高考一輪復(fù)習(xí)-兩角和與差的正弦余弦和正切公式

高考一輪復(fù)習(xí)-兩角和與差的正弦余弦和正切公式第一頁，共55頁。⑤T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z).⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠+kπ,k∈Z).第一頁第二頁，共55頁。(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①S2α:sin2α=____________.②C2α:cos2α=_____________=_________=_________.③T2α:tan2α=_______(α≠±+kπ,且α≠kπ+,k∈Z).2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第二頁第三頁，共55頁。2.必備結(jié)論教材提煉記一記(1)降冪公式:cos2α=,sin2α=(2)升冪公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式變形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα·tanβ).3.必用技法核心總結(jié)看一看(1)常用方法:整體代入法,配湊法.(2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸思想.第三頁第四頁，共55頁。(3)記憶口訣:余余正正符號異,正余余正符號同,二倍角,數(shù)余弦,找聯(lián)系,抓特點,牢記憶,用不難.第四頁第五頁，共55頁?！拘☆}快練】1.思考辨析靜心思考判一判(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在實數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=可以變形為tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且對任意角α,β都成立.()(4)存在實數(shù)α,使tan2α=2tanα.()第五頁第六頁，共55頁?！窘馕觥?1)正確.對于任意的實數(shù)α,β,兩角和與差的正弦、余弦公式都成立.(2)正確.如取β=0,因為sin0=0,所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)錯誤.變形可以,但不是對任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.(4)正確.當(dāng)α=kπ(k∈Z)時,tan2α=2tanα.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√第六頁第七頁，共55頁。2.教材改編鏈接教材練一練(1)(必修4P130例4T(1)改編)sin108°cos42°-cos72°sin42°=

.【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:第七頁第八頁，共55頁。(2)(必修4P137A組T5改編)已知則cosα=______.第八頁第九頁，共55頁。【解析】因為答案：第九頁第十頁，共55頁。3.真題小試感悟考題試一試(1)(2014·上海高考)函數(shù)y=1-2cos2(2x)的最小正周期是

.【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x,所以函數(shù)的最小正周期T=.答案:第十頁第十一頁，共55頁。(2)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值為

.【解析】因為f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinx·cosφ+cosx·sinφ-2sinφcosx=sinx·cosφ-cosx·sinφ=sin(x-φ)≤1.故最大值為1.答案:1第十一頁第十二頁，共55頁?？键c1化簡與計算【典例1】(1)(2015·合肥模擬)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)計算tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=

.(3)的化簡結(jié)果是

.第十二頁第十三頁，共55頁?！窘忸}提示】(1)逆用兩角差的余弦公式化簡.(2)觀察式子的特點,逆用兩角和的正切公式計算.(3)應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡.第十三頁第十四頁，共55頁。【規(guī)范解答】(1)選D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)因為tan(25°+35°)=所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°)=-tan25°tan35°,所以tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=-tan25°tan35°+tan25°tan35°=.答案:第十四頁第十五頁，共55頁。(3)原式==2|cos4|+2|sin4-cos4|,因為所以cos4<0,且sin4<cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.答案:-2sin4第十五頁第十六頁，共55頁?！疽族e警示】解答本例(3)有三點容易出錯:(1)想不到應(yīng)用二倍角公式,不能把根號下的式子化為完全平方式.(2)把4°與4弧度混淆,導(dǎo)致開方出錯.(3)忽略討論cos4的符號及sin4與cos4的大小而直接開方導(dǎo)致出錯.第十六頁第十七頁，共55頁。【互動探究】對于本例(2),試化簡tanα+tan(60°-α)+tanαtan(60°-α).【解析】因為tan[α+(60°-α)]=所以tanα+tan(60°-α)=tan60°[1-tanα·tan(60°-α)]=-tanα·tan(60°-α),故原式=-tanα·tan(60°-α)+tanα·tan(60°-α)=.第十七頁第十八頁，共55頁?！疽?guī)律方法】1.三角函數(shù)式化簡的要求(1)能求出值的應(yīng)求出值.(2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少.(3)盡量使項數(shù)最少.(4)盡量使分母不含三角函數(shù).(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).第十八頁第十九頁，共55頁。2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用當(dāng)式子中出現(xiàn)這些特殊角的三角函數(shù)值時,往往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問題的需要,將常用三角函數(shù)式表示出來,構(gòu)成適合公式的形式,從而達到化簡的目的.第十九頁第二十頁，共55頁?！咀兪接?xùn)練】1.化簡sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=

.【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β)=sin[(α+β)+(γ-β)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)第二十頁第二十一頁，共55頁。2.(2015·西寧模擬)計算:=

.【解析】

=tan(45°-15°)=tan30°=.答案:第二十一頁第二十二頁，共55頁?！炯庸逃?xùn)練】1.化簡的結(jié)果是()A.-cos1B.cos1C.cos1D.-cos1【解析】選C.原式=第二十二頁第二十三頁，共55頁。2.化簡：=_________.【解析】答案：第二十三頁第二十四頁，共55頁。3.計算：=_____.【解析】因為tan(20°+40°)=所以tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°),所以原式=答案：-第二十四頁第二十五頁，共55頁?？键c2三角函數(shù)求值【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)計算的值為()(2)計算:4sin40°-tan40°=

.(3)(2015·成都模擬)計算：cos40°(1+tan10°)=

.第二十五頁第二十六頁，共55頁?！窘忸}提示】(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角,然后逆用二倍角公式求值.(2)切化弦,通分化簡求值.(3)切化弦,通分,注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式.第二十六頁第二十七頁，共55頁?！疽?guī)范解答】(1)選A.原式=第二十七頁第二十八頁，共55頁。答案：1第二十八頁第二十九頁，共55頁?！疽活}多解】解答本例(2)，你還有其他解法嗎？解答本例(2)還可有如下解法：原式=4sin40°-答案：第二十九頁第三十頁，共55頁?！疽?guī)律方法】給角求值問題的三個變換技巧(1)變角:分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來,或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和.(2)變名:盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱,?；覟榍?(3)變式:觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡.提醒:“變式”時常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.第三十頁第三十一頁，共55頁?！咀兪接?xùn)練】(2015·南寧模擬)計算：=______.【解析】答案：2第三十一頁第三十二頁，共55頁?！炯庸逃?xùn)練】1.(2015·昆明模擬)計算：=()A.4B.2C.-2D.-4【解析】選D.第三十二頁第三十三頁，共55頁。2.(2015·三明模擬)計算：＝________．第三十三頁第三十四頁，共55頁?！窘馕觥吭剑酱鸢福旱谌捻摰谌屙?，共55頁?？键c3三角函數(shù)的條件求值知·考情利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱點,常與平面向量的知識相結(jié)合,題型是三種類型都有,但近幾年常以解答題的形式出現(xiàn).第三十五頁第三十六頁，共55頁。明·角度命題角度1:與平面向量相結(jié)合的條件求值【典例3】(2014·陜西高考改編)設(shè)0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,則sin2θ+cos2θ=

.【解題提示】先由向量的運算得到sinθ與cosθ的關(guān)系,再由此關(guān)系式確定方向,求sin2θ+cos2θ的值.第三十六頁第三十七頁，共55頁?！疽?guī)范解答】因為a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ.因為θ∈(0,),所以2sinθ=cosθ,即tanθ=,所以sin2θ+cos2θ=答案:第三十七頁第三十八頁，共55頁。命題角度2：三角函數(shù)的給值求值【典例4】(2014·江蘇高考)已知α∈(,π),sinα=(1)求sin(+α)的值.(2)求cos(-2α)的值.【解題提示】(1)先由條件求cosα的值，再求sin(+α)的值.(2)由sinα,cosα的值，先求sin2α,cos2α的值,再求cos(-2α)的值.第三十八頁第三十九頁，共55頁?！疽?guī)范解答】(1)由題意cosα=所以sin(+α)=sincosα+cossinα第三十九頁第四十頁，共55頁。命題角度3：和函數(shù)相結(jié)合的條件求值【典例5】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)，x∈R，且(1)求A的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈(0,)，求f(-θ).【解題提示】(1)把代入解析式求A的值.(2)由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解,求解時要注意角的范圍.第四十頁第四十一頁，共55頁?！窘馕觥?1)由(2)f(θ)-f(－θ)=第四十一頁第四十二頁，共55頁。悟·技法1.與向量有關(guān)的求值問題的解法三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標(biāo)運算有關(guān)聯(lián),這類問題需要先用向量公式進行運算后,再用三角公式進行化簡和求值.2.給值求值問題的解法已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子,再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手),最后將已知條件及其變形代入所求式子,化簡求值.第四十二頁第四十三頁，共55頁。3.和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式,然后把已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值,變形成要求的式子并代入前面所求的值計算.第四十三頁第四十四頁，共55頁。通·一類1.(2015·銅陵模擬)設(shè)α∈,若則cosα=

.【解析】因為α∈,所以所以故cosα=答案：第四十四頁第四十五頁，共55頁。2.(2013·江西高考改編)若則cos2α=

.【解析】因為所以cosα=cos2α=2cos2α-1=答案:-第四十五頁第四十六頁，共55頁。3.(2015·大同模擬)已知向量a=(4,5cosα),b=(3,-4tanα).若a⊥b,且α∈(0,),則cos(2α-)=

.第四十六頁第四十七頁，共55頁?！窘馕觥恳驗閍⊥b，所以a·b＝0，即12-20cosα·tanα＝0，所以12-20sinα＝0，即sinα＝因為α∈(0，)，所以cosα＝所以sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1-2sin2α＝所以cos(2α-)＝cos2α·cos+sin2α·sin答案：第四十七頁第四十八頁，共55頁。4.(2014·四川高考改編)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+).若