解析幾何常見方法

一、基本問題求曲線方程；2.確定軌跡形狀；3.判定兩圖形的位置關(guān)系；4.研究曲線的性質(zhì)；5.確定長度、角、面積、體積等相關(guān)量的值、取值范圍及最值；6.確定參數(shù)的值、取值范圍或最值；二、基本題型判斷題、證明題、計(jì)算題、開放性題（探索性題）三、基本策略第一層：定義、方程（坐標(biāo)）與性質(zhì)之間的選擇第二層：（1）用定義：分為直接或間接用第一定義、第二定義；（2）方程（坐標(biāo)）法：分為直角坐標(biāo)、向量、極坐標(biāo)與參數(shù)坐標(biāo)第三層：數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程不等式是常用的數(shù)學(xué)思想，換元引參、以算代證是常用的數(shù)學(xué)方法。四、方法研究（一）曲線方程的求法動(dòng)點(diǎn)法（也叫直接法）待定系數(shù)法（）3.定義法相關(guān)點(diǎn)法（也叫代入法，含交軌法）5.參數(shù)法【注意1】求曲線方程的參數(shù)法、曲線的參數(shù)方程是既有區(qū)別又有聯(lián)系的；教材上的直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程與平時(shí)的通過“換元引參”得到的參數(shù)方程是不一樣的，前者的參數(shù)具有需要大家掌握的幾何意義而后者顯然具有情境性?！咀⒁?】1.相關(guān)點(diǎn)法是參數(shù)法的一種；2.參數(shù)法重在引參消參——引入多少個(gè)參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？引參消參是一門集觀察、推演、綜合等多領(lǐng)域的高技術(shù)活。下面舉一個(gè)例子說明：【例1】已知拋物線y2=4px（p>0）,0為頂點(diǎn)AB為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA丄OB,如果OM丄AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。1法1設(shè)1法1設(shè)OA：=kx,則OB：=-x.聯(lián)立y=kx與y2=4px得Ak4p~k21.聯(lián)立y=-x與y2=4px得Bk2p,-4kp)k4kp 1-k2所以AB：y二X— ，OM：y=-X，消去k得x2+y2二4pxoooooo1-k2 1-k2 k【點(diǎn)評】設(shè)了一個(gè)參數(shù)，消參數(shù)容易，也可看做“交軌法”一個(gè)參數(shù)k，【點(diǎn)評】設(shè)了一個(gè)參數(shù)，消參數(shù)容易，也可看做“交軌法”一個(gè)參數(shù)k，兩個(gè)方程，消一個(gè)參數(shù)就少一個(gè)方程,最后得到的是關(guān)于x、y的方程，法2.設(shè)M（x,y），Ax、y但由于本題求的就是x、y的方程，恰好。（、y27^，y4p2丿，故OA的斜率為4p,OB的斜率為4p，因?yàn)镺A丄OB,故yy124p y2 y+yy1y廣-16p2'又直線AB：y-y1尹(X-蘇)，即y(Iy2)-y1y廣-16p2'又直線AB：y-y1消去竽2和丁y2得X2+y2二4pX…。?！军c(diǎn)評】雖只設(shè)了2個(gè)參數(shù)，但死板地按逐個(gè)代入消元一般很難（從yi丁-16p2，V+巴-yiy2=4px，y+yy一?x中逐個(gè)消元），絕對的逐個(gè)代入消元將讓你困難重重。下面給出四種是逐個(gè)消元的方法:

y+y 4py⑴由y=—〒x得y2=「=一y1分別代入y1y2=-16p2和yy1+yy2-y1y2=4px得xj2+4PYY]—16px二0和xy2+4pyy^—4py2—4px2二0，消去yi得x2+y2二4pxoooooo4px—yy y+y【2】由yy+yy-yy=4px得y= 1，分別代入yy=-16p2和y=—— 2x得1 2 12 2y—y 12 4p1yy2+(16p2—4px)y—16p2y=0和xy2+4pyy—4py2—4px2=0接下來怎么辦?【3】由y1y【3】由y1y2=-16p2得y2=-丁，分別代入馬+yy2-y1y2=4px和y=—〒x得yy2+(16p2—4px)y—16p2y=0和xy2+4pyy—16px=0接下來怎么辦？【評】逐個(gè)代入的三種形式中，第一種很好解決(是不是巧合?非?？赡埽《易詈蟮南鹹1也很時(shí)尚)而后兩種怎么辦呢？不能用求根公式(這樣會(huì)很困難)，兩個(gè)方程的解要相同，對應(yīng)系數(shù)成比例就能解決！4px—yyy—y1I4px—16p2±J16p2(16p2—8px+x2+4y2)得y=12y同理y24px一y—y1I4px—16p2±J16p2(16p2—8px+x2+4y2)得y=12y同理y24px一16p2±{16p2(16p2一8px+x2+4y2)(根據(jù)對稱性，不難類比得到這個(gè)結(jié)論)???J】豐y24px—16p2(沒有這個(gè)，則很難進(jìn)行)，故y+y= ，代12x、y—y

y—x、y—y

y—y=2 #(x—x)，1x—x121點(diǎn)評】是可以消參的，但不是那么容易的(從上下各種方法的消參中可以發(fā)現(xiàn)y2二4px，y2二4px，1122xx+12yiy2=°，yy—y?—1=—1xx—x21代入消元一般都做不到，往往y+y入y=—— x得x2+y2=4px4p【評】這種算不算純粹的“逐步代入消元”？【評】兩個(gè)參數(shù)y「y2,三個(gè)方程，消兩個(gè)參數(shù)就少一個(gè)方程，最后得到的是關(guān)于x、y的方程，但由于本題求的就是x、y的方程，恰好。11法3設(shè)M(x,y),A(x,y),B(x,y)11出現(xiàn)yy和y+y這樣的整體才行。1212法4設(shè)M(x,y)，A(x,y)，B(x,y)，設(shè)直線AB為y=kx+b.1122聯(lián)立y=kx+b與y2=4px聯(lián)立y=kx+b與y2=4px得K2x2+(2KB—4p)x+B2=0，故=+x4p—2kpk2b2xx=12k2B2 B2 4pB B故丘+〒=0，即K=—4?b2 4pb4pbyiy2二(匕+B)(Kx2+B)二〒，又OA丄OB，故吧+yy2byy故AB：y=-X+b，顯然AB過（4p,0）,故AB的斜率為： ,OM的斜率為： ，又AB丄OM,4p x-4p xyy故 ?—=一1，即x2+y2二4px。。。x-4px【點(diǎn)評】1.本題開始一口氣設(shè)了6個(gè)參數(shù)，如果要規(guī)規(guī)矩矩地消參就得列7個(gè)方程（y=kx+b,y=kix+b1,y=k2x+b2，yy-yy2二4px,y2二4px,xx+yy=0,—? ——=-1）,不僅難列，更難消。可見消參需多途徑高1 1 2 2 12 12xx-x21技藝。2.設(shè)參數(shù)控制在1到2個(gè)（最好一個(gè)）,超過一個(gè)時(shí)消元采用“逐個(gè)消元”是下策,靈活技術(shù)性消元考驗(yàn)?zāi)?！【注意】點(diǎn)差法、韋達(dá)定理、交軌法不過是引參消參的特殊形式。（二） 確定軌跡的形狀法1求出軌跡方程或化簡方程,再根據(jù)方程特征判；法2根據(jù)軌跡的定義判；法3能否弄出些曲線的性質(zhì)（如哪怕幾個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)啊）【評】三種方法的依據(jù)充分地考慮了曲線的定義、方程和性質(zhì)之間的關(guān)系！（三） 判定兩圖形的位置關(guān)系基本類型：點(diǎn)與直線、點(diǎn)與二次曲線、直線與直線、直線與二次曲線（分直線與圓,直線與其它）、二次曲線與二次曲線（含圓與圓,其它）五大類2?方法集成：點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程、轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)距（參數(shù)法）、點(diǎn)到直線的距離（幾何的、代數(shù)的）、r-d判定法、方程組的解、判別式法、向量法、斜率截距判定法（直線與直線）【注意】1.上述方法除了“轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)距（參數(shù)法）”適用范圍最廣外,其它方法都有自己適合的對象,而有些則具有最窄的范圍,如斜率截距判定法；2.牽涉到方程或坐標(biāo)時(shí),又分為“直角坐標(biāo)系”和“極坐標(biāo)系”甚至“向量系”（四） 研究曲線的性質(zhì)題型：（1）由曲線方程（或經(jīng)過變形）研究曲線的性質(zhì)；（2）先求曲線方程,再根據(jù)曲線方程研究曲線的性質(zhì)；求得軌跡或軌跡方程 研究曲線的性質(zhì)（五） 求值、取值范圍或最值1.求值取值范圍或最值的求法（1） 變量的取值范圍與最值的求法同大于異：能求出的范圍的就一定能確定最值的情況,最值也能幫助確定范圍（求最值的方法略多于求范圍）。（2） 求最值的方法：單調(diào)性法（含導(dǎo)數(shù)法）；不等式法；數(shù)形結(jié)合（兩點(diǎn)距、點(diǎn)線距、斜率、圓錐曲線第二定義及構(gòu)造法、利用線性規(guī)劃等）；利用已知變量的最值（即復(fù)合函數(shù)法,含換元法或參數(shù)法）；配方法；判別式法；【注意】求量的值、范圍或最值都少不了常見量的計(jì)算公式或不等式,因此對相應(yīng)公式的記憶是起碼應(yīng)當(dāng)掌握的基礎(chǔ)。常見的公式有：斜率公式、夾角公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩直線間的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、各種面積體積公式、各種邊角的計(jì)算公式（三角函數(shù)、余弦定理、勾股定理）、弦長公式、向量里的公式、各種不等式等等。（六）確定參數(shù)的值、取值范圍或最值這沒有一般的方法。有幾個(gè)常用的思路：1）分離參數(shù)（其實(shí)是函數(shù)思想）；2）對參數(shù)討論（分類討論思想,從一般到特殊）；3）主元法（平等元?jiǎng)澇鰠?shù),消元思想）；4）