函數(shù)的應(yīng)用（二）

第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)45函數(shù)的應(yīng)用（二）人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊函數(shù)的零點與方程的解【函數(shù)零點的定義】與二次函數(shù)的零點一樣，對于一般函數(shù)，我們把使得的實數(shù)叫做函數(shù)的零點

這樣，函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解，也就是函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標(biāo)所以：

方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖像與軸有交點

函數(shù)的零點與方程的解【零點的定義給出了求解函數(shù)零點的基本方法】1代數(shù)法：若方程可解，其實數(shù)根就是函數(shù)的零點2幾何法：若方程難以直接求解，將其改為，進(jìn)一步改為，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)和的圖像，兩圖像交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點

零點存在定理【實例分析】以二次函數(shù)為例，我們知道求函數(shù)的零點，其實就是求方程的實數(shù)解

可以發(fā)現(xiàn)，在零點附近，函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，并且穿過軸函數(shù)在端點和時的取值異號，即，于是函數(shù)在區(qū)間2,4內(nèi)有零點；同樣的，，函數(shù)在區(qū)間-2，0內(nèi)有零點

一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點即存在,使得，這個t也就是方程的解這就是零點存在定理

零點存在定理若的圖像在上是不連續(xù)的，則在上沒有零點

那可不一定下面這個函數(shù)在-1，3上照樣有零點！函數(shù)的圖像在區(qū)間上是連續(xù)的，但則在上沒有零點

這也不一定下面這個函數(shù)，但函數(shù)在上有零點！

零點存在定理【理解函數(shù)零點存在定理需要注意的問題】【1】①函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線②，這兩個條件缺一不可，否則結(jié)論未必成立【2】滿足上述條件，則函數(shù)的圖像至少穿過軸一次，即在區(qū)間上函數(shù)至少有一個零點，但是不確定到底有幾個【3】該定理是一個充分不必要條件反過來，若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則不一定有成立

零點存在定理【常見函數(shù)的零點】一個零點無零點

兩個零點一個零點無零點無零點一個零點1

一個零點0無零點例1：求函數(shù)f=ln2-6的零點的個數(shù)x123456789f(x)-40-131134567899121142例2：2若方程在（0，1）內(nèi)恰有一解，求實數(shù)a的取值范圍。3已知關(guān)于的方程的一個根在-2,0內(nèi)，另一根在1,3內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】假設(shè)我們知道函數(shù)在區(qū)間2，3內(nèi)存在一個零點，那么我們怎么求出這個零點呢？

一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量的縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值為了方便，可以通過取中點的方法，逐步縮小零點的范圍實際上大多數(shù)方程都不能像一元二次方程這樣可以直接用公式求出精確解在實際問題中，往往只需求出滿足一定精確度的近似解我們知道求解二次函數(shù)零點的方法，當(dāng)時，利用求根公式就可以求出方程的解，也就是函數(shù)的零點

利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】通過上述步驟，我們把零點的范圍從2,3縮小到了25,275，那么重復(fù)這個步驟，我們就可以把零點所在的范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間的任意一點都可以作為函輸零點的近似值為了方便，我們把區(qū)間的一個端點作為零點的近似值像這樣，把在區(qū)間上連續(xù)且的函數(shù)，不斷把零點區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法一般地，稱為區(qū)間的中點函數(shù)在區(qū)間2，3上有零點，并且，取2，3的中點25，利用計算器求出因為，所以零點在區(qū)間25，3之間；再取區(qū)間25，3的中點275，算出，則零點在區(qū)間25，275之間…

利用二分法求方程的近似解【問題】二分法的理論依據(jù)是什么？【答】①二分法的理論依據(jù)是零點存在定理，僅適用于函數(shù)的變號零點函數(shù)圖像通過零點時函數(shù)值的符號改變②二分法采用逐步逼近的思想，使函數(shù)零點所在的范圍逐步縮小，也就是逐步逼近函數(shù)的零點要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)盡可能的找到含有零點的更小的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間的長度小到一定程度時，就可以取得可以解決實際問題近似值【步驟口訣】定區(qū)間，找中點，中間計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷！利用二分法求方程的近似解【用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟】【1】確定零點的初始區(qū)間，驗證【2】求區(qū)間的中點c，計算，進(jìn)一步確定零點所在區(qū)間：①如果，即c就是函數(shù)的零點；

②如果，則令；

③如果，則令；

【3】判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點的近似值，否則重復(fù)步驟【2】

當(dāng)時，區(qū)間任意一個值都可以作為零點近似值

對于三個函數(shù)，定義域都是R，且在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以都可以用二分法求零點近似值【1】下列函數(shù)都可以用二分法求零點近似值嗎，為什么？【解】

對于2，作出圖像如圖：易知函數(shù)只有一個不變號零點，故無法用二分法求零點近似值

用二分法求方程23=7的近似解（精確度為01）例．求的近似值。（精確度0.1）解:x=再利用二分法求近似根求函數(shù)零點個數(shù)的四種方法【方程法】求方程的實數(shù)根【圖像法】對于不能用公式法求根的方程或者不易求出實數(shù)根的方程，可以將它與對應(yīng)的函數(shù)圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點，對于不易畫出圖像的函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為，分別畫出和的圖像，看兩圖像有幾個交點【奇偶性】結(jié)合函數(shù)的奇偶性，因為