2023年高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)教案第1章1.1集合

第一章集合、常用邏輯用語§1.1集合【考試要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算．【知識梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言集合語言圖形語言記法并集所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA【常用結(jié)論INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，則下列結(jié)論正確的是()A．2eq\r(2)∈A B．8?AC．{4}∈A D．{0}?A答案D2．已知集合M＝{eq\r(a)＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，則a＋b＝________.答案－1解析∵M(jìn)＝N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋1＝2，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴a＋b＝－1.3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，則A∩B＝____________，A∪(?UB)＝____________.答案{x|2≤x≤3}{x|－2<x≤3}解析∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，∴?UB＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪(?UB)＝{x|－2<x≤3}.題型題型一集合的含義與表示例1(1)(2020·全國Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．6答案C解析A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4個元素．(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.答案0或1解析①當(dāng)a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}，②當(dāng)2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}舍去，③當(dāng)a2－4＝－3時，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當(dāng)a＝1時，A＝{－2,1，－3}，綜上，a＝0或1.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且僅有一個元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))解析依題意知，方程kx2＋x＋1＝0有且僅有一個實(shí)數(shù)根，∴k＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝1－4k＝0，))∴k＝0或k＝eq\f(1,4)，∴k的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，則集合A中的元素個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析∵eq\f(4,x－2)∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分別為－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值為0,1,3,4,6.故集合A中有5個元素．(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2023＋b2023＝________.答案0解析∵{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，∴b＝1，a＝－1，∴a2023＋b2023＝0.題型二集合間的基本關(guān)系例2(1)設(shè)集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因?yàn)镻＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此PM.(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案[－1，＋∞)解析∵B?A，①當(dāng)B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當(dāng)B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B?A改為BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案[－1，＋∞)解析①當(dāng)B＝?時，2m－1>m＋1，∴m>2；②當(dāng)B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1<4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1>－3，,m＋1≤4.))解得－1≤m≤2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】已知M，N均為R的子集，若N∪(?RM)＝N，則()A．M?N B．N?MC．M??RN D．?RN?M答案D解析由題意知，?RM?N，其Venn圖如圖所示，∴只有?RN?M正確．思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，則滿足AC?B的集合C的個數(shù)為()A．4 B．6C．7 D．8答案C解析∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AC?B，∴集合C的所有可能為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7個．(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案0，±1解析∵M(jìn)＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N?M.若N＝?，則a＝0；若N≠?，則N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，∴eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，∴a＝±1綜上有a＝±1或a＝0.題型三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3(1)(2021·全國乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，則?U(M∪N)等于()A．{5} B．{1,2}C．{3,4} D．{1,2,3,4}答案A解析方法一(先求并再求補(bǔ))因?yàn)榧螹＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以?U(M∪N)＝{5}．方法二(先轉(zhuǎn)化再求解)因?yàn)?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，?UM＝{3,4,5}，?UN＝{1,2,5}，所以?U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，則集合(?RA)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，∴?RA＝{x|－1≤x≤4}，∴(?RA)∩B＝{x|1<x≤4}．命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)例4(1)(2022·廈門模擬)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2個子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由題意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2個子集，∴A∩B中的元素個數(shù)為1；∵1∈(A∩B)，∴a?(A∩B)，即a?B，∴a≤0或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝?，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】(2022·銅陵模擬)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(?RB)≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．1≤a≤2 B．1<a<2C．a(chǎn)≤1或a≥2 D．a(chǎn)<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以?RB＝{x|a－1<x<a＋1}；又A∩(?RB)≠?，所以a－1<0或a＋1>3，解得a<1或a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<1或a>2.思維升華對于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2021·全國甲卷)設(shè)集合M＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，則M∩N等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4))))C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5}答案B解析因?yàn)镸＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4)))).(2)(2022·南通模擬)設(shè)集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，則a＝________，b＝________.答案22解析由題意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，當(dāng)a＋6＝4時，則a＝－2，得A＝{1,4,4}，故應(yīng)舍去；當(dāng)a2＝4時，則a＝2或a＝－2(舍去)，當(dāng)a＝2時，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.所以a＝2，b＝2.題型四集合的新定義問題例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為()A．15 B．16C．20 D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因?yàn)锳*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為21.(2)若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1＝A2時，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆．若集合A有三個元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是________．答案27解析不妨令A(yù)＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，當(dāng)A1＝?時，A2＝{1,2,3}，當(dāng)A1＝{1}時，A2可為{2,3}，{1,2,3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時，A2各有2種，當(dāng)A1＝{1,2}時，A2可為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4種，同理A1＝{1,3}，{2,3}時，A2各有4種，當(dāng)A1＝{1,2,3}時，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(種)不同的分拆．INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)人教A版（文理）老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)人教A版（文理）老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\右括.TIF"INET】非空數(shù)集A如果滿足：①0?A；②若?x∈A，有eq\f(1,x)∈A，則稱A是“互倒集”．給出以下數(shù)集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，其中是“互倒集”的序號是________．答案②③解析①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判別式Δ＝a2－4，故－2<a<2時，方程無根，該數(shù)集是空集，不符合題意；②中，{x|x2－6x＋1≤0}，即{x|3－2eq\r(2)≤x≤3＋2eq\r(2)}，顯然0?A，又eq\f(1,3＋2\r(2))≤eq\f(1,x)≤eq\f(1,3－2\r(2))，即3－2eq\r(2)≤eq\f(1,x)≤3＋2eq\r(2)，故eq\f(1,x)也在集合中，符合題意；③中，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，易得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤y≤2))))，0?A，又eq\f(1,2)≤eq\f(1,y)≤2，故eq\f(1,y)也在集合A中，符合題意．思維升華解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．跟蹤訓(xùn)練4對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，則A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．課時精練1．(2022·天津模擬)設(shè)全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，則?U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq\r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩(?UB)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|eq\r(x＋3)>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴?UB＝(－∞，2)，∴A∩(?UB)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，則集合N中的元素個數(shù)為()A．2B．3C．8D．9答案B解析由題意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素個數(shù)為3.4．(2022·青島模擬)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1＋a2＋a3等于()A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集為{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，則所有非空真子集的元素之和為a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a1＋a2＋a3＝3.5．已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，則下列說法正確的是()①P∪Q＝R；②P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}；③P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}；④P∩Q的真子集有3個．A．①②④ B．②③④C．②④ D．③④答案C解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，故②正確，③錯誤；又P，Q為點(diǎn)集，∴①錯誤；又P∩Q有兩個元素，∴P∩Q有3個真子集，∴④正確．6．已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－2 B．a(chǎn)≤－2C．a(chǎn)>－4 D．a(chǎn)≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A?B，作出數(shù)軸如圖．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.7．(2022·重慶模擬)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則集合B不可能為()A．{3,6} B．{3,4,5}C．{2,3,6} D．{3,5,6}答案C解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因?yàn)?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則有A∩B＝{3},3∈B；對于A選項(xiàng)，若B＝{3,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，A可能；對于B選項(xiàng)，若B＝{3,4,5}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B可能；對于C選項(xiàng)，若B＝{2,3,6}，則A∩B＝{2,3}，所以?U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C不可能；對于D選項(xiàng)，若B＝{3,5,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D可能．8．已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足(?UA)∪B＝B，則下列關(guān)系一定正確的個數(shù)是()①A∩B＝?；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(?UB)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，滿足(?UA)∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故①②均不正確；由(?UA)∪B＝B，知(?UA)?B，∴U＝A∪(?UA)?(A∪B)，∴A∪B＝U，由(?UA)?B，知(?UB)?A，∴(?UB)∪A＝A，故③④均正確．9．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實(shí)數(shù)m＝________.答案－3解析由題意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3為方程x2＋mx＝0的兩個根，所以m＝－3.10．(2022·寧夏模擬)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝