基本不等式（必修）

341基本不等式問(wèn)題1：前面，大家學(xué)習(xí)了等差、等比數(shù)列，曾涉及到兩個(gè)概念：兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，那么這兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)哪個(gè)大？問(wèn)題2：請(qǐng)你證明這個(gè)不等式：若a>0，b>0，則

看誰(shuí)的方法多、方法好！若a>0，b>0，則≥即當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)等差中項(xiàng)），叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)（等比中項(xiàng)）；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)適用范圍：a>0,b>0對(duì)于以上的不等式早在中國(guó)古代數(shù)學(xué)家

趙爽的弦圖設(shè)計(jì)中已有說(shuō)明。在2002年北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)中，會(huì)標(biāo)也是根據(jù)趙爽的弦圖設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了一個(gè)看上去象一個(gè)風(fēng)車的會(huì)標(biāo)。思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？探究１：S___>__S′問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDEFGHab思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍適用范圍：a,b∈R問(wèn)題替換后得到：即：即：你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎問(wèn)題Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD②如何用a,b表示CDCD=______①如何用a,b表示ODOD=______你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎問(wèn)題三②如何用a,b表示CDCD=______①如何用a,b表示ODOD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式例1：1如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=，CD=y，則y=100，籬笆的長(zhǎng)為2ym當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m此時(shí)=y=10=yABDC若、y皆為正數(shù)，則當(dāng)y的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí)，y有最小值_______例1：2如圖，用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=，CD=y，則2y=36,y=18矩形菜園的面積為ym2得y≤81當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大面積是81m2即=y=9ABDC若、y皆為正數(shù)，則當(dāng)y的值是常數(shù)S時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí)，y有最大值_______；①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=，CD=y，則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為ym2ABDC得144≥2y當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2即y≤72即=12，y=62y=24=2y變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=，CD=y，則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為ym2ABDCy不是定值2=24為得2y≤144當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2即y≤72即=12，y=62y=24=2y變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？分析：設(shè)AB=，BC=24－2，ABDC變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=，BC=24－2，矩形花園的面積為24－2m2當(dāng)且僅當(dāng)2=24－2,即=6時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2其中224-2=24是定值變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)