2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破05函數(shù)解析式

函數(shù)解析式專項突破高考定位函數(shù)的表示有三種圖像法、列表法、解析法，在高考中每年都會考察，解析式的考察一直是高考的重點，既有常規(guī)的求解析式求法融合在函數(shù)綜合題中，也有新高考中的新形式，比如給圖寫式，給性質(zhì)寫式等，考察學(xué)生的多維的思維能力，對函數(shù)的整體把握?？键c解析（1）換元法求解析式（2）方程組求解析式（3）利用對稱性周期性求解析式（4）給圖辨析解析式（5）開放試題中的解析式（6）目標(biāo)量（式）的函數(shù)解析式化分項突破類型一、換元法求解析式例1-1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x2+1）＝x4，則函數(shù)y＝f（x）的解析式是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用湊配法求得解析式.【詳解】，且，所以.故選：B.練.（多選）函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的,后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯．德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地,設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)”,則下列對應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對于A.令,符合函數(shù)定義；對于B,令,設(shè),一個自變量對應(yīng)兩個函數(shù)值,不符合函數(shù)定義；對于C,設(shè)當(dāng)則x可以取包括等無數(shù)多的值,不符合函數(shù)定義；對于D.令,符合函數(shù)定義．故選AD練（2022秋?渝中區(qū)校級月考）對任意x∈R，存在函數(shù)f（x）滿足（）A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x【分析】根據(jù)函數(shù)定義，每個自變量只能對應(yīng)唯一一個函數(shù)值．對于A、B、C可采用取特殊值來排除，對于D選項可利用換元法來求函數(shù)的解析式即可判斷．【解答】解：對于A，取x=π4，則cosx=22；sin2x＝1，∴f（若取x=-π4，則cosx=22；sin2x＝﹣1，∴f則f（22）＝1又f（22）＝﹣與函數(shù)的定義，“每個自變量x只能對應(yīng)唯一一個函數(shù)值y”矛盾，故A錯誤；同理，對于B，取2x=π3，則sin2x=32；sinx=12，∴若取2x=2π3，則sin2x=32；sinx=32，故B錯誤；同理，對于C，取x=π3，則sinx=32；sin2x=32，∴若取x=2π3，則sinx=32；sin2x=-32故C錯誤；對于D，令sinx＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，滿足函數(shù)定義．故選：D．類型二、方程組求解析式例2-1（2021·湖南·高三月考）已知函數(shù)滿足，則（）A．的最小值為2 B．，C．的最大值為2 D．，【答案】D【分析】先求得，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定正確選項.【詳解】因為（i），所以用代換得（ii）.（i）×2（ii）得，即，從而只有最小值，沒有最大值，且最小值為1.，.故選：D.練．已知函數(shù)在R上滿足，則曲在點處的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)求出函數(shù)的解析式，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得到在點處的切線方程的斜率，最后根據(jù)點斜式可求切線方程.【詳解】，.

.

將代入，得，

，，

在處的切線斜率為，

函數(shù)在處的切線方程為，即.

故選：A.練．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均定義在上，且滿足，則______．【答案】【分析】先用列方程組法求出和的解析式，代入即可求解.【詳解】因為……①所以因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以……②①②聯(lián)立解得：，，所以.故答案為：.練。若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【答案】，.【解析】第一步，首先設(shè)出所求區(qū)間的自變量：用代換解析式中的，所以，第二步，運(yùn)用已知條件將其轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間滿足的的取值范圍：因為函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，第三步，利用已知解析式確定所求區(qū)間相應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式：聯(lián)立，解之得，.【點評】這里運(yùn)用了構(gòu)造法，把符合要求的奇函數(shù)與偶函數(shù)構(gòu)造出來，問題也就解決了，構(gòu)造的關(guān)鍵是運(yùn)用奇、偶函數(shù)的概念，并聯(lián)系方程組的知識.類型三、利用對稱性求解析式例3-1．（2021·安徽·六安二中高三月考）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，則，又由為奇函數(shù)，則，故選：D.練．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)可得，求導(dǎo)可求解，，即得解【詳解】當(dāng)時，，則，此時，則，則，，所求切線方程為，即.故選：D練。【2021湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜”聯(lián)考】若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又∵函數(shù)的反函數(shù)為：即，函數(shù)的圖象向左平移兩個單位可得，故選C．類型四、利用周期性求解析式例4-1【2021上海市崇明區(qū)高三】設(shè)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的解析式是________【答案】【解析】設(shè)，則，結(jié)合題意可得：，設(shè)，則，故.綜上可得，函數(shù)在上的解析式是.練．定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，不等式的解為___________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及條件求得函數(shù)周期，從而求得時對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后解一元二次不等式即可.【詳解】，函數(shù)周期為2；當(dāng)時，，則當(dāng)時，，由知，當(dāng)時，，故時，則不等式即，解得，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：難點在于求得函數(shù)在對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而解一元二次不等式.類型五、由圖像判定解析式例5-1（2019·甘肅·蘭州五十一中高一期中）若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可以為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的基本特征，利用函數(shù)定義域、值域、奇偶性等排除可得答案．【詳解】選項B根據(jù)圖象可知：函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，B排除；選項C根據(jù)圖象x趨向于，函數(shù)值為負(fù)，與C矛盾故排除；選項D函數(shù)圖象在第三象限，，與D的定義域矛盾，故排除；由此可得只有選項A正確；故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)圖象判斷解析式，此類問題主要利用排除法，排除的依據(jù)為函數(shù)的基本要素和基本性質(zhì)，如定義域、值域、零點、特殊點、奇偶性、單調(diào)性等，屬于中等題.練．函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的解析式可能為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，從函數(shù)的定義域，和時判斷.【詳解】由圖象得函數(shù)的定義域為，排除；由，排除D；由時,，排除B．故選：C.練（2020·浙江·臺州市黃巖中學(xué)高三月考）某函數(shù)的部分圖像如下圖，則下列函數(shù)中可作為該函數(shù)的解析式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)值恒大于等于，排除選項A、B、D，則答案可得.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)值恒大于等于，而A選項中，當(dāng)時，，故排除A；當(dāng)時，函數(shù)值恒大于等于，而B選項中，當(dāng)時，，故排除B；當(dāng)時，函數(shù)值恒大于等于，而D選項中，當(dāng)時，，故排除D；因此，C選項正確；故選：C.【點睛】本題考查由函數(shù)圖象判斷函數(shù)的解析式，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，破解此類問題的技巧：一是活用性質(zhì)，常利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性來排除不適合的選項；二是利用特殊點排除不適合的選項，從而得出合適的選項.本題屬于中等題.練（2019·全國·高三月考（理））已知函數(shù)圖象如下，則函數(shù)解析式可以為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且定義域為，然后分析各選項中各函數(shù)的定義域與奇偶性，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù).對于A選項，的定義域為，不合乎題意；對于B選項，令，得，則函數(shù)的定義域不為，不合乎題意；對于C選項，函數(shù)的定義域為，且，該函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意；對于D選項，函數(shù)的定義域為，且，該函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點與函數(shù)值符號，結(jié)合排除法求解，考查推理能力，屬于中等題.類型六、開放性解析式求解例6-1、(2022·江蘇南京市二十九中學(xué)高三10月月考)寫出一個最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)___________.【答案】(答案不唯—)【解析】【分析】根據(jù)題意，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)解析式【詳解】解：因為是最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)，所以，或，或等（答案不唯—)，故答案為：（答案不唯一）練、（2021·山東泰安市·高三三模）請寫出一個值域為且在上單調(diào)遞減的偶函數(shù)_______．【答案】【解析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：符合題設(shè)函數(shù)性質(zhì).【詳解】由在上偶函數(shù)，值域為且在上單調(diào)遞減，故答案為：練．若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且關(guān)于直線對稱，則______（寫出滿足條件的一個函數(shù)即可）.【答案】，【分析】由于三角函數(shù)既有中心對稱又有軸對稱，故選三角函數(shù)即可得解.【詳解】易知三角函數(shù)的圖像既有中心對稱點，又有對稱軸，由滿足此條件，故答案為：.練．已知函數(shù)滿足：（1）對于任意的，有；（2）對于任意的，且，都有.請寫出一個滿足這些條件的函數(shù)____________________________.(寫出一個即可)【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)和在上為減函數(shù)，即可得到函數(shù)解析式.【詳解】由題知：設(shè)，因為任意的，有，，，，所以滿足對于任意的，有；因為對于任意的，且，都有，所以為上減函數(shù)，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）練．如果函數(shù)對任意的正實數(shù)a，b，都有，則這樣的函數(shù)可以是______（寫出一個即可）【答案】【分析】由條件，分析乘積的函數(shù)值為函數(shù)值的和，考慮對數(shù)函數(shù)，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，函數(shù)對任意的正實數(shù)a，b，都有，可考慮對數(shù)函數(shù)，滿足，故答案為：.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的解析式和性質(zhì)，注意條件的特點，即乘積的函數(shù)值為函數(shù)值的和，著重考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.練．某函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在遞減，在遞增，則此函數(shù)可以是______（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)是偶函數(shù)，可從二次函數(shù)考慮.【詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù)，又在遞減，在遞增，則此函數(shù)可以是，故答案為：（答案不唯一）類型七、目標(biāo)量（式）的函數(shù)解析式化例7-1.（2021·云南高三二模（理））已知函數(shù)，若，且，設(shè)，則的取值范圍為________.【答案】【解析】用表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】畫出圖象如下圖所示，，令，解得，由得，，且所以，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值為，當(dāng)時，取得最小值為.所以的取值范圍是.故答案為：練.（2021春?萊州市期末）已知函數(shù)，，若，則的最大值是．【解答】解：設(shè)，則，，所以；構(gòu)造函數(shù)，；又因為，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為（2）；故答案為：．練．若函數(shù)圖象在點處的切線方程為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，表示出切線方程，再求出的表達(dá)式，最后借助導(dǎo)數(shù)即可作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，于是得，函數(shù)圖象在點處的切線方程為，整理得：，從而得，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：D練．某農(nóng)家小院內(nèi)有一塊由線段OA,OC,CB及曲線AB圍成的地塊,已知,點A,B到OC所在直線的距離分別為1m,2m,,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,已知曲線OAB是函數(shù)的圖象,其中曲線AB是函數(shù)圖象的一部分．（1）求函數(shù)的解析式；（2）P是函數(shù)的圖象上的動點,現(xiàn)要在如圖所示的陰影部分（即平行四邊形PMCN及其