2023新教材高考數學二輪專題復習第二部分方法探究探究一重溫基礎高考“七分”靠實力三分靠心態(tài)二不等式

二不等式【必記結論】1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。?．一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是a(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是a3．分式不等式fxgx>0(<0)?f(x)g(fxgx≥0(≤4．利用基本不等式求最值(1)對于正數x，y，若積xy是定值P，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2P.(2)對于正數x，y，若和x＋y是定值S，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值14S2(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有1x+1y＝(ax＋by)·(1x+1y)＝a＋b＋byx+axy≥(4)已知a，b，x，y∈R＋，若ax+by＝1，則有x＋y＝(x＋y)·(ax+by)＝a＋b＋ayx+bxy≥【易錯剖析】易錯點1不能正確應用不等式性質【突破點】在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．易錯點2忽視基本不等式應用的條件【突破點】(1)利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤(a+b2)2等求函數的最值時，務必注意a，b為正數(或a，b非負)(2)對形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時，一定要注意ax，b易錯點3解含參數的不等式時分類討論不當【突破點】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時，首先要考慮對x2的系數進行分類討論．當a＝0時是一次不等式，解的時候還要對b，c進一步分類討論；當a≠0且Δ>0時，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易錯點4不等式恒成立問題處理不當【突破點】應注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關系．【易錯快攻】易錯快攻一忽視基本不等式的應用條件[典例1]函數y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點A，若點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則1m+1nA．3 B.22C．3+222 D聽課筆記：易錯快攻二解含參數的不等式時分類不當致誤[典例2]已知函數f(x)＝ax2－x＋a.(1)若?x>0，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；(2)已知實數a∈R，解關于x的不等式f(x)≥0.聽課筆記：二不等式[典例1]解析：易知函數y＝ax＋1－3過定點A(－1，－2)．因為點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即m2＋n＝1所以1m+1n＝1m+1nm2+n＝32+m2n+答案：C[典例2]解析：(1)若?x>0，ax2－x＋a≥0即a≥xx則只需滿足a≥xx2+1令h(x)＝xx2+1(x>0)，則h(x)＝xx2+1＝故實數a的取值范圍是12(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，①當a＝0時，f(x)≥0即－x≥0，此時f(x)≥0的解集為(－∞，0].②當a≠0時，函數f(x)＝ax2－x＋a的圖象的對稱軸為直線x＝12a，令ax2－x＋a＝0，則Δ＝1-4(ⅰ)當a<－12時，Δ<0，此時f(x)≥0的解集為?(ⅱ)當a＝－12時，Δ＝0，此時f(x)≥0的解集為12a即{－(ⅲ)當－12<a<0時，Δ>0，函數f(x)的零點為x0＝1±1-4a22a，此時f(x)≥0(ⅳ)當0<a<12時，Δ>0，函數f(x)的零點為x0＝1±1-4a22a，此時f(x)≥0的解集為((ⅴ)當a≥12時，Δ≤0，此時f(x)≥0的解集為R綜上，當a<－12時，f(x)≥0的解集為?；當a＝－12時，f(x)≥