高考一輪復習-兩角和與差的正弦余弦和正切公式

高考一輪復習-兩角和與差的正弦余弦和正切公式第一頁，共55頁。⑤T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z).⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠+kπ,k∈Z).第一頁第二頁，共55頁。(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①S2α:sin2α=____________.②C2α:cos2α=_____________=_________=_________.③T2α:tan2α=_______(α≠±+kπ,且α≠kπ+,k∈Z).2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第二頁第三頁，共55頁。2.必備結論教材提煉記一記(1)降冪公式:cos2α=,sin2α=(2)升冪公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式變形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα·tanβ).3.必用技法核心總結看一看(1)常用方法:整體代入法,配湊法.(2)數學思想:轉化化歸思想.第三頁第四頁，共55頁。(3)記憶口訣:余余正正符號異,正余余正符號同,二倍角,數余弦,找聯系,抓特點,牢記憶,用不難.第四頁第五頁，共55頁?！拘☆}快練】1.思考辨析靜心思考判一判(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在實數α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=可以變形為tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且對任意角α,β都成立.()(4)存在實數α,使tan2α=2tanα.()第五頁第六頁，共55頁?！窘馕觥?1)正確.對于任意的實數α,β,兩角和與差的正弦、余弦公式都成立.(2)正確.如取β=0,因為sin0=0,所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)錯誤.變形可以,但不是對任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.(4)正確.當α=kπ(k∈Z)時,tan2α=2tanα.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√第六頁第七頁，共55頁。2.教材改編鏈接教材練一練(1)(必修4P130例4T(1)改編)sin108°cos42°-cos72°sin42°=

.【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:第七頁第八頁，共55頁。(2)(必修4P137A組T5改編)已知則cosα=______.第八頁第九頁，共55頁?！窘馕觥恳驗榇鸢福旱诰彭摰谑?，共55頁。3.真題小試感悟考題試一試(1)(2014·上海高考)函數y=1-2cos2(2x)的最小正周期是

.【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x,所以函數的最小正周期T=.答案:第十頁第十一頁，共55頁。(2)(2014·新課標全國卷Ⅱ)函數f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值為

.【解析】因為f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinx·cosφ+cosx·sinφ-2sinφcosx=sinx·cosφ-cosx·sinφ=sin(x-φ)≤1.故最大值為1.答案:1第十一頁第十二頁，共55頁?？键c1化簡與計算【典例1】(1)(2015·合肥模擬)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)計算tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=

.(3)的化簡結果是

.第十二頁第十三頁，共55頁?！窘忸}提示】(1)逆用兩角差的余弦公式化簡.(2)觀察式子的特點,逆用兩角和的正切公式計算.(3)應用二倍角的正、余弦公式化簡.第十三頁第十四頁，共55頁。【規(guī)范解答】(1)選D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)因為tan(25°+35°)=所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°)=-tan25°tan35°,所以tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=-tan25°tan35°+tan25°tan35°=.答案:第十四頁第十五頁，共55頁。(3)原式==2|cos4|+2|sin4-cos4|,因為所以cos4<0,且sin4<cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.答案:-2sin4第十五頁第十六頁，共55頁?！疽族e警示】解答本例(3)有三點容易出錯:(1)想不到應用二倍角公式,不能把根號下的式子化為完全平方式.(2)把4°與4弧度混淆,導致開方出錯.(3)忽略討論cos4的符號及sin4與cos4的大小而直接開方導致出錯.第十六頁第十七頁，共55頁。【互動探究】對于本例(2),試化簡tanα+tan(60°-α)+tanαtan(60°-α).【解析】因為tan[α+(60°-α)]=所以tanα+tan(60°-α)=tan60°[1-tanα·tan(60°-α)]=-tanα·tan(60°-α),故原式=-tanα·tan(60°-α)+tanα·tan(60°-α)=.第十七頁第十八頁，共55頁?！疽?guī)律方法】1.三角函數式化簡的要求(1)能求出值的應求出值.(2)盡量使函數種數最少.(3)盡量使項數最少.(4)盡量使分母不含三角函數.(5)盡量使被開方數不含三角函數.第十八頁第十九頁，共55頁。2.特殊角的三角函數值的逆用當式子中出現這些特殊角的三角函數值時,往往就是“由值變角”的一種提示.可以根據問題的需要,將常用三角函數式表示出來,構成適合公式的形式,從而達到化簡的目的.第十九頁第二十頁，共55頁?！咀兪接柧殹?.化簡sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=

.【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β)=sin[(α+β)+(γ-β)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)第二十頁第二十一頁，共55頁。2.(2015·西寧模擬)計算:=

.【解析】

=tan(45°-15°)=tan30°=.答案:第二十一頁第二十二頁，共55頁?！炯庸逃柧殹?.化簡的結果是()A.-cos1B.cos1C.cos1D.-cos1【解析】選C.原式=第二十二頁第二十三頁，共55頁。2.化簡：=_________.【解析】答案：第二十三頁第二十四頁，共55頁。3.計算：=_____.【解析】因為tan(20°+40°)=所以tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°),所以原式=答案：-第二十四頁第二十五頁，共55頁?？键c2三角函數求值【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)計算的值為()(2)計算:4sin40°-tan40°=

.(3)(2015·成都模擬)計算：cos40°(1+tan10°)=

.第二十五頁第二十六頁，共55頁?！窘忸}提示】(1)利用誘導公式化大角為小角,然后逆用二倍角公式求值.(2)切化弦,通分化簡求值.(3)切化弦,通分,注意逆用兩角和與差的三角函數公式.第二十六頁第二十七頁，共55頁?！疽?guī)范解答】(1)選A.原式=第二十七頁第二十八頁，共55頁。答案：1第二十八頁第二十九頁，共55頁?！疽活}多解】解答本例(2)，你還有其他解法嗎？解答本例(2)還可有如下解法：原式=4sin40°-答案：第二十九頁第三十頁，共55頁?！疽?guī)律方法】給角求值問題的三個變換技巧(1)變角:分析角之間的差異,巧用誘導公式把大角統一到小角上來,或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和.(2)變名:盡可能使得函數統一名稱,?；覟榍?(3)變式:觀察結構,利用公式,整體化簡.提醒:“變式”時常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.第三十頁第三十一頁，共55頁?！咀兪接柧殹?2015·南寧模擬)計算：=______.【解析】答案：2第三十一頁第三十二頁，共55頁?！炯庸逃柧殹?.(2015·昆明模擬)計算：=()A.4B.2C.-2D.-4【解析】選D.第三十二頁第三十三頁，共55頁。2.(2015·三明模擬)計算：＝________．第三十三頁第三十四頁，共55頁。【解析】原式＝答案：第三十四頁第三十五頁，共55頁?？键c3三角函數的條件求值知·考情利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱點,常與平面向量的知識相結合,題型是三種類型都有,但近幾年常以解答題的形式出現.第三十五頁第三十六頁，共55頁。明·角度命題角度1:與平面向量相結合的條件求值【典例3】(2014·陜西高考改編)設0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,則sin2θ+cos2θ=

.【解題提示】先由向量的運算得到sinθ與cosθ的關系,再由此關系式確定方向,求sin2θ+cos2θ的值.第三十六頁第三十七頁，共55頁?！疽?guī)范解答】因為a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ.因為θ∈(0,),所以2sinθ=cosθ,即tanθ=,所以sin2θ+cos2θ=答案:第三十七頁第三十八頁，共55頁。命題角度2：三角函數的給值求值【典例4】(2014·江蘇高考)已知α∈(,π),sinα=(1)求sin(+α)的值.(2)求cos(-2α)的值.【解題提示】(1)先由條件求cosα的值，再求sin(+α)的值.(2)由sinα,cosα的值，先求sin2α,cos2α的值,再求cos(-2α)的值.第三十八頁第三十九頁，共55頁?！疽?guī)范解答】(1)由題意cosα=所以sin(+α)=sincosα+cossinα第三十九頁第四十頁，共55頁。命題角度3：和函數相結合的條件求值【典例5】(2014·廣東高考)已知函數f(x)=Asin(x+)，x∈R，且(1)求A的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈(0,)，求f(-θ).【解題提示】(1)把代入解析式求A的值.(2)由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數的關系求解,求解時要注意角的范圍.第四十頁第四十一頁，共55頁?！窘馕觥?1)由(2)f(θ)-f(－θ)=第四十一頁第四十二頁，共55頁。悟·技法1.與向量有關的求值問題的解法三角函數的求值問題常與向量的坐標運算有關聯,這類問題需要先用向量公式進行運算后,再用三角公式進行化簡和求值.2.給值求值問題的解法已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子,再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯系(從三角函數名及角入手),最后將已知條件及其變形代入所求式子,化簡求值.第四十二頁第四十三頁，共55頁。3.和三角函數相結合的條件求值的解法該類問題的解答常先根據條件確定解析式并化簡函數解析式,然后把已知條件代入函數解析式化簡并求相關的值,變形成要求的式子并代入前面所求的值計算.第四十三頁第四十四頁，共55頁。通·一類1.(2015·銅陵模擬)設α∈,若則cosα=

.【解析】因為α∈,所以所以故cosα=答案：第四十四頁第四十五頁，共55頁。2.(2013·江西高考改編)若則cos2α=

.【解析】因為所以cosα=cos2α=2cos2α-1=答案:-第四十五頁第四十六頁，共55頁。3.(2015·大同模擬)已知向量a=(4,5cosα),b=(3,-4tanα).若a⊥b,且α∈(0,),則cos(2α-)=

.第四十六頁第四十七頁，共55頁。【解析】因為a⊥b，所以a·b＝0，即12-20cosα·tanα＝0，所以12-20sinα＝0，即sinα＝因為α∈(0，)，所以cosα＝所以sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1-2sin2α＝所以cos(2α-)＝cos2α·cos+sin2α·sin答案：第四十七頁第四十八頁，共55頁。4.(2014·四川高考改編)已知函數f(x)=sin(3x+).若