四年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義-專題20周期問題（含解析）

第第頁四年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義-專題20周期問題（含解析）專題20周期問題

在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)，比如每周七天，從星期一開始，到星期日結(jié)束，總是以七天為一個(gè)循環(huán)不斷重復(fù)。我們把這種會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律性問題稱為周期問題。要解決這類問題，關(guān)鍵要抓住兩點(diǎn)：①找出規(guī)律，找出周期數(shù)。即多少個(gè)（次）又出現(xiàn)重復(fù)；②用總數(shù)除以周期數(shù)，看余數(shù)，余幾就是周期里的第幾個(gè)，沒有余數(shù)就是最后一個(gè)。

1．8個(gè)隊(duì)員圍成一圈做傳球游戲，從⑴號(hào)開始，按順時(shí)針方向向下一個(gè)人傳球．在傳球的同時(shí)，按順序報(bào)數(shù)．當(dāng)報(bào)到72時(shí)，球在幾號(hào)隊(duì)員手上？

2．如圖，七個(gè)小矮人住在A、B、C、D、E、F、G這7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，從第二天開始按照BCDEFGFEDCBABC……的順序每天在一個(gè)小矮人的房子中做客。請(qǐng)問，第150天白雪公主在哪個(gè)房子中做客？

3．甲和乙各有若干塊糖，甲的糖數(shù)比乙少，每次操作由糖多的人給糖少的人一些糖，使其糖數(shù)增加1倍；經(jīng)過2023次這樣的操作以后，甲有10塊糖，乙有8塊糖，請(qǐng)問：兩個(gè)人原來分別有多少塊糖？

4．甲、乙、丙、丁四位醫(yī)生依次每天輪流到農(nóng)村衛(wèi)生所義診.甲第30次義診是星期三，那么當(dāng)丙首次在周日義診時(shí)，丁醫(yī)生已經(jīng)下鄉(xiāng)義診幾次了？

5．在某個(gè)月中剛好有3個(gè)星期天的日期是偶數(shù)(雙數(shù))，則這個(gè)月的5日是星期幾？

6．同學(xué)們?cè)诳萍拣^參加活動(dòng)，誰最先參加游戲呢？同學(xué)們想了個(gè)好辦法，大家排成一排1～2報(bào)數(shù)，報(bào)2的同學(xué)再1～2報(bào)數(shù)，這樣依次進(jìn)行下去，最后報(bào)2的這名同學(xué)先玩，如果這列一共有12人，最先玩的同學(xué)是這一列中的第幾個(gè)？

7．圖13中第一格內(nèi)放著一個(gè)立方體木塊，木塊的六個(gè)面上分別寫著A、B、C、D、E、F六個(gè)字母，其中A與D，B與E，C與F相對(duì)，且A面向上．如果木塊沿著圖中方格滾動(dòng)，那么當(dāng)木塊滾到第21格進(jìn)，木塊向上的面是哪個(gè)字母？

8．有一個(gè)111位數(shù)，各位數(shù)字都是1，這個(gè)數(shù)除以6，余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？

9．一些數(shù)字按一定規(guī)律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300個(gè)數(shù)加起來是多少？

10．按下面的擺法，擺一百個(gè)三角形，請(qǐng)問第100個(gè)三角形是什么顏色的？在這100個(gè)三角形中有多少個(gè)白色的三角形？

△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……

11．有一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、第二個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和，求第2023個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)．

12．8個(gè)格子排成一個(gè)正方形，依次編號(hào)（如圖所示），小玲將棋子放在3號(hào)格子上，順時(shí)針方向前進(jìn)245個(gè)格子后又倒退一個(gè)格子，這時(shí)棋子應(yīng)在幾號(hào)格子上？

13．甲乙丙丁四個(gè)小朋友玩報(bào)數(shù)游戲，規(guī)定，甲報(bào)1乙報(bào)2丙報(bào)3丁報(bào)4甲報(bào)5乙報(bào)6丙報(bào)7……，問報(bào)2023的那個(gè)人是誰？

14．我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的年號(hào)，已知2023年是猴年，2104年是什么年？

15．課外活動(dòng)時(shí)，甲、乙、丙、丁四人排成一個(gè)圓圈依次報(bào)數(shù)．甲報(bào)“1”，乙報(bào)“2”，丙報(bào)“3”，丁報(bào)“4”，這樣每人報(bào)的數(shù)總比前一個(gè)人多1．問“34”是誰報(bào)的？“71”是誰報(bào)的？

16．桌子上擺了很多硬幣，按一個(gè)一角，兩個(gè)五角，三個(gè)一元的次序排列，一共19枚硬幣．問：最后一個(gè)是多少錢的？第十四個(gè)是多少錢的？

17．小倩有一串彩色珠子，按紅、黃、藍(lán)、綠、白五種顏色排列．

⑴第73顆是什么顏色的？

⑵第10顆黃珠子是從頭起第幾顆？

⑶第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間（不包括這兩顆紅珠子）共有幾顆珠子？

18．小和尚在地上寫了一列數(shù)：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…

你知道他寫的第81個(gè)數(shù)是多少嗎？你能求出這81個(gè)數(shù)相加的和是多少嗎？

19．節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚€(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈．也就是說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈．那么第73盞燈是什么顏色的燈？

20．在一條長(zhǎng)100米的甬路兩側(cè)，從頭到尾每隔2米栽一棵樹，按2棵楊樹，1棵柳樹的規(guī)律栽，楊樹，柳樹各占植樹總棵樹的幾分之幾？

21．有A、B、C、D四條直線（如圖），從直線A開始，按直線方向從1開始依次在A、B、C、D上寫自然數(shù)1，2，3，…

（1）106在哪條直線上？

（2）直線B上第56個(gè)數(shù)是多少？

22．某商場(chǎng)樓前安裝了一串彩燈，按照2黃、3紅、1綠的順序排列。第100盞彩燈是什么顏色的？這100盞彩燈里共有多少盞紅燈？

23．1999名學(xué)生從前往后排成一列，按下面的規(guī)則報(bào)數(shù)：如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是一位數(shù)，后面的同學(xué)就要報(bào)出這個(gè)數(shù)與9的和；如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是兩位數(shù)，后面的同學(xué)就要報(bào)出這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)與6的和．現(xiàn)在讓第一個(gè)同學(xué)報(bào)l，那么最后一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是多少

24．?dāng)?shù)列9，8，6，2……從第2個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)的兩倍的個(gè)位數(shù)字，請(qǐng)問，第99個(gè)數(shù)是多少？

25．在一根繩子上依次穿2個(gè)紅珠、2個(gè)白珠、5個(gè)黑珠，并按此方式反復(fù)，如果從頭開始數(shù)，直到第50顆，那么其中白珠有多少顆？

26．有同樣大小的紅、白黑珠共180個(gè)，按5個(gè)紅的、4個(gè)白的、3個(gè)黑的排列著，問：第158個(gè)珠是什么顏色的？黑珠共有多少個(gè)？

27．長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個(gè)紅色點(diǎn)，同時(shí)自右向左每隔5厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)將木棍逐級(jí)鋸開，那么長(zhǎng)度是4厘米的短木棍有多少根？

28．已知某月中，星期二的天數(shù)比星期三的天數(shù)多，而星期一的天數(shù)比星期日的天數(shù)多，那么這個(gè)月的5號(hào)是星期幾？

29．43位同學(xué)，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)都各不相同．每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫片．畫片只有兩種，3分一張和5分一張，每個(gè)人都盡量多買5分一張的畫片．問他們所買的3分畫片的總數(shù)是多少張？

30．流水線上給小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅、再4個(gè)黃、再3個(gè)綠、在2個(gè)黑、再1個(gè)白，然后又依次是5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此繼續(xù)涂下去，到第2023個(gè)小球該涂什么顏色？

31．小區(qū)里的李奶奶腿腳不方便，方方、圓圓、長(zhǎng)長(zhǎng)三名同學(xué)做好事，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期幾？

1．8號(hào)

【詳解】將8名隊(duì)員看作一組，每組報(bào)8個(gè)數(shù)，72個(gè)數(shù)可以分成幾組：組，沒有余數(shù)，球正好在一組的最后一位隊(duì)員手中，因此球應(yīng)該在8號(hào)隊(duì)員手上．

2．F

【分析】通過題目可以看出一個(gè)周期有多少個(gè)數(shù)組成，然后150天，判斷里面有多少個(gè)周期，再看余幾，就能知道第150天住在哪個(gè)房間。

【詳解】從A到G再到B是一個(gè)周期，周期為12，

150÷12＝12（組）……6（個(gè)）。

答：第150天白雪公主在F房做客。

【分析】本題主要考查隱藏的周期問題，先找周期。

3．甲5乙13．

【詳解】試題分析：本題中兩人的糖數(shù)和為18，是偶數(shù)，那么兩人每步手中的糖數(shù)有兩種情況：全為偶、全為奇，據(jù)此列表分析解答即可．

解：

周期為6，2023÷6=334…1，說明2023次操作和一次操作的作用效果是相同的，

那么有兩種情況：甲14乙4或甲5乙13，結(jié)合題中條件甲比乙少，可知甲5乙13．

分析：解答此題的關(guān)鍵是弄清操作周期，類似于周期性問題．

4．5次

【詳解】甲第30次義診是在總次數(shù)的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，從周三往前數(shù)5天，由周期性知甲第一次義診時(shí)間是在星期六，甲前7次義診分別是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日義診是甲周五義診之后的兩天，所以那是丙第6次去義診.由于丁在丙后一天義診，所以他已經(jīng)去過5次.

5．星期三

【詳解】一個(gè)星期有7天，7是奇數(shù)(單數(shù))，所以任意兩個(gè)相繼星期天的日數(shù)奇偶性不同．于是在每個(gè)月從l日到28日這28天中，有個(gè)星期天，且其中有兩個(gè)星期天的日期是偶數(shù)，從而題中第3個(gè)日期為偶數(shù)的星期天必為30日．由此可以推知，這個(gè)月的第1個(gè)星期天是日，那么，5日為星期三．

所以這個(gè)月的5日是星期三．

6．第8個(gè)

【詳解】第一次1～2報(bào)數(shù)，報(bào)2的是第2，4，6，8，10，12這幾個(gè)同學(xué)，這些同學(xué)再1～2報(bào)數(shù)，報(bào)2的是第4，8，12這三名同學(xué)，最后這三名同學(xué)再1～2報(bào)數(shù)，就只剩下第8個(gè)同學(xué)是報(bào)2，所以最先玩的這個(gè)同學(xué)是這列中的第8個(gè)．

7．A

【詳解】當(dāng)木塊沿著同一個(gè)方向滾動(dòng)時(shí)，每滾動(dòng)四格，會(huì)回到原來的狀態(tài)．所以當(dāng)木塊向左滾動(dòng)四格后，即在第五格的時(shí)候，狀態(tài)與第一格一樣．同理，當(dāng)木塊從第五格滾第九格時(shí)，最終狀態(tài)也未改變．從而第1格、第5格、第9格、第13格、第17格、第21格的狀態(tài)是一樣的．因此，當(dāng)木塊滾到第21格時(shí)，木塊向上的面是字母A．

8．余數(shù)是3，商的末位數(shù)字是8

【分析】我們可以用列表的方法尋求周期．

被除數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)1234567…

除以6后余數(shù)的末位數(shù)字1531531…

除以6后商的末位數(shù)字0185185…

【詳解】通過表格我們可以發(fā)現(xiàn)，余數(shù)出現(xiàn)的周期為3（1，5，3）；第1個(gè)“1”上相對(duì)應(yīng)的商為“0”，從第二個(gè)“1”開始，商的末位數(shù)字的周期為3（1，8，5）

因?yàn)?，所以這個(gè)數(shù)除以6后余數(shù)是3；

因?yàn)椤?，所以這個(gè)數(shù)除以6后商的末位數(shù)字是8．

9．1500

【分析】這一列數(shù)是按照3，5，1，9，7這樣重復(fù)循環(huán)排列的，周期是5，按照周期問題求解，先確定周期數(shù)，再用每個(gè)周期的數(shù)之和乘周期數(shù)，加上多出來的數(shù)即可。

【詳解】

答：第1至300個(gè)數(shù)加起來是1500。

【分析】本題考查的是周期問題，求解周期問題，最關(guān)鍵的是確定周期是多少。

10．黑色51個(gè)

【詳解】從圖中可以看出，按照6個(gè)為一個(gè)周期，因?yàn)椤?，所以第100個(gè)三角形應(yīng)該是這一個(gè)周期當(dāng)中的第四個(gè)，應(yīng)該是黑色的．每個(gè)周期里有3個(gè)白色的，一共有16個(gè)周期就有48個(gè)白色三角形，余下的4個(gè)三角形中還有3個(gè)白色的，所以一共有個(gè)．

11．2

【詳解】找規(guī)律,每個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度是8,第2023個(gè)就是第3個(gè),余數(shù)是2

12．7號(hào)

【詳解】245÷8=30（圈）……5（格）

從3起順時(shí)針前進(jìn)5格到8號(hào)格，又倒退1格，就是7號(hào)格．

13．丁

【詳解】略

14．鼠年

【詳解】（2104-2023）÷12=8……4

所以2104年是鼠年。

答：2104年是鼠年。

15．“34”是乙報(bào)的，“71”是丙報(bào)的

【詳解】根據(jù)題意，甲從“1”開始報(bào)數(shù)，一共報(bào)了34次．因?yàn)槭?個(gè)人在報(bào)數(shù)，所以報(bào)4次就要重復(fù)一遍，也就是說是以4為一個(gè)周期重復(fù)的．34里面有8個(gè)周期還余2次，所以“34”應(yīng)是重復(fù)8遍以后第二個(gè)人報(bào)的，即乙報(bào)的．…3，所以“71”應(yīng)是第三個(gè)人報(bào)的，即丙報(bào)的．

16．一角五角

【詳解】…1

…2

所以,第19枚硬幣是一角的,第14枚硬幣是五角的．

17．（1）藍(lán)色（2）第47顆（3）14顆

【分析】⑴這些珠子是按紅、黃、藍(lán)、綠、白的順序排列，每一組有5顆．

⑵第10顆黃珠子前面有完整的9組，一共有(顆)珠子．第10顆黃珠子是第l0組的第2顆，所以它是從頭數(shù)的第47顆．

⑶第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間一共有14顆珠子．第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間有完整的兩組(第9、10組)，共l0顆珠子，第8顆紅珠子后面還有4顆珠子，所以是14顆．

【詳解】⑴(組)……3(顆)，第73顆是第15組的第3顆，所以是藍(lán)色的．

⑵(顆)

⑶(顆)

18．7279

【詳解】⑴從排列上可以看出這組數(shù)按7，0，2，5，3依次重復(fù)排列，那么每個(gè)周期就有5個(gè)數(shù)．81個(gè)數(shù)則是16個(gè)周期還多1個(gè)，第1個(gè)數(shù)是7，所以第81個(gè)數(shù)是7，…1

⑵每個(gè)周期各個(gè)數(shù)之和是：．再用每個(gè)周期各數(shù)之和乘以周期次數(shù)再加上余下的各數(shù)，即可得到答案．，所以，這81個(gè)數(shù)相加的和是279．

19．白燈

【詳解】從第一盞白燈開始，每隔三盞彩燈就又出現(xiàn)一盞白燈，不難看出白燈的編號(hào)依次是：1，5，9，13，……，這些編號(hào)被4除所得的余數(shù)都是1．，即73被4除的余數(shù)是1，因此第73盞燈是白燈．

20．解：100÷2+1=51（棵）

51÷3=17（個(gè)周期）

柳樹：17×1×2=34（棵）

楊樹：17×2×2=68（棵）

34+68=102（棵）

34÷102=

68÷102=

答：柳樹占植樹總數(shù)的，楊樹占植樹總數(shù)的．

【詳解】周期性問題

先考慮在公路一側(cè)栽樹的情況，兩端都要栽，栽樹的棵數(shù)=間隔數(shù)+1；再把3棵樹看作一個(gè)周期，求出一側(cè)植樹的總棵數(shù)包含幾個(gè)周期，進(jìn)而分別求得兩種樹的棵數(shù)，再乘2求得兩側(cè)栽的棵數(shù)，最后分別用柳樹、楊樹的棵數(shù)除以植樹總數(shù)即可．

21．（1）B直線（2）222

【詳解】（1）106÷4=26……2，所以106在B直線上

（2）2+（56-1）×4

=2+55×4

=2+220

=222

答：直線B上第56個(gè)數(shù)是222。

22．紅色；50盞

【分析】觀察題干，這組彩燈按照的排列特點(diǎn)是6個(gè)氣球一個(gè)循環(huán)周期，分別按照顏色2黃、3紅、1綠的順序排列，計(jì)算出第幾個(gè)周期的第幾個(gè)即可。再計(jì)算出100盞彩燈共有幾個(gè)這樣的周期，余下幾盞紅燈，每個(gè)周期有3盞紅燈，相加即可。

【詳解】因?yàn)?00÷（2＋3＋1）

＝100÷6

＝16（組）4（盞）

3×16＋2

＝48＋2

＝50（盞）

答：第100盞彩燈是紅顏色的，這100盞彩燈里共有50盞紅燈。

【分析】根據(jù)題意得出這組彩燈的排列周期特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。

23．17

【詳解】我們先寫出幾項(xiàng)，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，…

不難看出從第2個(gè)數(shù)開始，每7個(gè)數(shù)存在10，6，17，13，9，18，14這樣的循環(huán)．

而(1999－1)÷7＝285……3，所以最后一個(gè)同學(xué)報(bào)的是第285組數(shù)的第3個(gè)數(shù)，即17．

24．6

【分析】根據(jù)題目的含義依次寫出后面的數(shù)，寫幾個(gè)數(shù)的時(shí)候，屬于有頭周期問題，后面的數(shù)按照周期排列的。把第一個(gè)數(shù)拿走變成98個(gè)數(shù)，然后根據(jù)周期問題判斷這些數(shù)里有多少個(gè)周期，還余幾。

【詳解】9，8，6，2，4，8，6，2，4……周期為4，有頭周期，頭是9，

99－1＝98（個(gè)），98÷4＝24（組）……2（個(gè)）。

答：第99個(gè)數(shù)是6。

【分析】本題主要考查隱藏的周期問題，先找周期。

25．12個(gè)

【詳解】…5．

（個(gè)）．

26．紅色45個(gè)

【詳解】5+4+3＝12（個(gè)）

158÷12＝13……2

180÷12＝15

15×3=45（個(gè)）

答：第158個(gè)珠是紅色的；黑珠共有45個(gè)。

27．根

【分析】根據(jù)題意，畫出涂色示意圖如下；由于100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn)相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn)。而每隔30厘米可得到2個(gè)4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得