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第第頁(yè)人教B版(2023)必修第三冊(cè)《8.1.1向量數(shù)量積的概念》同步練習(xí)(含解析)人教B版(2023)必修第三冊(cè)《8.1.1向量數(shù)量積的概念》同步練習(xí)
一、單選題(本大題共8小題,共40分)
1.(5分)若向量,滿(mǎn)足:,,,則,的夾角為
A.B.C.D.
2.(5分)若,,若,則等于
A.B.C.D.
3.(5分)如圖,在中,為邊上的高,,,,,則的值為
A.B.C.D.
4.(5分)若向量,,則向量與的夾角等于
A.B.C.D.
5.(5分)對(duì)于向量、、和實(shí)數(shù),下列正確的是
A.若,則或
B.若,則或
C.若,則或
D.若,則
6.(5分),是兩個(gè)向量,,,且,則與的夾角為
A.B.C.D.
7.(5分)若,是任意兩個(gè)單位向量,則下列結(jié)論中正確的是
A.B.C.D.
8.(5分)若非零向量滿(mǎn)足,且,則為
A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形
C.底邊與腰不相等的等腰三角形D.等邊三角形
二、多選題(本大題共5小題,共25分)
9.(5分)下列命題中,正確的是
A.對(duì)于任意向量,有;
B.若,則;
C.對(duì)于任意向量,有
D.若共線(xiàn),則
10.(5分)已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),則的值可能為
A.B.C.D.
11.(5分)邊長(zhǎng)為的菱形中,,已知向量滿(mǎn)足,則下列結(jié)論中正確的有
A.為單位向量B.
C.D.
12.(5分)已知向量,,且,則的值是
A.B.C.D.
13.(5分)已知中角、、對(duì)應(yīng)的邊分別為、、,為所在平面上一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是
A.若,則為銳角
B.若,則為鈍角三角形
C.若中,則
D.若為中點(diǎn),則
三、填空題(本大題共5小題,共25分)
14.(5分)已知,,則______.
15.(5分)已知向量與的夾角為,且,,則______.
16.(5分)在梯形中,,,,,,若,則的值為_(kāi)_____.
17.(5分)已知單位向量,的夾角為,與垂直,則______.
18.(5分)如圖在平行四邊形中,已知,,,,則的值是______.
四、解答題(本大題共5小題,共60分)
19.(12分)平面內(nèi)給定三個(gè)向量,,.
Ⅰ求的值;
Ⅱ當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),垂直?
20.(12分)如圖所示,,,,,
若為中點(diǎn),求;
是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.(12分)已知,,.
若,,三點(diǎn)共線(xiàn),求實(shí)數(shù)的值;
證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),恒有成立.
22.(12分)已知,,是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中.
Ⅰ若,且,求的坐標(biāo);
Ⅱ若,且,求與的夾角的余弦值.
23.(12分)在中,,,
求的面積;
求的值.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解:由條件得:,
,故,的夾角為,
故選:.
利用兩組訓(xùn)練的數(shù)量積為,轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可.
此題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
2.【答案】C;
【解析】解:,,
可得,,
,
若,
則,
即有,
即為,
解得.
故選:.
求得向量,的模和數(shù)量積,由向量垂直的條件:數(shù)量積為,結(jié)合向量的平方即為模的平方,解方程即可得到所求值.
該題考查向量垂直的條件:數(shù)量積為,考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的求法及性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
3.【答案】A;
【解析】解:,
又,,,
故由余弦定理可得,
又,
,
,
.
故選:.
由余弦定理可得,由面積可求得,進(jìn)而求得答案.
該題考查解三角形,涉及了數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理以及三角形面積公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
4.【答案】D;
【解析】
設(shè)向量與的夾角等于,求出以及這兩個(gè)向量的模,代入運(yùn)算求得的值,再由的范圍求出的值.
此題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
解:設(shè)向量與的夾角等于,,,,
再由可得,
故選
5.【答案】B;
【解析】解:對(duì)于,若時(shí),也成立;故A錯(cuò)誤;
對(duì)于,,得到,什么長(zhǎng)度相等,但是方向不確定;故C錯(cuò)誤;
對(duì)于,,得到,得到或者或者;故D錯(cuò)誤;
故選:.
利用平面向量的幾個(gè)常見(jiàn)的基本概念,對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇.
該題考查了平面向量的數(shù)量積以及數(shù)乘、模的關(guān)系等;屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】C;
【解析】解:設(shè),的夾角為,,則由題意可得,
即,解得,,
故選C.
設(shè),的夾角為,,則由題意可得,解得,可得的值.
這道題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】D;
【解析】解:根據(jù)單位向量的定義,
其方向不一定相同,故選項(xiàng)、錯(cuò)誤,
其模一定為,故錯(cuò)誤,正確;
故選:
由單位向量的定義直接判斷即可.
此題主要考查了單位向量的定義,注意單位向量強(qiáng)調(diào)的是模為,是基礎(chǔ)題.
8.【答案】D;
【解析】解:設(shè),則平分線(xiàn)段,
,即,
,
垂直平分,
四邊形為菱形,即,
又,
,,
為等邊三角形.
故選:
設(shè),易知垂直平分,于是四邊形為菱形,再由,推出,得解.
此題主要考查平面向量在幾何中的應(yīng)用,熟練掌握平面向量的加法、數(shù)量積的運(yùn)算法則是解答該題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
9.【答案】ACD;
【解析】
此題主要考查向量的模,向量的數(shù)量積,屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)向量的模,向量的數(shù)量積,結(jié)合選項(xiàng)依次分析判斷即可.
解:對(duì)于,對(duì)任意向量,,有,當(dāng)且僅當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)取等號(hào),故正確;
對(duì)于,若,則或或,故錯(cuò)誤;
對(duì)于,對(duì)任意向量,,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)、同向共線(xiàn)時(shí)取等號(hào),故正確;
對(duì)于,若向量,共線(xiàn),則與的夾角為或,有,故正確.
故選
10.【答案】BCD;
【解析】解:以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則,,,
設(shè),則,,,
所以
,當(dāng),時(shí),取得最小值為,
故選:
建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示出、、,求出的取值范圍即可
此題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
11.【答案】ABD;
【解析】解:根據(jù)題意,如圖:菱形中,,其邊長(zhǎng)為,與交于點(diǎn),
依次分析選項(xiàng):
對(duì)于,且,則為等邊三角形,故,則,為單位向量,正確;
對(duì)于,,故有,正確;
對(duì)于,,而,不成立.錯(cuò)誤;
對(duì)于,,則,即,正確;
故選:
根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng),綜合可得答案.
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算,涉及向量的加法減法的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
12.【答案】AC;
【解析】
此題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)向量坐標(biāo)公式以及向量垂直的坐標(biāo)公式是解決本題的關(guān)鍵.
根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.
解:向量,,
,
,
,
則,
即得
,
得或,
故選:
13.【答案】BCD;
【解析】解:對(duì)于,當(dāng)時(shí),為所在平面上的點(diǎn),所以、也可能同向,則選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于,時(shí),為鈍角,所以為鈍角三角形,選項(xiàng)正確;
對(duì)于,中,,由正弦定理得,所以,其中為外接圓的半徑,所以正確;
對(duì)于,為中點(diǎn),所以,,
所以,選項(xiàng)正確.
故選:
中,時(shí),應(yīng)考慮、同向情況;
中,時(shí),三角形中為鈍角;
中,由正弦定理得出;
中,利用中線(xiàn)的向量表示和余弦定理,即可得出
此題主要考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題.
14.【答案】-1;
【解析】解:,,則
.
故答案為:.
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積求解即可.
該題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算,基本知識(shí)的考查.
15.【答案】;
【解析】
求出,再利用給定等式及向量夾角,結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律列式計(jì)算作答.
此題主要考查了數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
解:依題意,,則有,
由兩邊平方得:,
即,解得:,
所以
故答案為:
16.【答案】7;
【解析】解:,,,,
,,
,
,
即,.
又,
.
故答案為:.
用表示出各向量,根據(jù)計(jì)算,再計(jì)算的值.
該題考查了平面向量的基本定理,數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.
17.【答案】;
【解析】
該題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,是基礎(chǔ)題.
由已知求得,再由與垂直可得,展開(kāi)即可求得值.
解:向量,為單位向量,且,的夾角為,
,
又與垂直,
,
即,則.
故答案為.
18.【答案】;
【解析】
該題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量加法、減法的三角形法則,是中檔題.由已知把、用表示,代入,展開(kāi)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得答案.
解:如圖,
由,得,
,
即.
,
解得:.
故答案為.
19.【答案】解:(Ⅰ)由題意可得,
(Ⅱ)∵,∴=3x+4=0,∴.;
【解析】
Ⅰ由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,求出的值.
Ⅱ由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),求出的值.
這道題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
20.【答案】解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以CA方向?yàn)閤軸正方向,以AB方向?yàn)閥軸正方向建立坐標(biāo)系.
∵CA=1,CB=3,CA⊥AB,∴AB=2,
則A(0,0),,C(-1,0).
(1)∵D為AB中點(diǎn),∴E為CB中點(diǎn).
∴,,
∴,,
∴.
(2),
,
若,則,
∴λ=0或者,
即存在λ=0或者,.;
【解析】
建立坐標(biāo)系如圖,通過(guò)為中點(diǎn)及條件得到為中點(diǎn),分別表示出此時(shí),的坐標(biāo),利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算即可;
分別表示出,,通過(guò),則,解出即可.
此題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,涉及向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想等,屬于中檔題.
21.【答案】解:
,
,,三點(diǎn)共線(xiàn),
向量是共線(xiàn)向量,得,
解之得:分
由,得,
即對(duì)任意實(shí)數(shù),恒有成立.;
【解析】
由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到向量、的坐標(biāo),根據(jù)向量共線(xiàn)的充要條件列式,解之即可得到實(shí)數(shù)的值;
由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,得,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),可證出對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.
本題給出含有字母的向量坐標(biāo)形式,在已知三點(diǎn)共線(xiàn)的情況下求參數(shù)的值,并且證明不等式恒成立.著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量共線(xiàn)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
22.【答案】解:(Ⅰ)∵=(1,2),若||=3,且∥,設(shè)的坐標(biāo)為(x,2x),
則+(2x)2=,求得x=±3,故設(shè)的坐標(biāo)為(3,6),或(-3,-6).
(Ⅱ)若||=2,且(+)⊥(-2),
則(+)(-2)=-2-=5-2×4-=0,
∴=-3,即2cosθ=-3,故cosθ=-.;
【解析】
Ⅰ由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì),兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,求出的坐標(biāo).
Ⅱ由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,求出與的夾角的余弦值.
這道題主要考查兩個(gè)向量平行垂直的性質(zhì),兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及定義,屬于基礎(chǔ)題.
23.【答案】解:(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理可知:
cosC===-,
解得:BC=2或B
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