裸眼井和套管井中偶極聲場的輻射和接收

裸眼井和套管井中偶極聲場的輻射和接收唐曉明;曹景記;魏周拓【摘要】運(yùn)用彈性波互易原理,指出并驗(yàn)證井中聲場輻射和接收存在的互易性,使得井的接收響應(yīng)可以由井的輻射因子計(jì)算得到,并結(jié)合輻射聲場的遠(yuǎn)場漸近解,使得遠(yuǎn)探測聲場的計(jì)算效率顯著提高；模擬結(jié)果與三維有限差分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果吻合.由于井對聲場輻射和接收的調(diào)制作用,偶極橫波遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)SH型橫波的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于SV型橫波的貢獻(xiàn),這一結(jié)果為數(shù)據(jù)的處理和解釋提供了理論基礎(chǔ)；模擬數(shù)據(jù)及其成像處理結(jié)果還證明了橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)在套管井中的可行性.所提的理論和方法可以快速模擬偶極橫波遠(yuǎn)探測聲場.期刊名稱】《中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》年(卷),期】2013(037)005【總頁數(shù)】8頁(P57-64)【關(guān)鍵詞】橫波反射成像;偶極聲源;并中輻射;并中接收;彈性波互易原理;套管井【作者】唐曉明;曹景記;魏周拓【作者單位】中國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,COSL-UPC聲學(xué)測井聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,山東青島266580沖國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,COSL-UPC聲學(xué)測井聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，山東青島266580;中國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,COSL-UPC聲學(xué)測井聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,山東青島266580【正文語種】中文中圖分類】P631.8近年來,偶極橫波遠(yuǎn)探測成像測井已成為探測井外地質(zhì)構(gòu)造的一種有效的測井技術(shù)［1-5］。遠(yuǎn)探測聲場數(shù)據(jù)的數(shù)值模擬十分重要,它可以分析地層彈性性質(zhì)的變化、井對聲場的調(diào)制、測井儀器中聲源和接收器的位置以及聲源頻率等因素對聲場的影響,為儀器的設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)處理和解釋提供依據(jù)。通常采用的三維有限差分模擬技術(shù)［3,6-7］能夠精確模擬聲場,但速度較慢。低頻近似的方法［1］模擬結(jié)果與實(shí)際結(jié)果存在誤差(偶極儀器的工作頻率為數(shù)千赫茲)。筆者運(yùn)用彈性波互易原理和聲場的遠(yuǎn)場近似，提出快速模擬偶極SH和SV橫波遠(yuǎn)探測聲場的方法,并研究這兩種橫波分量在遠(yuǎn)探測測井中的貢獻(xiàn)。另外,還模擬套管井中的偶極遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù),并對其進(jìn)行成像處理。遠(yuǎn)探測聲場的模擬是一個(gè)復(fù)雜的理論問題,因?yàn)榫薪邮盏降穆晥鍪芏喾N因素的影響,包括井中聲源向井外地層的輻射、聲場在地層中的反射,以及井對反射波的響應(yīng)等。考慮這些影響因素以及波在傳播路徑上的傳播效應(yīng),給出井中的遠(yuǎn)探測聲波在頻率域內(nèi)的表達(dá)形式如下［1］：式中,V為井中接收到的遠(yuǎn)探測聲波頻譜;S為聲源頻譜;DR為聲場輻射因子,CR為井對反射聲場的接收因子(即接收響應(yīng)),FR為波在地層反射體處的反射系數(shù),這些因子都可以隨圓頻率3變化;D為從聲源到反射體,再從反射體到井中接收器的總傳播距離;QP和P分別為橫波的品質(zhì)因子和波速。除以上因素外,波場還受傳播效應(yīng)的影響。影響之一為波在傳播路徑上的幾何擴(kuò)散1/D,其二是波在傳播路徑上的非彈性衰減exp(-3D/2QPP)。事實(shí)上,在研究井中聲源的輻射問題時(shí),人們已經(jīng)使用過互易原理。例如,對井中的單極子聲源,White［8］利用互易原理得到了低頻條件下的輻射指向性。但偶極聲源條件下的應(yīng)用尚未有報(bào)道。特別地是,遠(yuǎn)探測聲波要經(jīng)歷聲場輻射和接收的過程。聲場輻射與接收之間的互易性,除了對井孔聲場的研究具有理論意義外,還可以將式(1)的計(jì)算量減少近一半。為了將互易原理應(yīng)用于井中的偶極聲源,首先利用輻射聲場的遠(yuǎn)場漸近解來計(jì)算聲場的遠(yuǎn)場輻射因子;對于輻射距離大于波長的聲場計(jì)算,該結(jié)果對任意頻率都是適用的。將輻射的橫波分解為SH型和SV型橫波分量，通過理論分析和數(shù)值計(jì)算,可以證明偶極聲源向井外的橫波輻射與偶極接收的遠(yuǎn)場橫波對井的入射事實(shí)上是等同的。這樣,在理論模擬中,只需利用遠(yuǎn)場漸近解計(jì)算聲源的輻射因子,并由其得到井的接收響應(yīng)?；谶h(yuǎn)場漸近解的精確性和聲場輻射與接收之間的互易性,可以準(zhǔn)確而便捷地模擬偶極橫波的遠(yuǎn)探測測井聲場。圖1給出了井中偶極聲源輻射所用的坐標(biāo)系統(tǒng)。充液井孔可以是裸眼井,也可以是套管井。井外是彈性地層(井與地層的模型參數(shù)見表1),井中的偶極聲源位于坐標(biāo)原點(diǎn),其振動方向與x軸重合。為討論橫波遠(yuǎn)探測問題,僅考慮偶極的橫波輻射,彈性地層中的橫波位移矢量由以下兩個(gè)位移勢函數(shù)給出：式中，為z軸方向的單位矢量;X和「分別為SH型和SV型橫波的位移勢。對于井中的偶極聲源，位移勢的譜函數(shù)［1］由以下波數(shù)(k)積分給出：式中,r和z為徑向和軸向距離;申為源和場點(diǎn)所在豎直平面與偶極振動方向的夾角的余角,K1和s的定義見下。對于裸眼井的情況,SH和SV波的振幅函數(shù)E和F由以下矩陣方程給出［9］：式中,A為井中偶極聲波的振幅系數(shù),B為井輻射縱波的振幅系數(shù)，這兩者不在本文考慮之內(nèi);和分別為井中偶極聲源在井壁上產(chǎn)生的徑向位移和徑向正應(yīng)力。上述矩陣和右邊源向量各元素的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中,In、Kn(n=0,1,2)分別為n階第一和第二類修正貝塞爾函數(shù);a為井孔半徑;k為軸向波數(shù);f為井中流體聲波的徑向波數(shù);P為地層縱波的徑向波數(shù);s為地層橫波的徑向波數(shù);pf為流體密度;P為地層密度;3為圓頻率;a為地層縱波速度;p為地層橫波速度。對于耦合良好的套管井,套管與水泥環(huán),及水泥環(huán)與地層之間的聲場由湯姆森哈斯克傳播矩陣T連接。假定井壁和地層之間有N-1圓柱層，第j層內(nèi)的傳播矩陣gj由該層在內(nèi)半徑di下的T(j,di)矩陣和外半徑do下的T(j,do)矩陣的逆矩陣相乘得到,即,gj二T(j,di)?T-1(j,do)。所有層內(nèi)g矩陣與地層中的T(N,dfm)矩陣的乘積記為G二根據(jù)矩陣G和M的推導(dǎo)，可以得到地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)E和F,由下面矩陣方程［9］確定：式(5)中的矩陣元素Mij以及方程右邊的各變量與方程(4)相同,G矩陣的元素Gij可以由不同層內(nèi)的T矩陣求出,T矩陣的元素表達(dá)式如下：其中,d為同心圓柱某一層介質(zhì)的半徑(d二di或d=do)。通過求解式(4)和(5)得到振幅系數(shù)E和F,再代入式(3)，用實(shí)軸積分的離散波數(shù)法［10-11］求解勢函數(shù),解出后代入式(2)便可得到分別在申和e方向偏振的SH型與SV型橫波位移譜。對于給定的源函數(shù)S(3)，將位移譜函數(shù)作傅里葉變換，便可得到空間任一點(diǎn)(r,z,e)上輻射的SH和SV波形。該計(jì)算過程與Meredith［11］對單極輻射的計(jì)算過程相似。對遠(yuǎn)探測而言,井中聲源輻射的聲波深入到地層內(nèi)部,與地層中的反射體作用產(chǎn)生反射。在輻射距離遠(yuǎn)大于波長的條件下,可以用最速下降法［12］求解式(3),得到橫波位移勢的遠(yuǎn)場漸近解［1］：其中為橫波波數(shù)的最速下降解。將式(6)代入式(2)，在忽略O(shè)(1/R2)的條件下，得到SH和SV波的遠(yuǎn)場位移譜的表達(dá)式：式中,p和p分別為地層的密度和剪切模量。式(7)中括號里的表達(dá)式為一無量綱組合，它們分別定義了SH和SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性：令k=k0,求解矩陣方程(4)和(5)，得到裸眼井(方程(4))與套管井(方程(5))條件下SH及SV橫波的振幅系數(shù)E和F,由此便得到任意頻率下SH和SV波的偶極輻射指向性。值得一提的是，在波長遠(yuǎn)大于井徑的低頻條件下,Tang和Patterson［1］得到了式(7)在裸眼井條件下的解析表達(dá)式。該結(jié)果與無限大彈性介質(zhì)中單力源的橫波輻射相同,說明在低頻條件下井中偶極輻射與井無關(guān)。但當(dāng)頻率增加,波長變短時(shí),井中聲源的輻射會受到井的調(diào)制作用,而這種調(diào)制在裸眼井和套管井的情況是不一樣的。采用輻射聲場的遠(yuǎn)場漸近解式(6),將漸近解的結(jié)果與實(shí)軸積分法的精確解結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證其精確性。計(jì)算采用的源函數(shù)為3kHz的Kelly源[7],偶極聲源位于z=0的平面;接收陣列距井5m,沿z軸上方延伸，接收間距為1m,模擬參數(shù)見表1。以SH橫波為例，圖2(a)和圖2(b)分別是在裸眼井與套管井條件下利用漸近解與精確解計(jì)算的SH反射波波形，兩者幾乎完全重合，證明了漸近解的精確性，同時(shí)還說明偶極聲源輻射的遠(yuǎn)場橫波是幾何擴(kuò)散因子為1/R的球面波。圖3給出了裸眼井與套管井下的遠(yuǎn)場輻射指向性。輻射指向性因子由式(8)取模得到,指向角的變化范圍為0~360°。計(jì)算SH指向性時(shí)，取申=0°,場點(diǎn)位于yoz平面內(nèi);計(jì)算SV指向性時(shí)，取申=90。,場點(diǎn)位于xoz平面內(nèi)。在這兩個(gè)參考平面之外的SH和SV的輻射指向性則分別以cos申和sin申的形式呈規(guī)律性的變化，如式(8)所示。因此，只考慮這兩個(gè)參考平面中的SH或SV的輻射指向性。由于套管和水泥環(huán)的存在,套管井對聲場輻射的調(diào)制作用不同于裸眼井,圖3所示的裸眼井與套管井下的遠(yuǎn)場輻射指向性之間的差異說明了這一點(diǎn)。由圖可見,相對于裸眼井,套管井的偶極聲場輻射在垂直于井軸方向大為壓縮。為了模擬充液體井中接收到的遠(yuǎn)探測聲場，還須知道式(1)中井的接收響應(yīng)CR。CR的定義是：對(入射角度和波長一定的)彈性平面波入射,井中接收器測量到的流體位移。CR反映了接收信號隨入射角的變化，稱為接收因子。Schoenberg(1986)和Peng(1993)對此問題作了詳盡的理論分析[13-14];分析井的響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。本文中根據(jù)井中聲源輻射和聲場接收的互易性,用計(jì)算輻射因子的方法來計(jì)算接收響應(yīng)。直井中水平放置的偶極子聲源在井內(nèi)流體中產(chǎn)生一水平向位移,而井中偶極接收器測量的是接收指向上入射波產(chǎn)生的水平位移［10,15］。對于這種偶極發(fā)射和接收的情形,彈性波的互易原理可以表述為：井中單位幅度的水平向位移沿某一方向輻射產(chǎn)生的井外遠(yuǎn)場橫波位移等于沿同一方向向井入射的單位振幅的平面橫波在井中原水平方向產(chǎn)生的位移。根據(jù)以上互易原理，井對SH或SV波入射的響應(yīng)函數(shù)CR即為式(8)表示的SH或SV波的輻射因子。值得指出的是，上述結(jié)論對裸眼井和套管井的情況都是適用的,因?yàn)閺椥圆ǖ幕ヒ仔栽韺鶆蚪橘|(zhì)(對應(yīng)于裸眼井外的均勻彈性地層)和非均勻介質(zhì)(對應(yīng)于套管井時(shí)的分層情況)都是成立的。下面用裸眼井的計(jì)算實(shí)例來證明井中聲源輻射和聲場接收的等同性。圖4比較了聲源頻率分別為0.2和4.0kHz時(shí)聲場接收(曲線)與聲場輻射(標(biāo)識符)因子。計(jì)算所用的是表1所列的裸眼井的模型參數(shù)。輻射指向因子由式(8)取模得到。計(jì)算SH波因子時(shí)，取申二0,使入射波的偏振與聲源指向平行;計(jì)算SV波因子時(shí)，取申二n/2,使入射波的偏振與聲源指向共面。接收因子由Peng(1993)的公式計(jì)算得到(也可以參考Schoenberg(1986)的公式)［13-14］。計(jì)算結(jié)果表明：井中聲源輻射與聲場接收的等效性在由低到高的不同頻率都是成立的。圖4中SH與SV的輻射圖樣(標(biāo)識符)和相應(yīng)的接收圖樣(曲線)吻合得相當(dāng)好。除證明了輻射和接收的互易性外,這些方向因子圖樣還表明了井對聲源輻射/聲場接收的頻率調(diào)制作用。低頻時(shí),方向因子幾乎不受井的影響,且與無限大介質(zhì)中單力源的輻射因子［1］相同。但是,隨著頻率增加,波長相對于井徑的比例縮小,井對聲場的輻射和接收的調(diào)制作用變得十分明顯。如圖4(b)所示,SH和SV方向因子的幅度向水平方向明顯增強(qiáng)。圖4(b)表明,要真實(shí)地模擬數(shù)千赫茲工作頻率聲源產(chǎn)生的遠(yuǎn)探測聲場，必須考慮井對聲場輻射和接收的調(diào)制作用。運(yùn)用偶極聲場的遠(yuǎn)場漸近解和聲場輻射與接收的等效性,便可以用式(1)快捷、有效地模擬偶極橫波的遠(yuǎn)探測聲場。圖5給出了位于井旁地層中的一個(gè)簡單反射體模型。其中，偶極聲源位于井中T處，偶極接收器R位于聲源上方距離H處,指向與聲源相同。反射體為一傾斜的地層界面,界面兩邊的彈性參數(shù)由表1給出,接收器到界面與井交接處的距離為乙界面與井的交角為e。對于圖6所示的模型,計(jì)算式（1）所需的幾何參數(shù)［16］由下式得出：式中，屮為波對反射界面的入射（或反射）角;et為波從井中的出射角；ei為經(jīng)反射后波向井的入射角。對圖5所示的同一幾何模型，式（1）可以用來模擬SH和sv的遠(yuǎn)探測聲場。一般而言，測井時(shí)偶極聲源的指向是可以任意的,這時(shí)接收到的遠(yuǎn)探測聲場是SH和SV波的線性組合［1］。所以，這里只考慮SH和SV波的模擬計(jì)算。運(yùn)用式（8）中的SH和SV波的輻射因子和輻射與接收的等效性，得到SH波和SV波的輻射與接收因子。式（1）中SH和SV波在反射體處的反射系數(shù)FR可以用Zoeppritz公式［12］計(jì)算得到。將計(jì)算結(jié)果與聲源函數(shù)S（3）褶積，得到井中SH和SV遠(yuǎn)探測聲場的波譜，對該波譜做傅里葉變換,便可得到聲場的模擬波形數(shù)據(jù)。為了驗(yàn)證上述理論和方法的可靠性與精確性,將模擬結(jié)果與三維有限差分的精確模擬結(jié)果進(jìn)行比較。圖6是在裸眼井的情況下,對圖5的反射體模型分別采用本文方法（紅色）和三維有限差分（黑色）方法模擬的SH反射波的對比。聲源的中心頻率為3kHz。差分方法是全波模擬方法，其結(jié)果包括了首先到達(dá)的鉆井彎曲波和后續(xù)的SH反射波;而式（1）的方法只模擬了全波中的反射波部分。為了使對比結(jié)果更加清晰，圖6僅顯示了5~12ms內(nèi)，接收距離為0.8~4m的反射波波形。兩方法的結(jié)果吻合得相當(dāng)好,表明本文所述模擬方法是正確和有效的。然而,這兩種方法的計(jì)算效率差別巨大,利用三維有限差分模擬圖6中的反射波需要耗費(fèi)數(shù)小時(shí),而本文方法耗時(shí)僅數(shù)秒。因此,本文所述理論為模擬橫波遠(yuǎn)探測的反射波數(shù)據(jù)提供了一種快速有效的方法。為了研究SH和SV型橫波的遠(yuǎn)探測聲場，對圖5的反射體模型還模擬了SV波的遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)，與圖6的SH波形重疊在一起進(jìn)行比較，如圖7所示。模擬過程所用的聲源是一樣的,但圖7中顯示二者在井中的接收波形振幅有很大的差別,這從井對聲場輻射和接收的調(diào)制作用可以得到很好的解釋。根據(jù)圖2~4所示的SH和SV波的輻射因子圖樣(同時(shí)又是接收因子圖樣)，在輻射角偏離井軸情況下的SH圖樣的幅度要比SV圖樣的大許多，而遠(yuǎn)探測聲場在輻射和接收過程中要受到兩次這樣的調(diào)制，這就使得SV的波幅比SH的大為降低。由于其對輻射方向的良好覆蓋性和對遠(yuǎn)探測聲場的主要貢獻(xiàn),SH波構(gòu)成了偶極橫波遠(yuǎn)探測測井的重要依據(jù)。這一結(jié)果為橫波遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)的處理和解釋提供了理論基礎(chǔ)。作為本文理論和方法的一個(gè)重要應(yīng)用,本文模擬了套管井中的遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)。圖8右圖給出了過井的多反射界面模型，井段深度區(qū)間約為100m;模型中部有三個(gè)虛線繪出的反射界面。自上而下,反射界面與井軸的交角分別為60°、30°和45°;間距分別為10和15m。對此模型模擬由偶極陣列測井儀采集的SH橫波的遠(yuǎn)探測全波數(shù)據(jù)。陣列中有8個(gè)間距為0.1524m的接收器,偶極聲源位于陣列下方3m處測井聲場的深度和時(shí)間采樣間隔分別為0.1524m和36ps。模擬的聲源的中心頻率為3kHz,地層為無衰減(QP=8)的彈性介質(zhì)。所用的套管、水泥環(huán)和地層的參數(shù)見表1。圖8的左圖是模擬得到第一接收器上的遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)的變密度圖。其中,變密度圖顏色的深淺反映了波幅的強(qiáng)弱。從圖中看到,井中彎曲波的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于來自井外地層界面的反射波的幅度;另外,隨著記錄時(shí)間(即波在地層中的雙程傳播時(shí)間)的增加,反射波波幅逐漸減小;但波幅的變化除式(1)所示的球面波擴(kuò)散外,還受井孔的調(diào)制。對不同傾角的反射界面,波輻射的出射角以及反射后回井的入射角有所不同,故井對波調(diào)制作用的大小也不同。對左圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行反射波成像處理,成像結(jié)果由右圖的變密度圖給出。地層反射界面與模型中界面位置完全吻合;界面與井的交角越小,成像的徑向深度越深,符合單井反射的成像原理[17],說明模擬結(jié)果的正確有效。圖8的例子從理論上證明了在套管井中的遠(yuǎn)探測成像測井的可行性,這在實(shí)際測井?dāng)?shù)據(jù)處理中也得到了證實(shí)［2］。對裸眼和套管井中的偶極遠(yuǎn)探測聲場模擬需要考慮在聲源的工作頻帶內(nèi)井對聲場輻射和接收的調(diào)制作用。輻射因子的計(jì)算可以采用遠(yuǎn)場漸近解,這在輻射距離大于波長的條件下足夠精確。聲場的接收響應(yīng)可以利用聲場輻射和接收的互易原理從輻射場計(jì)算得到。對充液井中與井軸垂直指向的偶極接收器，其SH和SV橫波的接收響應(yīng)可以分別由SH和SV橫波的輻射因子計(jì)算得到。遠(yuǎn)場漸近解和互易原理的運(yùn)用提供了一種快速而精確的計(jì)算偶極橫波遠(yuǎn)探測聲場的方法,可以用來便捷有效地模擬和分析井和地層參數(shù)對聲場的影響。模擬結(jié)果表明：偶極橫波遠(yuǎn)探測聲場中SH波的貢獻(xiàn)占了主要的成分,為遠(yuǎn)探測數(shù)據(jù)的處理和解釋提供了理論依據(jù)。對套管井遠(yuǎn)探測測井?dāng)?shù)據(jù)的模擬和成像處理證明了該技術(shù)應(yīng)用于套管井中的可行性?！鞠嚓P(guān)文獻(xiàn)】TANGXM,PATTERSOND.Single-wellS-waveimagingusingmulti-componentdipoleacousticlogdata[J].Geophysics,2009,74(6)：211-223.BRADLEYT,PATTERSOND,TANGXM.Applyingathrough-casingacousticimagingtechniquetoidentifygasmigrationpathsinasaltbody[J].EAGE,2011,29(7)：75-84.WEIZT,TANGXM.Numericalsimulationofradiation,reflection,andreceptionofelasticwavesfromaboreholedipolesource[J].Geophysics,2012,77(6)：D253-D261.[4]唐曉明，魏周拓利用井中偶極聲源遠(yuǎn)場輻射特性的遠(yuǎn)探測測井J]?地球物理學(xué)報(bào),2012,55(8)：2798-2807.TANGXiao-ming,WEIZhou-tuo.Single-wellacousticreflectionimagingusingfar-fieldradiationcharacteristicsofaboreholedipolesource[J].ChineseJGeophys,2012,55(8)：2798-2807.⑸唐曉明,魏周拓?聲波測井技術(shù)的重要進(jìn)展：偶極橫波遠(yuǎn)探測測井[幾應(yīng)用聲學(xué),2012,31(1)：1017.TANGXiao-ming,WEIZhou-tuo.Significantprogressofacousticloggingtechnology：remoteacousticreflectionimagingofadipoleacousticsystem[J].AppliedAcoustics,2012,31(1)：10-17.魏周拓?反射聲波測井?dāng)?shù)值與物理模擬研究[D]?青島：中國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,2011.WEIZhou-tuo.Researchonsingle-wellacousticimagingloggingbyusingnumericalmodelingandexperimentalmeasurement[D].Qingdao：SchoolofGeosciences,ChinaUniversityofPetroleum,2011.CHENGN,CHENGCH,TOKS0ZMN.Boreholewavepropagationinthreedimensions[J].JournaloftheA-cousticalSociet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