高等數(shù)學教案模板

廣東理工職業(yè)學院教學方案系（部）基礎部教師譚志明課程名稱高等數(shù)學2課程代碼學分2課時32編制日期：-8-21講課班級1：班講課班級2：班課程性質(zhì)公共必修課（）公共選修課（√）專業(yè)必修課（）專業(yè)選修課（）課程類型理論課（√）理論＋實踐課（）實踐課（）考核方式考試（√）考察（）教材名稱（包括出版信息）吳贛昌．高等數(shù)學（理工類、高職高專版、第二版）．北京：中國人民大學出版社．5月課程單元課程單元名稱課時講課地點單元1多元函數(shù)微積分16多媒體教室單元2無窮級數(shù)6多媒體教室單元3微分方程8多媒體教室總復習復習所有內(nèi)容2多媒體教室單元1多元函數(shù)微積分參照課時：16教學目的1.理解多元函數(shù)的概念,懂得多元函數(shù)的極限的概念。2.理解多元函數(shù)偏導數(shù)的概念，會求多元初等函數(shù)的一階偏導數(shù)和二元函數(shù)的二階偏導數(shù)。3.理解全微分的概念，懂得全微分存在的必要條件和充足條件。4.掌握復合函數(shù)求導法則,會求復合函數(shù)和隱函數(shù)一階偏導數(shù)。5.會求曲線的切線和法平面方程及曲面的切平面和法線方程。6.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。理解二重積分的概念,懂得二重積分的性質(zhì)。掌握在直角坐標系下二重積分的計算。掌握在極坐標系下二重積分的計算。10.會用二重積分處理簡樸的實際應用題(體積、曲面面積)。教學內(nèi)容§7.1多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念平面區(qū)域是指坐標平面上滿足某些條件的點的集合，圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界。包括邊界的平面區(qū)域稱為閉區(qū)域。不含邊界的平面區(qū)域稱為（開）區(qū)域。假如一種區(qū)域總可以被包括在一種以原點為中心的圓域內(nèi)，則稱此區(qū)域為有界區(qū)域，否則稱其為無界區(qū)域。例如：點集是一開區(qū)域，也是一有界區(qū)域（如圖7－1－1）；點集是一閉區(qū)域，也是一有界區(qū)域（如圖7－1－2）；而點集是一無界區(qū)域（如圖7－1－3）。二、多元函數(shù)的概念1．一元函數(shù)：是實數(shù)集的一種非空子集，對于內(nèi)任意的一種實數(shù)，按照對應法則，均有唯一確定的實數(shù)與之相對應，則稱（或）是的函數(shù)，記為，稱為自變量，稱為因變量，為定義域，為值域。2．二元函數(shù)：設是平面上的一種非空點集，假如對于內(nèi)的任一點，按照某種對應法則，均有唯一確定的實數(shù)與之對應，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，數(shù)集稱為值域。例如：圓柱體的體積和它的底半徑、高之間具有關系，這里，當在集合內(nèi)取定一對值時，就有唯一的值與之對應。3．n元函數(shù)：設是平面上的一種非空點集，假如對于內(nèi)的任一點，按照某種對應法則，均有唯一確定的實數(shù)與之對應，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，數(shù)集稱為值域。當時，元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。我們對多元函數(shù)的研究以二元函數(shù)為重要對象，而后將對應的概念和措施由二元函數(shù)推廣到二元以上的多元函數(shù)。4．n元函數(shù)的定義域：n元函數(shù)的自然定義域是指令函數(shù)的體現(xiàn)式故意義的所有的點所成的集合。例1函數(shù)的定義域為：（如圖7-1-3），這是一種無界開區(qū)域。例2函數(shù)的定義域為：（如圖7-1-4），這是一種無界開區(qū)域。5．二元函數(shù)的幾何意義設是定義在區(qū)域上的一種二元函數(shù)，點集稱為二元函數(shù)的圖形。三、二元函數(shù)的極限1．鄰域點的鄰域的定義：點的鄰域，點的去心的鄰域：。平面上的點的鄰域的定義：設是平面上的一種點，是某一正數(shù)，與點距離不不小于的點的全體，稱為點的鄰域，記作，即點的去心的鄰域記作，即注：是認為圓心為半徑的圓及其內(nèi)部，是認為圓心為半徑的圓的內(nèi)部。2．二元函數(shù)極限的概念一元函數(shù)極限的定義：設函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，假如當時，函數(shù)無限靠近于常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記作。二元函數(shù)極限的定義：設函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，假如當點無限趨近于點時，函數(shù)無限趨于一種常數(shù)，則稱為函數(shù)在時的極限，記為為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限。3．二元函數(shù)極限的四則運算性質(zhì)設有，，則有(1)(2)（為常數(shù)）(3)(4)4．求二元函數(shù)的二重極限二重極限的計算一般來說要比一元函數(shù)的極限復雜，計算也更困難，一般有如下的計算措施：（1）運用函數(shù)極限的定義。（2）運用求一元函數(shù)極限的某些措施如：兩個重要的極限，等價無窮小代換，夾逼定理等。（3）若函數(shù)在該點持續(xù)，極限一定存在，且恰好等于函數(shù)在該點的值。（4）若函數(shù)沿不一樣的途徑極限不相等，則可斷定其極限不存在。例3求極限。解令，則例4求極限。解例5求極限。解例6求極限。解例7證明不存在。證明令（為常數(shù)），則由此可見，極限值伴隨的變化而變化，故極限不存在。練習：求下列極限1．2．3．四、二元函數(shù)的持續(xù)性1．二元函數(shù)持續(xù)的定義設二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，假如同步滿足如下三個條件：（1）在點有定義；（2）存在；（3）。則稱函數(shù)在點處持續(xù)。假如函數(shù)在點處不持續(xù)，則稱函數(shù)在處間斷，點稱為的間斷點。2．二元初等函數(shù)由和的基本初等函數(shù)通過有限次的四則運算和復合運算所構成的一種可用式子表達的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。3．結論一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是持續(xù)的。4．幾種定理（1）定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域上的二元持續(xù)函數(shù)，在上至少獲得它的最大值和最小值各一次。（2）定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域上的二元持續(xù)函數(shù)在上一定有界。（3）定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域上的二元持續(xù)函數(shù)，若在上獲得兩個不一樣的函數(shù)值，則它在上必獲得介于這兩個值之間的任何值至少一次?！?.2偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法對于二元函數(shù)，假如固定自變量，則函數(shù)就是的一元函數(shù)，該函數(shù)對的導數(shù)，就稱為二元函數(shù)對的偏導數(shù)。1．定義定義1設二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當固定在而在處有增量時，對應地函數(shù)有增量假如存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為，，，類似地，函數(shù)函數(shù)在點處對的偏導數(shù)為記為，，，假如函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點處對的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是的函數(shù)，并稱為函數(shù)對自變量的偏導函數(shù)（簡稱為偏導數(shù)），記為，，，同理可以定義函數(shù)對自變量的偏導數(shù)，記為，，，2．偏導數(shù)的計算（1）求時，把看作常量而對求導數(shù)（相稱于求一元函數(shù)的導數(shù)）；求時，把看作常量而對求導數(shù)。（2）求詳細某點處的偏導數(shù)，可以用公式求出偏導數(shù)再代入該點坐標，也可以先將另一種看作常量的坐標值先代入再求一元函數(shù)的導數(shù)。（3）對于由多種解析式體現(xiàn)的分段函數(shù)，其分界點的導數(shù)只能用定義來求。（4）若對具有輪換對稱性，即在的體現(xiàn)式中將換為同步將換為時函數(shù)體現(xiàn)式不變，和構造相似，已知其中一種求另一種時只須將換為。例1解：例2設解：例3求在點處的偏導數(shù)。解，，例4設，求證。證明例5求的偏導數(shù)。解3．偏導數(shù)的幾何意義（略講）二、高階偏導數(shù)設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導數(shù)，。在內(nèi)和都是的函數(shù)，假如這兩個函數(shù)的偏導數(shù)都存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù)。按照對變量求導次序的不一樣，共有下列四個二階偏導數(shù)：（1）（2）（3）（4）其中（2）、（3）稱為混合偏導數(shù)。類似地，可以定義三階、四階、…以及階導數(shù)，我們把二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。例5設，求，，，。解，，，例6求的二階偏導數(shù)。解注：例5和例6中兩個二階混合偏導數(shù)均相等。我們有如下的定理：定理1假如函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域內(nèi)持續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有。由定理1可知：二階混合偏導數(shù)在持續(xù)的條件下與求偏導的次序無關。思索題：若函數(shù)在點持續(xù)，能否斷定在點的偏導數(shù)存在？解答：不能斷定在點的偏導數(shù)存在。例如：函數(shù)在處持續(xù)，但和都不存在?！?.3全微分一、全微分的定義1．偏增量、偏微分對于二元函數(shù)有上面兩式左端分別稱為二元函數(shù)對和的偏增量，而右端分別稱為二元函數(shù)對和的偏微分。2．全增量假如函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并設為該鄰域內(nèi)的任意一點，則稱為函數(shù)在點處對應于自變量增量，的全增量，記為，即(3.1)3．全微分定義1假如函數(shù)在點的全增量可以表達為(3.2)其中不依賴于，而僅與有關，，則稱函數(shù)在點處可微分，稱為函數(shù)在點的全微分，記為，即(3.3)4．定理假如函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有持續(xù)偏導數(shù)和，則在點處可微，且(3.4)習慣上，常將自變量的增量分別記為，并分別稱為自變量的微分。這樣，函數(shù)的全微分就表為(3.5)例1計算的全微分。解例2計算函數(shù)在點的全微分。解二、全微分在近似計算中的應用二元函數(shù)的全微分近似計算公式(3.7)例3運用全微分近似計算的值。解設二元函數(shù)，則要計算的數(shù)值，即有，取，，，由公式，有，，，即§7.4復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復合函數(shù)微分法1．復合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設函數(shù)，，構成復合函數(shù)，其變量間的互相依賴關系可用圖7-4-1來體現(xiàn)。求？定理1假如函數(shù)及都在點處可導，函數(shù)在對應點處具有持續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點處可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：(4.1)式中的導數(shù)稱為全導數(shù)。例1設，而，，求導數(shù)。解2．復合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形設函數(shù),,構成復合函數(shù)，其變量間的互相依賴關系可用圖7-4-2來體現(xiàn)。求和？定理2假如函數(shù)及都在點處有偏導數(shù)，函數(shù)在對應點處具有持續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點處有偏導數(shù)，且其偏導數(shù)可用下列公式計算：(4.2)(4.3)例2設，而，，求導數(shù)和。解二、隱函數(shù)微分法1．定義若由方程確定了是的函數(shù)，則稱這種由方程所確定的函數(shù)為二元隱函數(shù)。如：2．二元隱函數(shù)的偏導數(shù)計算公式設方程確定了是的函數(shù)，且，，持續(xù)及，則，例3求由方程確定的隱函數(shù)的兩個偏導數(shù)和。解設，則有，，，例4設由方程，求解法一、在方程兩邊對x求導，注意解法二、設解法三、在方程兩邊微分 即 ∴ 練習：求由方程確定的隱函數(shù)的兩個偏導數(shù)和?！?.5多元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)極值的概念1．二元函數(shù)極值的定義定義1設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，假如對該鄰域內(nèi)異于的任意一點，假如則稱函數(shù)在點處獲得極大值，假如則稱函數(shù)在點處獲得極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。2．二元函數(shù)的極值的必要條件定理1（必要條件）設函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零，即，3．駐點對于多元函數(shù)，能使所有的一階偏導數(shù)同步為零的點稱為函數(shù)的駐點。注：（1）具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點一定是駐點。（2）函數(shù)的駐點不一定是極值點。如：點是函數(shù)的駐點，但不是函數(shù)的極值點。（3）函數(shù)的極值點也不一定是駐點。如：函數(shù)在點處有極大值，但在點處的偏導數(shù)不存在（即不是駐點）。4．充足條件定理2（充足條件）設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有直到二階的持續(xù)偏導數(shù)，又，，令，，（1）當時，函數(shù)在處有極值，且當時有極小值，當時有極大值。（2）當時，函數(shù)在處沒有極值。（3）當時，函數(shù)在處也許有極值，也也許沒有極值。5.求二元函數(shù)極值的一般環(huán)節(jié)（1）解方程組，求出所有駐點。（2）求出函數(shù)的二階偏導數(shù)，通過的符號來判斷各駐點與否為極值點，并計算出函數(shù)在極值點處的極值。（3）檢查的一階偏導數(shù)不存在的點與否為極值點。即為極大值為極小值駐點極值點，需鑒別設、、f<0A<0極大值A>0極小值>0非極值=0不定例1求函數(shù)的極值。解解方程組得駐點再求出二階偏導數(shù)于是有：在點處，，又，故函數(shù)在該點處有極小值；在點處，，故函數(shù)在該點處沒有極值；在點處，，故函數(shù)在該點處沒有極值；在點處，，又，故函數(shù)在該點處有極大值。例2求的極值解：，，，，令得駐點，在，∴非極值，∴為極值點又∴為極小值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法設二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階持續(xù)偏導數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（為參數(shù)）的無條件極值問題。運用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的極值的基本環(huán)節(jié)為：（1）構造拉格朗日函數(shù)（其中為參數(shù)）（2）由方程組解出，其中就是所求條件極值的也許極值點。例3求表面積為而體積為最大的長方體的體積。解設長方體的長、寬、高分別為，則題設問題歸結為在約束條件下，求函數(shù)的最大值。作拉格朗日函數(shù)由方程組可得進而解得將其代入約束條件中，得唯一也許的極值點由問題自身意義知，該點就是所求最大值點，即表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積為最大，最大體積。例4、求曲面到平面的最短距離解法一、曲面上任一點（x，y，z）到平面的距離∴設得： 得： ∵駐點唯一∴解法二、曲面在任一點的切平面法矢量平面x+y-4z=1的法矢量當∥時，即得：,∵在點處切平面平行已知平面∴點到平面距離最短，例5、在曲面位于第一卦限部分上求一點，使該點的切平面與三個坐標面圍成的四面體的體積最小。∵曲面位于第一卦限部分上任一點（x，y，z）處的平面方程為：即，∴四面體體積故令由得：∵駐點唯一∴為所求點。例6、在第一象限內(nèi)，過橢圓曲線上任一點作橢圓的切線，求諸切線與坐標軸所圍成的三角形面積的最小值。解：在第一象限內(nèi)曲線上任一點（x，y）處的切線方程為：切線與兩坐標軸的截距分別為若要使S最小，只要最大故設由得：∵駐點唯一∴§7.6二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1．二重積分的定義定義1設是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域任意提成個小閉區(qū)域，其中表達第個小閉區(qū)域，也表達它的面積，在每個上任取一點作乘積并作和假如當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記為，即注：（1）在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的。在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域，則面積元素為，故二重積分可寫為。當在閉區(qū)域上持續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在。2．二重積分的幾何意義（1）當被積函數(shù)不小于零時，二重積分是柱體的體積。（2）當被積函數(shù)不不小于零時，二重積分是柱體的體積的負值。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設為常數(shù)，則性質(zhì)2假如閉區(qū)域被曲線分為兩個沒有公共內(nèi)點的閉子區(qū)域和，則性質(zhì)3假如在閉區(qū)域上，為，為的面積，則性質(zhì)4假如在閉區(qū)域上，有，則尤其地，有性質(zhì)5設分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值，為的面積，則這個不等式稱為二重積分的估值不等式。性質(zhì)6設函數(shù)在閉區(qū)域上持續(xù)，為的面積，則在上至少存在一點，使得這個性質(zhì)稱為二重積分的中值定理。例1比較積分與的大小，其中區(qū)域是三角形閉區(qū)域，三頂點各為，，?！?.7二重積分的計算（一）一、在直角坐標系下二重積分的計算1．X－型區(qū)域X－型區(qū)域：，其中，在區(qū)間上持續(xù)。Y－型區(qū)域Y－型區(qū)域：，其中，在區(qū)間上持續(xù)。二重積分的計算（1）積分區(qū)域為X－型區(qū)域的情形，則有。（2）積分區(qū)域為Y－型區(qū)域的情形，則有。例1、將二重積分化為累次積分，其中D為：(1)拋物線及所圍成解： 交點 ═(2)圓，， 所圍(3)，，所圍，例2、計算 , 0≤y≤1 練習1設積分區(qū)域，計算二重積分。練習2計算，其中是由直線，及所圍成的閉區(qū)域。練習3計算二重積分，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域。二、運用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算1.直角坐標平面上點的對稱性（1）點與點有關軸對稱。（2）點與點有關軸對稱。（3）點與點有關原點對稱。2.若積分區(qū)域有關軸對稱，則（1）當時，有。（2）當時，有，其中。3.若積分區(qū)域有關軸對稱，則（1）當時，有。（2）當時，有，其中。練習1計算，其中區(qū)域。§7.8二重積分的計算（二）一、在極坐標系下二重積分的計算直角坐標系與極坐標系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式為假如積分區(qū)域介于兩條射線，之間，對于內(nèi)任意一點的極徑總是介于曲線，之間，則區(qū)域的積分限為于是例1、計算 D：解：例2、 D：由，，， 所圍。解：例3、 D由,及軸所圍。 得交點 高等數(shù)學（2）第7章練習題一、單項選擇題。1．設，則（）。A．B．C．D．2．設，則（）。A．B．C．D．3．下列說法對的的是（）。A．可微函數(shù)在處到達極值，則必有；B．函數(shù)在處到達極值，則必有；C．若，則函數(shù)在點處到達極值。D．若或有一種不存在，則函數(shù)在點處一定沒有極值。4．設，，，若把看作的函數(shù)，則（）。A．B．C．D．5．下列各點中（）不是函數(shù)的駐點。A．B．C．D．6．二元函數(shù)在點處（）。A．持續(xù)，偏導數(shù)存在B．持續(xù)，偏導數(shù)不存在C．不持續(xù)，偏導數(shù)存在D．不持續(xù)，偏導數(shù)不存在7．函數(shù)的極值點為（）。A．B．C．D．不存在8．根據(jù)二重積分的幾何意義可知（），積分區(qū)域為及，圍成的區(qū)域。A．B．C．D．9．下列不等式中對的的是（）。A．B．C．D．10．設，，，其中為圓盤，則，，的大小關系為（）。A．B．C．D．11．設在上持續(xù)，則對，當（）時，。A．B．C．D．12．二重積分互換積分次序后為（）。A．B．C．D．13．設為任意持續(xù)函數(shù)，為頂點在的正方形區(qū)域，則二重積分可表為累次積分（）。A．B．C．D．14．設區(qū)域是單位圓域在第一象限的部分，則二重積分化為二次積分是（）。A．B．C．D．15．設為上半圓域：，則在極坐標系下二重積分可表為（）。A．B．C．D．16．二重積分（由圓圍成的區(qū)域）化成極坐標系下的累次積分的成果是（）。A．B．C．D．二、填空題。17．函數(shù)的定義域是。18．假如，則。19．。20．二重積分（）的幾何意義為。三、計算題。21．計算極限。23．求由方程所確定的隱函數(shù)的兩個偏導數(shù)和。24．表面積為的長方體箱子中（箱子無蓋），求體積最大者的邊長。25．計算，其中是由曲線與直線圍成。26．計算，其中是由（）所圍成的區(qū)域。教學措施講授、課堂提問教學條件老式教具、多媒體課室、課件、PC機教學過程教師活動設計學生活動設計時間安排任務1.1啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.2啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.3啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.4啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.5啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.6啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.7啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務1.8啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時作業(yè)課后有關習題教學反饋教學效果良好，基本到達預期目的。須加強學生對知識運用的能力。單元2無窮級數(shù)參照課時：6教學目的1.理解無窮數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散及級數(shù)和的概念。2.理解無窮級數(shù)收斂的必要條件，懂得無窮級數(shù)的基本性質(zhì)。3.理解幾何級數(shù)和-級數(shù)的斂散性，掌握正項級數(shù)的比較鑒別法和比值鑒別法。會用交錯級數(shù)的萊布尼茨鑒別法，懂得級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其互相關系。理解冪級數(shù)及其收斂半徑的概念，會求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。6.理解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)。7.懂得泰勒級數(shù)公式和函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件。8.會用、、與等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展9.開式與冪級數(shù)的基本性質(zhì)將某些簡樸的函數(shù)展開成冪級數(shù)。教學內(nèi)容§8.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念1．級數(shù)的定義設是一種給定的數(shù)列，按照數(shù)列下標的大小依次相加，得這個體現(xiàn)式稱為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱為級數(shù)，記為，即（1.1）式中的每一種數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)的項，其中稱為級數(shù)（1.1）的一般項或通項。2．級數(shù)的前n項部分和、部分和數(shù)列級數(shù)(1.1)的前項的和(1.2)稱為級數(shù)(1.1)的前項部分和。當依次取時，它們構成一種新的數(shù)列，即，，，，數(shù)列稱為部分和數(shù)列。3．級數(shù)的收斂和發(fā)散定義1假如級數(shù)的部分和數(shù)列存在極限，即則稱無窮級數(shù)收斂，極限稱為級數(shù)的和，并寫成假如沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。例1討論級數(shù)的收斂性。（教材P233）例2證明級數(shù)是發(fā)散的。（教材P233）例3討論等比級數(shù)（又稱為幾何級數(shù)）的收斂性。二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)1．假如級數(shù)收斂于和，則級數(shù)也收斂，且其和為。2．假如級數(shù)、分別收斂于、，則級數(shù)也收斂，且其和為。3．（教材P235的性質(zhì)1，綜合了上述的1和2）假如級數(shù)、分別收斂于、，則對任意常數(shù)、，級數(shù)也收斂，且(1.5)4．假如級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散。5．（教材P235的性質(zhì)2）在級數(shù)中去掉、增長或變化有限項，不會變化級數(shù)的收斂性。6．（教材P235的性質(zhì)3）在一種收斂級數(shù)中，任意添加括號所得到的新級數(shù)仍收斂于本來的和。7．（教材P235的推論1，推論1是性質(zhì)3的逆否命題）假如加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則本來的級數(shù)也發(fā)散。8．（級數(shù)收斂的必要條件，教材P235的性質(zhì)4）若級數(shù)收斂，則。注：（1）若，則級數(shù)必發(fā)散。（2）若，級數(shù)不一定收斂（即性質(zhì)4是級數(shù)收斂的必要條件而非充足條件）。例4鑒別下列級數(shù)的收斂性。（教材P235）（1）（2）例5證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。（教材P235）三、思索題級數(shù)、都收斂，且，能否推出收斂？§8.2常數(shù)項級數(shù)的鑒別法一、正項級數(shù)的收斂性鑒別法定義1若，則稱級數(shù)為正項級數(shù)。定理1正項級數(shù)收斂的充足必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。定理2（比較鑒別法）設，均為正項級數(shù)，且，則（1）當收斂時，收斂；（2）當發(fā)散時，發(fā)散。證明：（1）設，即部分和數(shù)列是有界數(shù)列，因此收斂。（2）設，發(fā)散又因此發(fā)散。例鑒別下列級數(shù)斂散性（1） （2）解（1）由于∵發(fā)散，∴原級數(shù)發(fā)散（2）由于，而收斂，∴原級數(shù)收斂練習1討論級數(shù)的收斂性，其中常數(shù)。練習2證明級數(shù)是發(fā)散的。練習3鑒別級數(shù)的收斂性。定理3（比值鑒別法）設是正項級數(shù)，且（或，則（1）當時，級數(shù)收斂；（2）當（包括）時，級數(shù)發(fā)散。（3）當時，本鑒別法失效。例鑒別下列級數(shù)的斂散性（1） （2） （3）設（4） （5）（6）（7） （8）解：（1）收斂（2）措施一：收斂措施二：∵收斂∴原級數(shù)收斂 ∴級數(shù)收斂收斂（3）當發(fā)散發(fā)散為公比的等比級數(shù) ∴收斂（4）∵∵收斂，∴原級數(shù)收斂（5）∴對∵∴收斂，又由比較鑒別法知原級數(shù)收斂（6），由比值法知收斂∴原級數(shù)收斂練習4鑒別下列級數(shù)的收斂性：（2）二、交錯級數(shù)的收斂性鑒別法若，則稱級數(shù)為交錯級數(shù)。定理4（萊布尼茨定理）若交錯級數(shù)滿足條件：（1）；（2）；則級數(shù)收斂，并且它的和。例鑒別的收斂性。解：=1\*GB3①∵=2\*GB3②∴即∴收斂練習判斷級數(shù)的收斂性。練習判斷的收斂性。三、絕對收斂與條件若（2.1）則我們可以構造一種正項級數(shù)（2.2）稱級數(shù)(2.2)為原級數(shù)（2.1）的絕對值級數(shù)。=1\*GB3①=2\*GB3②定理5假如收斂，則=1\*GB3①=2\*GB3②定義2設為一般常數(shù)項級數(shù)，則（1）當收斂時，稱為絕對收斂。（2）當發(fā)散，但收斂時，稱條件收斂。例、判斷級數(shù)的斂散性，如收斂，是絕對收斂還是條件收斂(1)(2)解：(1)∴原級數(shù)收斂，且絕對收斂。解：(2)原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)為為交錯級數(shù)收斂而發(fā)散∴條件收斂練習1鑒別級數(shù)的收斂性。練習2鑒別級數(shù)的收斂性?！?.3冪級數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性定義1形如（3.1）的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中為常數(shù)。當取定值時，冪級數(shù)就成為常數(shù)項級數(shù)，假如收斂，則稱為該冪級數(shù)的收斂點，一種冪級數(shù)的收斂點的全體稱為該冪級數(shù)的收斂域；假如發(fā)散，則稱為該冪級數(shù)的發(fā)散點，一種冪級數(shù)的發(fā)散點的全體稱為該冪級數(shù)的發(fā)散域。定理1設冪級數(shù)的所有系數(shù)，假如，則當時，該冪級數(shù)的收斂半徑；當時，該冪級數(shù)的收斂半徑；當時，該冪級數(shù)的收斂半徑。例1：求下列冪級數(shù)的收斂域（1）（2）（3）（4）解：（1） 故當 原級數(shù)為 為交錯級數(shù)，滿足 ∴收斂當 原級數(shù)為 發(fā)∴收斂域為（2）由于 ∴故收斂域為（3）∴當 原級數(shù)為 發(fā) 原級數(shù)為為交錯級數(shù)滿足（1）（2）設，當，，∴單調(diào)減，∴故收斂∴收斂域為[-1，1）（4） 令∴當原級數(shù)為 ∴發(fā)散同理 級數(shù)也發(fā)散 ∴收斂域練習1求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：（2）練習2求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1設冪級數(shù)和的收斂半徑為和，，則性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)持續(xù)。性質(zhì)3設冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，即性質(zhì)4設冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，即注：性質(zhì)2－性質(zhì)4稱為冪級數(shù)的分析運算性質(zhì)，它常用于求冪級數(shù)的和函數(shù)。此外，幾何級數(shù)的和函數(shù)是冪級數(shù)求和中的一種基本成果。求冪級數(shù)的和函數(shù)：運用逐項求導，逐次積分及四則運算等于將其化為可求和的形式，即化到公式：在端點的斂散性與α有關。例1求下列冪級數(shù)的和函數(shù)1、 2、解1、R=1，x=±1，un→0，∴收斂域為（-1，1）令（-1，1）2、 收斂域（-∞，+∞）令故，例2運用計算冪級數(shù)的和函數(shù)，求下列級數(shù)的和解：記：（-1，1）∴練習1求冪級數(shù)的和函數(shù)。練習2求冪級數(shù)的和函數(shù)。三、將函數(shù)展開成冪函數(shù)1、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)設函數(shù)在的某鄰城內(nèi)具有任意階導數(shù)，則級數(shù)稱為在點的泰勒級數(shù)尤其當，則級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù)2、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件能展開成泰勒級數(shù)：收斂于在，之間3、冪級數(shù)展開式的求法措施1、直接法：計算證明：及措施2、間接法：運用已知的冪級數(shù)展開式，通過變量代換四則運算，逐項求導逐項積分待定系數(shù)等措施及到函數(shù)的展開式。例將下例函數(shù)展開成的冪函數(shù)=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷解=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶其中，∴（如，如，）=4\*GB2⑷其中教學措施講授、課堂提問教學條件老式教具、多媒體課室、課件、PC機教學過程教師活動設計學生活動設計時間安排任務2.1啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務2.2啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時任務2.3啟發(fā)式教學、案例教學法回答問題2課時作業(yè)課后有關習題教學反饋教學效果良好，基本到達預期目的。須加強學生對知識運用的能力。單元3微分方程參照課時：8教學目的理解微分方程及微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念。2.掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法。3.懂得特殊的高階微分方程（，，）的降階法。4.理解二階線性微分方程解的構造。5.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。6.會求自由項為的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。會求自由項為，時的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。教學內(nèi)容§9.1微分方程的基本概念1.微分方程：具有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程。如：2．微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。如：（3階微分方程）（4階微分方程）（n階微分方程）3．常微分方程與偏微分方程常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程。如：偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程。如：4．線性微分方程：未知函數(shù)及其各階導數(shù)全是一次冪的微分方程稱為線性微分方程。如：（1）（2）（3）以上（1）式不是線性微分方程，（2）、（3）式是線性微分方程。5．常系數(shù)線性微分方程：未知函數(shù)及其各階導數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)的線性微分方程稱為常系數(shù)線性微分方程。以上的（2）式不是常系數(shù)線性微分方程，（3）式是常系數(shù)線性微分方程。微分方程的解：假如將函數(shù)代入微分方程后能使方程成為恒等式，則函數(shù)就稱為該微分方程的解。如：是微分方程的解7．微分方程的特解：假如微分方程的解中不具有任意常數(shù)，這樣的解叫做微分方程的特解。8．微分方程的通解：假如微分方程的解中具有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相似，這樣的解叫做微分方程的通解。補充內(nèi)容：（1）什么是獨立的任意常數(shù)？如：為方程的解由于即,能合并成一種任意常數(shù)，因此,不能算是兩個獨立的任意常數(shù)，只能算一種獨立的任意常數(shù)。（2）線性有關、線性無關定義設函數(shù)、是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個不全為零的數(shù)、，使得對于內(nèi)的任一恒有成立，則稱函數(shù)、在內(nèi)線性有關，否則稱為線性無關。結論函數(shù)與線性有關的充足必要條件為在內(nèi)恒為常數(shù)。如：與線性有關，而與線性無關。當與線性無關時，函數(shù)中具有兩個獨立的任意常數(shù)，。初始條件：用于確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件。如：時，，一般寫成，或，初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題。如：求微分方程滿足初始條件，的解的問題。記為：例1驗證函數(shù)是微分方程的通解，并求該微分方程滿足初始條件，的特解。解把代入題設微分方程，得因此得證函數(shù)是微分方程的通解。把初值條件代入通解，得把初值條件代入，得于是，所求的微分方程的特解為?！?.2一階微分方程一、可分離變量的微分方程1.可分離變量的微分方程一般地，假如一種微分方程可以寫成（1）的形式，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。2.分離變量法對于（1）式的兩邊積分得不定積分算出后就可得到原微分方程的解，把這種求解過程稱為分離變量法。例1求微分方程的通解。解方程變形為分離變量得兩邊積分求積分得從而記，有因此所求微分方程的通解為。二、一階線性微分方程一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程。當時，稱為一階齊次線性微分方程。當時，稱為一階非齊次線性微分方程。求的通解。第一步：先求一階齊次線性方程的通解。（分離變量法）分離變量得兩邊積分求積分得因此有（記）第二步：再求一階非齊次線性方程的通解。常數(shù)變易法：求出對應齊次方程的通解后，將通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)，并設一階非齊次方程的通解為則將和代入方程，得兩邊積分得因此的通解為例2求方程的通解。解題設方程是一階非齊次線性方程，這里于是，題設微分方程的通解為例3求微分方程的通解。解題設方程是一階非齊次線性方程，可變形為，這里，于是，題設微分方程的通解為§9.3可降階的二階微分方程一、型對方程的兩端積分，得對的兩端再次積分，得到注：這種類型的方程的解法可以推廣到階微分方程，只要持續(xù)積分次，就可得到這個方程的具有個任意常數(shù)的通解。例1求微分方程的通解。解型這種方程的特點是不顯含未知函數(shù)，求解的措施如下：令則那么原方程可以化為，這是一種認為未知函數(shù)的一階微分方程，可以求出其通解，假設的通解為，再由可得。即原方程的通解為。例2求微分方程的通解。解原方程可變?yōu)?，令，則有即用分離變量法得因此型這種方程的特點是不顯含自變量，求解的措施如下：令（注意到）于是（注意到）那么原方程就可以化為，這是一種有關變量的一階微分方程，可以求出其通解，假設的通解為，即有，可用分離變量法求出方程的通解，亦即原方程的通解。例3求方程的通解。解設，則，代入原方程得，即在時，約去并分離變量得兩邊積分得即亦即用分離變量法可求得的通解為，因此原方程的通解為§9.4二階常系數(shù)線性微分方程二階線性微分方程解的構造1.二階線性微分方程的一般形式是（4.1）其中，及是自變量的已知函數(shù)，函數(shù)稱為方程（4.1）的自由項。當時，方程（4.1）變?yōu)椋?.2）稱方程（4.2）為二階齊次線性微分方程，對應地，方程（4.1）稱為二階非齊次線性微分方程。2.定理1