正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)高一數(shù)學(xué)系列-2

第5章

三角函數(shù)5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【導(dǎo)學(xué)1】一般的函數(shù)圖像都有哪些性質(zhì)可以研究？【解答】圖像特點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性、最值(極值)等等【導(dǎo)學(xué)2】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域和值域是什么？

【解答】定義域都是R，值域都是[-1，1]正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【1】周期性：觀察正弦函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，在圖像上，橫坐標(biāo)每隔2π個(gè)單位

長度，就會(huì)出現(xiàn)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.實(shí)際上，這一點(diǎn)既可以從定義中看出，也能從誘導(dǎo)公式中得到反映.即自變量的值加上2π的整數(shù)倍時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.數(shù)學(xué)上用周期性來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的規(guī)律.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【定義】一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)都有，且.那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

周期函數(shù)的周期不止一個(gè).例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函數(shù)的周期.

如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

根據(jù)上述定義，有如下結(jié)論：【1】正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π【2】余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【周期函數(shù)的理解】①對(duì)周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)”，要特別注意其中“每一個(gè)”的要求.如果只是對(duì)某些有，那么T就不是的周期.

②自變量本身加的常數(shù)才是最小正周期.如中T不是最小正周期，因?yàn)?，所以才是最小正周?

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【周期函數(shù)的理解】③周期函數(shù)的周期不唯一.若T是函數(shù)的最小正周期，則也是函數(shù)的周期.

④并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期.例如，對(duì)于函數(shù)

所有非零實(shí)數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【例1】1.求下列函數(shù)的周期：

【解】

探究與發(fā)現(xiàn)

探究與發(fā)現(xiàn)【例1】2.求下列函數(shù)的周期

【解】本題可以直接用公式求解：

探究與發(fā)現(xiàn)【探究】觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，余弦曲

線關(guān)于y軸對(duì)稱.所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).【注意】①判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，一定要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只要定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)肯定不具備奇偶性.②由奇偶性我們知道正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸(x=0)

對(duì)稱.③正弦曲線和余弦曲線即是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.

奇偶性單調(diào)性【探究】由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，我們可以先在它的一個(gè)周期的區(qū)間里如

討論它的單調(diào)性，再利用它的周期性，將單調(diào)性擴(kuò)展到整

個(gè)定義域.

如圖可以看到：當(dāng)由增大到

時(shí)，曲線逐漸上升，的值由1減小到-1.

正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都單調(diào)遞增，其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都單調(diào)遞減，其值從1減小到-1.

由上述結(jié)果結(jié)合正弦函數(shù)的周期性我們可以知道：單調(diào)性余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞增；在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞減.

同樣的道理結(jié)合余弦函數(shù)的周期性我們可以知道：

最大值與最小值【整理】從上述對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性的討論中容易得到：①正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值1，

當(dāng)且僅當(dāng)