人教B版（2023）必修第三冊(cè)《8.1.1 向量數(shù)量積的概念》同步練習(xí)（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）若向量，滿足：，，，則，的夾角為

A.B.C.D.

2.（5分）若，，若，則等于

A.B.C.D.

3.（5分）如圖，在中，為邊上的高，，，，，則的值為

A.B.C.D.

4.（5分）若向量，，則向量與的夾角等于

A.B.C.D.

5.（5分）對(duì)于向量、、和實(shí)數(shù)，下列正確的是

A.若，則或

B.若，則或

C.若，則或

D.若，則

6.（5分），是兩個(gè)向量，，，且，則與的夾角為

A.B.C.D.

7.（5分）若，是任意兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是

A.B.C.D.

8.（5分）若非零向量滿足，且，則為

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.底邊與腰不相等的等腰三角形D.等邊三角形

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）下列命題中，正確的是

A.對(duì)于任意向量，有；

B.若，則；

C.對(duì)于任意向量，有

D.若共線，則

10.（5分）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的值可能為

A.B.C.D.

11.（5分）邊長(zhǎng)為的菱形中，，已知向量滿足，則下列結(jié)論中正確的有

A.為單位向量B.

C.D.

12.（5分）已知向量，，且，則的值是

A.B.C.D.

13.（5分）已知中角、、對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，為所在平面上一點(diǎn)，則下列說法正確的是

A.若，則為銳角

B.若，則為鈍角三角形

C.若中，則

D.若為中點(diǎn)，則

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知，，則______．

15.（5分）已知向量與的夾角為，且，，則______.

16.（5分）在梯形中，，，，，，若，則的值為______．

17.（5分）已知單位向量，的夾角為，與垂直，則______．

18.（5分）如圖在平行四邊形中，已知，，，，則的值是______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，垂直？

20.（12分）如圖所示，，，，，

若為中點(diǎn)，求；

是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21.（12分）已知，，．

若，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；

證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立．

22.（12分）已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．

Ⅰ若，且，求的坐標(biāo)；

Ⅱ若，且，求與的夾角的余弦值．

23.（12分）在中，，，

求的面積；

求的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：由條件得：，

，故，的夾角為，

故選：．

利用兩組訓(xùn)練的數(shù)量積為，轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可．

此題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

2.【答案】C;

【解析】解：，，

可得，，

，

若，

則，

即有，

即為，

解得．

故選：．

求得向量，的模和數(shù)量積，由向量垂直的條件：數(shù)量積為，結(jié)合向量的平方即為模的平方，解方程即可得到所求值．

該題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的求法及性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

3.【答案】A;

【解析】解：，

又，，，

故由余弦定理可得，

又，

，

，

．

故選：．

由余弦定理可得，由面積可求得，進(jìn)而求得答案．

該題考查解三角形，涉及了數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理以及三角形面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

4.【答案】D;

【解析】

設(shè)向量與的夾角等于，求出以及這兩個(gè)向量的模，代入運(yùn)算求得的值，再由的范圍求出的值．

此題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

解：設(shè)向量與的夾角等于，，，，

再由可得，

故選

5.【答案】B;

【解析】解：對(duì)于，若時(shí)，也成立；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，，得到，什么長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，，得到，得到或者或者；故D錯(cuò)誤；

故選：．

利用平面向量的幾個(gè)常見的基本概念，對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．

該題考查了平面向量的數(shù)量積以及數(shù)乘、模的關(guān)系等；屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】C;

【解析】解：設(shè)，的夾角為，，則由題意可得，

即，解得，，

故選C．

設(shè)，的夾角為，，則由題意可得，解得，可得的值．

這道題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】D;

【解析】解：根據(jù)單位向量的定義，

其方向不一定相同，故選項(xiàng)、錯(cuò)誤，

其模一定為，故錯(cuò)誤，正確；

故選：

由單位向量的定義直接判斷即可．

此題主要考查了單位向量的定義，注意單位向量強(qiáng)調(diào)的是模為，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】D;

【解析】解：設(shè)，則平分線段，

，即，

，

垂直平分，

四邊形為菱形，即，

又，

，，

為等邊三角形．

故選：

設(shè)，易知垂直平分，于是四邊形為菱形，再由，推出，得解．

此題主要考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的加法、數(shù)量積的運(yùn)算法則是解答該題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

9.【答案】ACD;

【解析】

此題主要考查向量的模，向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量的模，向量的數(shù)量積，結(jié)合選項(xiàng)依次分析判斷即可.

解：對(duì)于，對(duì)任意向量，，有，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取等號(hào)，故正確；

對(duì)于，若，則或或，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，對(duì)任意向量，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)、同向共線時(shí)取等號(hào)，故正確；

對(duì)于，若向量，共線，則與的夾角為或，有，故正確.

故選

10.【答案】BCD;

【解析】解：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)，則，，，

所以

，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為，

故選：

建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出、、，求出的取值范圍即可

此題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

11.【答案】ABD;

【解析】解：根據(jù)題意，如圖：菱形中，，其邊長(zhǎng)為，與交于點(diǎn)，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于，且，則為等邊三角形，故，則，為單位向量，正確；

對(duì)于，，故有，正確；

對(duì)于，，而，不成立．錯(cuò)誤；

對(duì)于，，則，即，正確；

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的加法減法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量坐標(biāo)公式以及向量垂直的坐標(biāo)公式是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解：向量，，

，

，

，

則，

即得

，

得或，

故選：

13.【答案】BCD;

【解析】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，為所在平面上的點(diǎn)，所以、也可能同向，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于，時(shí)，為鈍角，所以為鈍角三角形，選項(xiàng)正確；

對(duì)于，中，，由正弦定理得，所以，其中為外接圓的半徑，所以正確；

對(duì)于，為中點(diǎn)，所以，，

所以，選項(xiàng)正確．

故選：

中，時(shí)，應(yīng)考慮、同向情況；

中，時(shí)，三角形中為鈍角；

中，由正弦定理得出；

中，利用中線的向量表示和余弦定理，即可得出

此題主要考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．

14.【答案】-1;

【解析】解：，，則

．

故答案為：．

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積求解即可．

該題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，基本知識(shí)的考查．

15.【答案】;

【解析】

求出，再利用給定等式及向量夾角，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律列式計(jì)算作答．

此題主要考查了數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

解：依題意，，則有，

由兩邊平方得：，

即，解得：，

所以

故答案為：

16.【答案】7;

【解析】解：，，，，

，，

，

，

即，．

又，

．

故答案為：．

用表示出各向量，根據(jù)計(jì)算，再計(jì)算的值．

該題考查了平面向量的基本定理，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．

17.【答案】;

【解析】

該題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．

由已知求得，再由與垂直可得，展開即可求得值．

解：向量，為單位向量，且，的夾角為，

，

又與垂直，

，

即，則．

故答案為．

18.【答案】;

【解析】

該題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．由已知把、用表示，代入，展開多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得答案．

解：如圖，

由，得，

，

即．

，

解得：．

故答案為．

19.【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，

（Ⅱ）∵，∴=3x+4=0，∴．;

【解析】

Ⅰ由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求出的值．

Ⅱ由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出的值．

這道題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA方向?yàn)閤軸正方向，以AB方向?yàn)閥軸正方向建立坐標(biāo)系．

∵CA=1，CB=3，CA⊥AB，∴AB=2，

則A（0，0），，C（-1，0）．

（1）∵D為AB中點(diǎn)，∴E為CB中點(diǎn)．

∴，，

∴，，

∴．

（2），

，

若，則，

∴λ=0或者，

即存在λ=0或者，．;

【解析】

建立坐標(biāo)系如圖，通過為中點(diǎn)及條件得到為中點(diǎn)，分別表示出此時(shí)，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算即可；

分別表示出，，通過，則，解出即可．

此題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，涉及向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題．

21.【答案】解：

，

，，三點(diǎn)共線，

向量是共線向量，得，

解之得：分

由，得，

即對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立．;

【解析】

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到向量、的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的充要條件列式，解之即可得到實(shí)數(shù)的值；

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可證出對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．

本題給出含有字母的向量坐標(biāo)形式，在已知三點(diǎn)共線的情況下求參數(shù)的值，并且證明不等式恒成立．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量共線等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵=（1，2），若||=3，且∥，設(shè)的坐標(biāo)為（x，2x），

則+（2x）2=，求得x=±3，故設(shè)的坐標(biāo)為（3，6），或（-3，-6）．

（Ⅱ）若||=2，且（+）⊥（-2），

則（+）（-2）=-2-=5-2×4-=0，

∴=-3，即2cosθ=-3，故cosθ=-．;

【解析】

Ⅰ由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求出的坐標(biāo)．

Ⅱ由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求出與的夾角的余弦值．

這道題主要考查兩個(gè)向量平行垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及定義，屬于基礎(chǔ)題．

23.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知：

cosC===-，

解得：BC=2或B