根據(jù)平面向量數(shù)量積運算可得，得到，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）橢圓的左頂點在直線上且位于軸上，，.，，，橢圓的方程為：.（2）由（1）知：，設(shè)，，過點，可設(shè)的直線方程為：，聯(lián)立方程得：，，.設(shè)直線的方程為，，即，同理可得：，，，從而.，即點在以為直徑的圓上.37．已知橢圓（）的離心率為，左、右焦點分別為、，為橢圓的下頂點，交橢圓于另一點、的面積.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，問：直線是否過定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）直線過定點【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率的公式和橢圓中的關(guān)系，可以判斷出的形狀，最后結(jié)合橢圓的定義和三角形的面積公式進行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，三點共線進行求解即可.【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，，，∴是等腰直角三角形，又，在中，，即.解得，，，∴的面積為，，，∴橢圓方程為.（2）設(shè)，，則，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為（），由有，，，，，由、、三點共線，，即，將，代入整理得，即，從而，即，解得，此時滿足.則直線的方程為，故直線過定點.（其他解法正確同樣給分）38．已知橢圓的右焦點到直線的距離為，在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若過作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個交點，是與橢圓的兩個交點，分別是線段的中點試，判斷直線是否過定點？若過定點求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）直線過定點【分析】（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時，聯(lián)立方程組，化簡可得，進而求出，同理可得，進而求出，求出直線的方程，求出必過的定點；②當(dāng)時，易知直線過定點；綜上即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點的坐標(biāo)分別為，①當(dāng)時，由，得，∴，∴同理，由，可得∴直線的方程為，過定點；②當(dāng)時，則直線的方程為，∴直線過定點綜上，直線過定點39．已知橢圓的離心率為，其右焦點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若過作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個交點，是與橢圓的兩個交點，分別是線段的中點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點.請說明理由.【答案】（1）；（2）直線過定點【分析】（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時，聯(lián)立方程組，化簡可得，進而求出，同理可得，進而求出，求出直線的方程，求出必過的定點；②當(dāng)時，易知直線過定點；綜上即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點的坐標(biāo)分別為，①當(dāng)時，由，得，∴，∴同理，由，可得∴直線的方程為，過定點；②當(dāng)時，則直線的方程為，∴直線過定點綜上，直線過定點.40．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的右端點，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為（與不重合），則直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）交于定點【分析】（1）設(shè)點后根據(jù).代入易得橢圓方程。（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程根據(jù)韋達定理寫出直線的方程，然后令化簡即可求得直線與軸交于一個定點。【詳解】（1）易知，，，∴，，∴，∴.由，解得，故所求的橢圓方程為，（2）設(shè)，，則，由得，故，.經(jīng)過點，的直線方程為令，則又∵，，當(dāng)，這說明，直線與軸交于定點.41．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（0，1）、（0，﹣1），動點P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為，直線AP、BP與直線y＝﹣2分別交于點M、N．（1）求動點P的軌跡方程；（2）求線段MN的最小值；（3）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？若經(jīng)過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由.【答案】（1）（x≠0）．（2）4．（3）是，定點（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．【分析】(1)設(shè)動點,再根據(jù)斜率之積化簡方程即可.(2)分別設(shè)關(guān)于的的方程,再聯(lián)立求解的坐標(biāo),進而求得關(guān)于的解析式,再利用化簡,利用基本不等式求解最小值即可.(3)根據(jù)題意可知,再進行根據(jù)滿足橢圓的方程代入化簡求解即可.【詳解】（1）設(shè)動點P（x,y）,∵A（0,1）,B（0,﹣1）,∴直線AP的斜率k1,直線BP的斜率,又k1?k2,∴,∴動點P的軌跡方程為（x≠0）．（2）設(shè)直線AP的方程為y﹣1＝k1（x﹣0）,直線BP的方程為y+1＝k2（x﹣0）,由,得,∴M（）,由,得,∴N（,﹣2）,由,得|MN|＝||＝||4,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,∴線段MN長的最小值為4．（3）設(shè)點Q（x,y）是以MN為直徑的圓的任意一點,則,即,又k1k2,∴以MN為直徑的圓的方程為,令x＝0,得（y+2）2＝12,解得y＝﹣2,∴以MN為直徑的圓過定點（0,﹣2+2）或（0,﹣2﹣2）．42．已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】（1）或；（2）證明見解析，定點【分析】（1）設(shè)，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【詳解】（1）設(shè)，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設(shè)，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.43．已知橢圓C：（）的左，右焦點為，，且焦距為，點，分別為橢圓C的上、下頂點，滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點，橢圓C上的兩個動點M，N滿足，求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）設(shè)，，，結(jié)合已知的向量表達式，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知四邊形為菱形，結(jié)合已知條件進行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率進行分類討論.設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩平面向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，，，由可知四邊形為菱形且，故，解得，故，橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)：，，.聯(lián)立消去y得，，，，由，則，即，整理得，將，代入整理得，即，解得或.當(dāng)時，直線：過點E，舍去；當(dāng)時，直線：過定點.當(dāng)直線斜率不存在時，不妨設(shè)，，則由，則，即，即，即，解得（舍去）或，也過定點.綜上，直線過定點.44．已知橢圓的左焦點坐標(biāo)為，，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當(dāng)直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理.【答案】（1）（2）直線過定點【分析】（1），再由，解方程組即可；（2）設(shè)，，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，，∴橢圓方程為，（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，，由，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，∴，即，∴直線過點當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，，其中，∴，由，得，所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也過定點綜上所述，直線過定點.45．已知點，，橢圓C：（）的離心率為，過點且斜率為1的直線被橢圓C截得的線段長為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點，且與C相交于A，B兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，由弦長公式，結(jié)合橢圓的離心率即可求得橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，結(jié)合直線與直線的斜率的和為，即可容易證明.【詳解】（1）由題意知，，則，于是橢圓C的方程可化為，直線的方程為，聯(lián)立得.設(shè)，為兩交點，則，，由得（*）再由弦長公式得，解得代入（*）成立，從而，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線與的斜率分別為，，如果與x軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知且，可得A，B坐標(biāo)分別為，，則，得，此時的方程為，與橢圓只有一個公共點，與題意不符.從而可設(shè)：（）將代入得.由題設(shè)可知，設(shè)，則，而，由題設(shè)知得，即，解得，代入，得，此時，所以過定點.46．已知拋物線與過點的直線交于兩點.（1）若，求直線的方程；（2）若，軸，垂足為，探究：以為直徑的圓是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）或；（2）過定點，【分析】（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式計算即可；（2）設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點，，，利用得，令解方程組即可.【詳解】（1）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，將代入，消去可得，顯然，設(shè)，，則，，所以，因為，所以，解得，所以直線的方程為或.（2）因為，所以是線段的中點，設(shè)，則由（1）可得，，所以，又軸，垂足為，所以，設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點，則，，所以，即，化簡可得①，令，可得，所以當(dāng)，時，對任意的，①式恒成立，所以以為直徑的圓過定點，該定點的坐標(biāo)為.47．已知橢圓：（）的右頂點與拋物線：（）的焦點重合.的離心率為，過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點的直線l與橢圓交于A，B兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為點E，證明：直線過定點.【答案】（1），；（2）見解析【分析】（1）由題意可得，由于橢圓的離心率可得a，c的關(guān)系，進而可得p，c的關(guān)系，再由過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為可得c的值，再由a，b，c的關(guān)系求出橢圓的方程及拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程，及A，B的坐標(biāo)由題意可得E的坐標(biāo)，將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出直線的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過定點.【詳解】（1）由的離心率為，可得，所以，因為橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，所以，，所以可得，過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為，k令代入拋物線的方程：可得，所以，即，解得，所以，由可得，所以橢圓和拋物線的方程分別為：，；（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，，由題意可得，直線與橢圓聯(lián)立：，整理可得：，，可得，，，直線的方程為：，整理可得：所以當(dāng)時，，即過定點，所以可證直線過定點.48．已知橢圓C：（）的上頂點與右焦點連線的斜率為，C的短軸的兩個端點與左、右焦點的連線所構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知點，若斜率為k（）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，當(dāng)直線AP，BP的傾斜角互補時，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，說明理由．【答案】（1）.（2）直線l過定點.【分析】（1）設(shè)橢圓C的上頂點為，由兩點的斜率公式和四邊形的面積公式建立方程，求解可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，，，與橢圓的方程聯(lián)立整理得，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再由得，可求得直線所過的定點.（1）解：設(shè)橢圓C的上頂點為，左、右焦點分別為，，由，得．因為C的短軸的兩端點與左、右焦點連線所構(gòu)成的四邊形的面積為，所以．即，由上面兩個方程解得，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為等．（2）解：設(shè)直線l的方程為，，，則．因為直線AP，BP的傾斜角互補，所以．聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達定理得，，則，所以，，解得．即直線l的方程為，顯然直線l過定點．49．已知橢圓的左?右頂點分別是，，點（異于，兩點）在橢圓上，直線與的斜率之積為，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，（其橫坐標(biāo)）兩點，直線與的交點為，試問點是否在定直線上？若在，請給予證明，并求出定直線方程；若不在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，證明見解析，點在定直線【分析】（1）由題意可得，，設(shè)，根據(jù)以及可得，再由，且求得的值即可求解；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得、，再求出直線和的方程并聯(lián)立，可得點的橫坐標(biāo)為定值即可求證.（1）由題意可得，，設(shè)，則，，所以.因為點在橢圓上，所以，所以，則.因為，且，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，.由（1）可知，，則直線的方程為，直線的方程為，從而，即，解得：.故點在定直線上.50．過點的動直線與拋物線相交于兩點，已知當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓，已知是拋物線上的兩動點，且直線都與圓相切(是坐標(biāo)原點），求證：直線經(jīng)過一定點，并求出該定點坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，定點為.【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，由可得，由此構(gòu)造方程組可求得，進而得到拋物線方程；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程得到，代入韋達定理結(jié)論可得，由此可確定直線所過定點坐標(biāo).（1）由題意得：直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，，，…①；…②；，，…③；由①②③可得：，拋物線的方程為；（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：，，，直線的方程為，即；直線的方程為，即；直線都與圓相切，圓心到直線的距離相等，，整理可得：，，即，直線的方程為，則當(dāng)時，，直線恒過定點．51．如圖，以原點為頂點，以軸為對稱軸的拋物線的焦點為，點是直線上任意一點，過點引拋物線的兩條切線分別交軸于點，，切點分別為，．

（1）求拋物線的方程；（2）求證：點，在以為直徑的圓上；（3）當(dāng)點在直線上移動時，直線恒過焦點，求的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）-1.【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)直接求拋物線方程；（2）利用切線方程，先求點的坐標(biāo)，利用，證得點在以為直徑的圓上，同理得到點也滿足；（3）可設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到，利用點的坐標(biāo)滿足兩條切線，聯(lián)立求得.【詳解】（1）設(shè)拋物線的方程為，依題意，得，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)點，，，．，否則切線不過點，，切線的斜率，方程為，其中．令，得，點的坐標(biāo)為，直線的斜率，，，即點在以為直徑的圓上；同理可證點在以為直徑的圓上，所以，在以為直徑的圓上．（3）拋物線焦點，可設(shè)直線．由，則．由（2）切線的方程為過點，，得，同理．消去，得，，由上，，即的值為．52．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點分別作直線、交橢圓于兩點，設(shè)兩直線、的斜率分別為，且，探究：直線是否過定點，并說明理由．【答案】（1）；（2）直線過定點，理由見解析【分析】（1）通過點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形，可求得，從而可求橢圓方程；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程代入橢圓方程，利用韋達定理及，可得直線的方程，從而可得直線過定點；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，求出直線的方程，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由點是橢圓的一個頂點，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意，聯(lián)立，得由已知，設(shè)，由韋達定理得：，，整理得故直線方程為，即，所以直線過定點；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，由已知得，解得，此時直線方程為，顯然過點；綜上，直線過定點.53．設(shè)P是橢圓C：上異于長軸頂點A1，A2的任意一點，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點？如果過定點，請予以證明，并求出定點；如果不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，證明見解析，定點為.【分析】（1）由，以及可得出答案.

(2)設(shè)，設(shè)過的橢圓的切線為，與橢圓方程聯(lián)立由，求出切線的斜率，得出切線方程，由條件求出坐標(biāo)，在軸上取點，由得出答案.【詳解】解：（1）由題可知，解得，由得，橢圓的方程為.（2）設(shè)，由于是異于長軸頂點的任意一點，故切線斜率存在.設(shè)過的橢圓的切線為，聯(lián)立方程，得，，得，由所以，則，即所以，則解得過點的切線方程為，即由于分別過的切線分別為，解得的坐標(biāo)為.在軸上取點，則，，所以.當(dāng)時，.所以，以為直徑的圓過軸上的定點為.54．已知，分別為橢圓的左?右頂點，為的上頂點，.（1）求橢圓的方程；（2）過點作關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式求解即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理求得，又因為關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計算化簡即可求得定點.【詳解】解：（1）由題意得，，，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，得，由得，∴，，因為關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點.55．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且滿足.（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上的任意一點作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于點.在軸上是否存在一個定點，使以為直徑的圓恒過.若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由.【答案】（1）（2）存在一個定點，使以為直徑的圓恒過【分析】（1）利用拋物線的定義，結(jié)合，求得，由此求得拋物線的方程.（2）首先假設(shè)存在一個，使以為直徑的圓恒過.設(shè)出切線的方程，利用導(dǎo)數(shù)建立切線斜率的等量關(guān)系式，結(jié)合，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算列方程，解方程求得點的坐標(biāo)，由此證得存在點符合題意.【詳解】（1）由拋物線定義知，又，∴，解得，∴拋物線的方程為.（2）存在一個，使以為直徑的圓恒過.由（1）得拋物線為，準(zhǔn)線方程為.依題意切線斜率一定存在且不為0，設(shè)切線方程為.設(shè)定點為，，，∵，∴切線斜率，又，∵，∴，解得.以為直徑的圓恒過定點等價于.∴，.∴恒成立.∴且，解得，存在一個定點，使以為直徑的圓恒過.56．如圖，已知橢圓C：＋y2＝1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．（1）求橢圓C的方程；（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且＝0，求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標(biāo)．【答案】（1）＋y2＝1（2）證明見解析，定點N.【解析】【分析】（1）利用直線AF與圓相切可求得a（圓心到直線的距離等于半徑），從而得橢圓方程；（2）由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程可求得P點坐標(biāo)，同理可得Q點坐標(biāo)，寫出直線PQ方程，化簡后可知其所過定點．【詳解】（1）將圓M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－3）2＋（y－1）2＝3，圓M的圓心為M（3,1），半徑為r＝.由A（0,1），F(xiàn)（c,0）（c＝）得直線AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直線AF與圓M相切得＝.所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.（2）證明：由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A（0,1）可設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1（k≠0），將y＝kx＋1代入橢圓C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐標(biāo)為，即.將上式中的k換成－，得Q.所以直線l的方程為y＝·＋，化簡得直線l的方程為y＝x－.因此直線l過定點N.57．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，為下頂點，是面積為1的直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2），是過點且互相垂直的兩條直線，其中交橢圓于另一個點，交橢圓于另一個點，是否存在定點，使直線恒過這個點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，恒過的定點為【分析】（1）由題意列得方程，解得即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用，可得，進而可得定點為.【詳解】解：（1）由題意得，∴橢圓的方程為.（2）由題意知：直線的斜率存在，可設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立可得，得，∵，∴，，∵，∴所以直線方程為，恒過定點.58．已知，點滿足，記點的軌跡為.斜率為的直線過點，且與軌跡相交于兩點.（1）求軌跡的方程；（2）求斜率的取值范圍；（3）在軸上是否存在定點，使得無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，總有成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求得方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，轉(zhuǎn)化成方程有解問題；（3）假設(shè)存在點，聯(lián)立直線和雙曲線整理成二次方程，根據(jù)結(jié)合韋達定理求解.【詳解】（1）因為，點滿足，所以點的軌跡為以為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，設(shè)其方程，則，所以軌跡的方程：；（2）斜率為的直線過點，直線方程為，代入，，即有兩個不等正根，，由得，當(dāng)時，且即不等式組的解：所以；（3）假設(shè)存在，設(shè)點，使，由（2）：斜率為的直線過點，直線方程為，代入，，即有兩個不等正根，，，所以，，對恒成立，所以，解得，即，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程，此時，，仍然滿足，所以這樣的點存在，.59．已知離心率為的橢圓的左頂點為，且橢圓經(jīng)過點，與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線和直線的斜率之積為，求證：直線過定點；（3）若為橢圓上一點，且，求三角形的面積.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)離心率，將用表示，橢圓方程化為，點代入方程，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為，（或），設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到，由，得，且，，，整理得，或（舍），滿足，可得直線過定點（3），根據(jù)向量的關(guān)系可得，點到直線距離，即可求解；或?qū)⒏鶕?jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)，，，求得點，又點在橢圓上，整理可得，將用表示，并化簡為，即可求得結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，化簡得，由解得，且，，∴，∴，，化簡可得：，∴或（舍），滿足，∴直線的方程為，∴直線經(jīng)過定點.方法二：設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，化簡得，解得：，且，，∵，∴，∴，化簡可得：，∴或者（舍）滿足∴直線經(jīng)過定點；方法三：設(shè)，則有，∴，設(shè)方程為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴直線經(jīng)過定點；（3）點到直線距離，∴，∴；方法二：設(shè)，∵，∴點，又∵點在橢圓上，∴，∴.，∴.60．已知等軸雙曲線：的右焦點為，為坐標(biāo)原點，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.（1）求等軸雙曲線的方程；（2）若過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點，求的值；（3）假設(shè)過點的動直線與雙曲線交于、兩點，試問：在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定點.【分析】（1）根據(jù)雙曲線焦點到漸近線的距離為和等軸雙曲線的性質(zhì)，求得等軸雙曲線的方程.（2）由直線的方向向量求得直線的斜率，由此寫出直線的方程.聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，寫出韋達定理，求得，，由此求得的值.（3）設(shè)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，代入進行化簡，結(jié)合為常數(shù)列方程，解方程求得點的坐標(biāo).【詳解】（1）雙曲線焦點到漸近線的距離為，所以，所以等軸雙曲線的方程為.且.（2）由于直線的方向行向量為，所以直線的斜率為，而，所以：，與聯(lián)立方程并化簡得，可得，，即.（3）設(shè)點.依題意可知直線與不平行，設(shè)直線，與聯(lián)立方程有，可得，，∴，，，要為定值，需滿足，∴，即定點.61．已知點，在圓：上任取一點，的垂直平分線交于點.（如圖）.（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的動直線與（1）中的軌跡相交于、兩點.問：平面內(nèi)是否存在異于點的定點，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）存在，證明見解析【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到點的軌跡是以，為焦點的橢圓；（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的情況得到定點；再考慮對直線的一般情況都有點滿足題意.【詳解】（1）依題意得，，故點的軌跡是以，為焦點的橢圓，，，，因此，所求的軌跡是橢圓：.（2）當(dāng)直線軸時，由得知點在軸上，可設(shè).當(dāng)直線軸時，，，由得，或.因此，若存在異于點的定點滿足題意，則點的坐標(biāo)為.下面我們來證明：對任意直線均有.當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線：，，.把代入得，由于點在橢圓的內(nèi)部，故判別式.所以，，，易知點關(guān)于軸的對稱點為，而，又，所以，即、、三點共線，，綜上知，存在異于點的定點滿足題意.62．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a>b>0)的離心率為，且右焦點到右準(zhǔn)線l的距離為1.過x軸上一點M(m，0)(m為常數(shù)，且m∈(0，2))的直線與橢圓C交于A，B兩點，與l交于點P，D是弦AB的中點，直線OD與l交于點Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)試判斷以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點．若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)＋y2＝1；(2)是，定點【分析】（1）由已知列出方程組解得，然后求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)首先確定直線AB斜率存在且不為0，然后設(shè)直線方程為y＝k(x－m)，求出P，Q點，寫出圓的方程(直徑式)，然后，即令斜率k的系數(shù)為零，常數(shù)項也為零，得出關(guān)于x，y的方程可得定點．審題注意題中m是常數(shù)，而非變量．【詳解】(1)由題意，得，解得所以a2＝2，b2＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.(2)由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意，所以可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－m)．又準(zhǔn)線方程為x＝2，所以點P的坐標(biāo)為P(2，k(2－m))．由得，x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，所以xA＋xB＝，則xD＝·＝，yD＝k＝－，所以kOD＝－，從而直線OD的方程為y＝－x(也可用點差法求解)，所以點Q的坐標(biāo)為Q.所以以P，Q為直徑的圓的方程為(x－2)2＋（y-k(2－m)）＝0，即x2－4x＋2＋m＋y2-[k(2－m)-]y＝0.因為該式對?k≠0恒成立，令y＝0，得x＝2±，所以，以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點.63．已知平面上動點P到定點的距離比P到直線的距離大1.記動點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線交曲線C于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點是D，證明：直線恒過點F.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】(1)先分析出點P在直線的右側(cè)，然后利用拋物線的定義寫出方程即可(2)設(shè)出直線的方程和A、B兩點坐標(biāo)，聯(lián)立方程求出的范圍和A、B兩點縱坐標(biāo)之和和積，寫出直線的方程，然后利用前面得到的關(guān)系化簡即可.【詳解】（1）不難發(fā)現(xiàn)，點P在直線的右側(cè)，∴P到的距離等于P到直線的距離.∴P的軌跡為以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，∴曲線C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，解得或.∴，.又點A關(guān)于x軸的對稱點為D，則直線的方程為即令，得.∴直線恒過定點，而點.64．已知橢圓：與軸交于，兩點，為橢圓的左焦點，且是邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，點關(guān)于軸的對稱點為（與，都不重合），判斷直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.【答案】（1）;（2）,證明見詳解【分析】(1)由題意可得,由△是邊長為2的等邊三角形,可得,,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)出直線的方程和,的坐標(biāo),則可知的坐標(biāo),進而表示出的直線方程,再聯(lián)立方程與橢圓方程,即可把代入求得,結(jié)合韋達定理進行化簡,進而得出直線與軸交于定點.【詳解】(1)由題意可得,,,,由△是邊長為2的等邊三角形,可得,,即,則橢圓的方程為;(2)由題可知直線的斜率不為0,故設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,得,即(),設(shè),,,,則,,又,,經(jīng)過點,,,的直線方程為,令,則,又,.當(dāng)時,.故直線與軸交于定點.65．已知橢圓過點，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若直線不經(jīng)過點，且與橢圓相交于兩點（、不重合），若直線與直線的斜率之積為.（?。┳C明：過定點，并求出定點坐標(biāo)；（ⅱ）求的面積的最大值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點（ii）【分析】（1）由橢圓過點，可知，又因為.可解得c,從而求得b,得到橢圓的方程.（2）（?。┓中甭什淮嬖谂c存在兩種情況分析，當(dāng)直線斜率不存在時，不符合題意；可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，可得，，再根據(jù)直線與直線的斜率之積為，得到，化簡為，將和代入整理得，，代入直線的方程得解.（ⅱ）先寫出三角形面積模型為，再利用基本不等式求最值..【詳解】（1）因為橢圓過點，所以，又因為.所以所以橢圓的方程為.（2）（?。┊?dāng)直線斜率不存在時，不符合題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，由韋達定理得：，，因為直線與直線的斜率之積為，所以，即，所以，整理得，故即直線的方程為（舍去）或，故過定點.（ⅱ）設(shè)的面積為，則因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時滿足，所以的面積的最大值為.66．已知動圓P與圓：內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意分析可得動圓圓心的軌跡為拋物線,再根據(jù)拋物線的幾何意義求解方程即可.(2)設(shè)點,,直線的方程為：,聯(lián)立直線與拋物線的方程,求得韋達定理代入求得或,再分析定點即可.【詳解】解：（1）由題意可知,動圓圓心到點的距離與到直線的距離相等,所以點的軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為．（2）易知,設(shè)點,,直線的方程為：,聯(lián)立,得,所以,所以因為,即,所以,所以,所以或當(dāng)時,直線的方程：過定點與重合,舍去；當(dāng)時,直線的方程：過定點,所以直線過定點．67．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點焦點在x軸上，橢圓C上一點A（2，﹣1）到兩焦點距離之和為8.若點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點D在y軸上，求直線BP的方程；（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點.若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）y＝±x+2（3）經(jīng)過定點；定點（0，）【分析】（1）利用橢圓的定義和待定系數(shù)法可求橢圓的方程；（2）利用BP⊥BQ，32可得直線的斜率，從而可求直線BP的方程；（3）先表示直線PQ的方程，結(jié)合直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)，建立等量關(guān)系進行判定.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為：1由題意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，所以橢圓的方程為：.（2）由（1）得B（0，2）顯然直線BP的斜率存在且不為零，設(shè)直線BP為：y＝kx+2，與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；直線BQ：yx+2，代入橢圓中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，同理可得Q（，），由32得，∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，由于D在y軸上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，所以直線BP的方程為：y＝±x+2.（3）當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，設(shè)直線PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBP?kBQ?，要使是一個常數(shù)λ，λ＜0，所以不成立.當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為：y＝kx+t，設(shè)P（x，y），Q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，∴kBP?kBQ，所以由題意得：λ，解得：t，所以不論k為何值，x＝0時，y，綜上可知直線恒過定點（0，）.68．設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；（2）若，弦AB是否過定點，若過定點，求出該定點，若不過定點，說明理由.【答案】（1），證明見解析（2）過定點，（0,）【分析】(1)對直線的斜率是否存在進行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；(2)設(shè)AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和求出b的值，從而得到定點的坐標(biāo).【詳解】解：（1）