2016高數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用小結(jié)

關(guān)dy關(guān)dy=y′?dy=y′dx?Δy=dy+o(Δx)系求導(dǎo)法dy=微lim數(shù)導(dǎo)第二 小 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx(點x0+Δx仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy= f(x0 +Δx)?f(x0);如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y f(在點x處的導(dǎo)數(shù),記為 , 或df( , x= dxx= x=y′x=

=limΔx→0

=Δx

f(x0+Δx)

f(x0)關(guān)dy關(guān)dy=y′?dy=y′dx?Δy=dy+o(Δx)系求導(dǎo)法dy=微limΔx→0數(shù)導(dǎo)定 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx(點

+Δx

f(

+Δx)

f(x0如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限存在,y=

x)在點x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y

f(x)在點

處的導(dǎo)數(shù)記為

或df(x) x=

dxx=

x=y′x=x0

limΔx→0

=Δx

f(

+Δx)

f(x0)f′(

)

f(x)

f(x0)

f(x0+Δx)

f(x0 x→x0?

x?

f′(

)

f(x)

f(x0)

f(x0+Δx)

f(x0) x→x0+

x?

fx)在點x0處可導(dǎo)f?x0左導(dǎo)數(shù)f′(x0)

x→x0?

f(x)x

f(x0)x0

Δx

f(

+Δx)

f(x0);右導(dǎo)數(shù)f′(x0)

x→x0+

f(x)x

f(x0)x0

Δx

f(

+Δx)

f(x0)

x)在點x0處可導(dǎo)左導(dǎo)

f′(x0)′(（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(C)′= (xμ)′=(sinx)′=cos (cosx)′=?sin(tanx)′=sec (cotx)′=?csc2(secx)′=sec (cscx)′=?csc(ax)′=axln (ex)′=ex(log

x)′ xln

(lnx)′=x x)′ (arccosx)′= x)′ (arccotx)′= 1+x 1+（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(C)′=

(xμ)′

x)′

cos

(cosx)′

x)′

sec2

(cotx)′

?csc2

x)′

(cscx)′

(ax)′=a

ln

(ex)′=ex(log

x)′

xln

(lnx)′=1?1?x2

x)′

(arccosx)′= 11?x

x)′

x)′= 1+x 1+x2設(shè)u=uxvvx)可導(dǎo)，則（1）(uv)′=uv′,（2）(cu)=cu(c是常數(shù) （3）(uv)′=u′v+uv′,（4）u′ v

u′v

uv′

≠如果函數(shù)xφy)的反函數(shù)為y=fx),f′(x) φ′(設(shè)u

u(x),

vx)（1）(u

v)′

u′

v′,（2）(cu)′

（3）(uv)′

u′v

uv′,（4）u′

u′vv

uv′

≠0).如果函數(shù)

fx),f′(x)

φ′(x)設(shè)y=f(u而u=φx)則復(fù)合函數(shù)y=f[φx)]dy

dy

y′(x)=f′(u)?φ′(多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)ux)v(x)的情形設(shè)y

f(u而u

φx)則復(fù)合函數(shù)y

xdy

dy

y′(x)

f′(u)?φ′(多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)ux)vx)的情形? (t ? (t =? dt

ψ′(t

d2y

d x(tdx=

φ′(tdxφ′(tdd2 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)?x=φ(t 確定y與x間的函數(shù)關(guān)系 (t

y(tdy=

=ψ′(t

d2y

d x(t

φ′(t

dx dxddx2

=ψ′(t)φ′(t)?ψ′(t)φ′(t)φ′3(t=ψ′(t)φ′(t)?ψ′(t)φ′(t)φ(t

=a

?lnn

(a>

(e

)(

=e(sinkx)(n)

=knsin(kx

n?π)2(coskx)(n)=k

cos(kx+n?π)μ

(

=

(n?

(1

xn n

nn

(u

(n

k

Cku(nk)v(k(ax)(n)=ax?lnn (a> (ex)( =eπ(sinkx)(n)=knsin(kx+n?2π(coskx)(n)=kncos(kx+n?2μ

(4)[(xa) (lnx)( = n?

(1)(n) xn n

定義設(shè)函數(shù)y

fx)在某區(qū)間內(nèi)有定義

x0及

+Δy

f(

+Δx)

f(x0)

A?Δx

o(Δx)成立(其中A是與Δx無關(guān)的常數(shù)),則稱函數(shù)y

f(x)在點x0可微,并且稱AΔx為函數(shù)y=fx)在點x0于自變量增量Δx的微分記作

x=

或

x0),dydyx=0=A?微分dy叫做函數(shù)增量Δy的線性主部

(uv)(n

nkn

Cku(nk)v(k定理函數(shù)

x)在點x0可微的充要條件是函數(shù)

x)在點x0處可導(dǎo),A=f′x0dy=dy=f′(求法:計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分定義設(shè)函數(shù)y=fx)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δy=f( +Δx)?f(x0)=A?Δx+成立(其中A是與Δx無關(guān)的常數(shù)),則稱函數(shù)y=fx)在點x0可微,并且稱AΔx為函數(shù)y=fx)在點x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分記作dyxx0或dfx0),即dydyx=0=A?微分dy叫做函數(shù)增量Δy的線性主部.d(C)=

μxμ?1dx

x)

x)

x)

x)

d(secx)

d(cscx)

d(ax)

axln

d(ex)

exdx

x)

xlna

d(lnx)

1?x2d(arcsin1?x2

d(arccosx)=

1?x2d(arctan1?x2

d(arccotx)= 1+x2 1+x28、微分的基本法則d(u

v)

du±

d(Cu)

d(uv)

vdu

d )uvu

vduv

dy=f′(dy=f′(

f(x)定理函數(shù)fx)在點x0可微的充要條件是函數(shù)f在點x0處可導(dǎo),A=f′x0dy=dy=f′(例1

f(x)

x(

?1)(x

2)(

求f f′(0)

f(x)?fx→0

x?=lim(x→0=

?2)(

d(C)= d(xμ)=μxμ?1dxd(sinx)=cosxdx d(cosx)=?sinxdxd(tanx)=sec2 d(cotx)=?csc2d(secx)=secxtan d(cscx)=?cscxcotd(ax)=axln d(ex)=exdx

x)= xlna

d(lnx)=1x d(arccosx)= d(arccotx)= 1+ 1+例2設(shè)函數(shù)y

fx由方程

y=

x(

>0,

>d2所確定,

dx2 兩邊取對

1lnyx

1lnx,

即ylny

xlnx,∴(1+

y′

ln

y′

ln

1+ln1(lny+1)?(lnx+1)1?y′= (1+lny)2=

y+1)2xy(ln

x(ln

8d(u±v)=du± d(Cu)=d(uv)=vdu+ d(u)v

vduv

dy=f′(dy=f′(

f(例 設(shè)

(x)

xx(

2),

f′(x). 先去掉絕對?x2(x?2),x≤??f(x)= x2(x?2),0??

x<??x2(x?2),x≥?當(dāng)x

f′(0

f′(0=

f′(0)=當(dāng)x

0時

f′(x)

3x

?4當(dāng)0<x

f′(x)

?3x

+4當(dāng)x

f′(2

f(x)?f

=lim

2)

x→2?

x?

x→2?

x?f′(2

+

f(x)?f

=

x2(x?=x→2

x?

x→2+

x?f′(2

f′(2

∴fx)在

=2處不可導(dǎo)??3x?

?4x,

>2,或x<f′(x)

?0,

=?

3x

+4x,0

x<例1設(shè)fx)=xx1)(x2)x求f f′(0)=limf(x)?f x?=lim(=

–1)(x?2)(x?例 設(shè)y

cosx,

y′. y′

=y(lnx+cosxlnsin1

cos2=x(sinx)cosxx

?sinx?lnsinx

例 設(shè)y

4x2?x21,

y(n)4x2?

4x2?4+

y

x2?1

x2?

=4

2(x?1?x+(

)(n)

(?1)n

)(n

(?1)n,x?

(x? x+

(x+∴y(n

=3(?1)n

(x+1)n+1例2設(shè)函數(shù)y=f(x由方程 y=yx(x>0,y>d2所確定,求dx2 兩邊取對 1lnyx

1lnx,

即ylny=xln∴(1+lny)y′=lnx+ y′=lnx+11y′=

(lny+1)?(lnx+(1+ln

1+ln1?y=y(lny+1)2?x(ln

+xy(lny+∞?∞?

00010令y=f

f?g=

0g?1

0F(x)=

1g1 ∞

f?g 1n=

f(a)

f

[ab]上連續(xù),在開區(qū)間(ab)

(a)

f(b),那末在(a

<ξ

b),使得函數(shù)

x)即fξ=例 設(shè)f(x)= 先去掉絕對

xx2),求f′?x2(x?2),x≤??f(x)= x2(x?2),0<x<????x2(x?2),x≥?當(dāng)x=0時 f′(0)=f′(0)= f′(0)=當(dāng)x>2或x<0時 f′(x)=3x2?4當(dāng)0<x<2時 f′(x)=?3x2+4

f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù),在開區(qū)間(ab)末在(ab)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ

b)f(b)

f(a)

f'(ξ)(b?

有限增量公式Δy

f′(

+θΔx)?

(0<

<增量Δ增量Δy的精確表達式如果函數(shù)fx)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零fx)在區(qū)間I上是一個常數(shù)柯西（Cauchy）中值定

x及Fx)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù),在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo),且Fx)在(ab)內(nèi)每一點處均不為零，那末在(ab)有一點ξ(a<ξ<b),使等式f(a)

f(b)

f'(ξ)F(a)

F

Fξ當(dāng)x=2時–f′(2)=limf(x)?f =lim?x2(x?2)=– x? x?f′(2)=

f(x)?f =limx2(x?2)=x→2

x? x?f′(2)≠f′(2 ∴fx)在x=2處不可導(dǎo)?3x24xx2,或x?f′(x)=?0,x=???3x2+4x,0<x<

00

∞定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再

0?∞,

?∞,001∞,∞0關(guān)鍵:

(0),(∞) 注意：洛必達法則的使用條件泰勒(Taylor)中值定 如果函數(shù)f(x)在含有的某個開區(qū)間(ab)內(nèi)具有直到(n1)階的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時 f(x)可以表示為(x

x0)的一00f(x)

f(x0)

f′(

)(x

x0)

f′(x0)(xnn

x)2+

f(n)(x0(x0

x0

Rn(xf(n+1)(ξ

Rnx

(n+

(x

x0

(ξ

x0

x之間例 設(shè)y=x(sinx)cosx,求 y′=y(lny)=y(lnx+cosxlnsin cos2=x(sinx)cosxx

–sinx?lnsinx+ sinxsinx

xxx xx x x

?+x

x2n+1(?1)n (2n+x2n

o(x2n+2cos

=1

++(?1)n

x)

xx x2

+333

xn+1n+

o(

n+111?

=1

x+x

++

xn

o(xn

=1+mx

m(m

?1)x2++m(m

?

?n+1)xn

+o(xn可導(dǎo)

設(shè)函數(shù)y

fx)在[ab]

ab)

ab)內(nèi)

′(x)

y

x)[ab]0

ab)內(nèi)

′(x)

y=

x)[ab]上單調(diào)減少例 設(shè)y

4x2?x2?

,求yn4x2? 4x2?4+ y x2?1 x2? =4+2(x?1?x

x? (x? x+ (x+n3n∴y(n) (?1)

1–

(x+1)n+1

fx在點

x0處具有導(dǎo)數(shù)x0處取得極值,那末必定fx)=0.'00使導(dǎo)數(shù)為零的點(即方程

′(x)

做函數(shù)fx)的駐點如果x

?δ,

),

f'(x)

0;而x

,

+δfx<0，則

fx)在x0處取得極大值如果x

δx0fx<0;而x'0

,

+δfx)>0，則

fx)在x0處取得極小值如果當(dāng)x

δx0)及xx0x0δ)時

fx)

fx)在x0處無極值00

fx)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)0fx=0

f''(x)

0,

f''(x)00f''(x)00

0時,0時,

fx)在x0處取得極大值fx)在x0處取得極小值000010柯 令y=f

f?g

1∞1∞?g?1

0F(x)= 1g?1

f?g 1n=

f(a)=f(b)

f′(x);(2)

f′(x)

0的根

fx該點的符號,判斷極值點求極值求駐點和不可導(dǎo)點 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b),使得函數(shù)f(x)在該fξ=建立目標(biāo)函數(shù)求最值若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最大（或最?。┲担?設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果對(a,b)內(nèi)任兩點x1

x2

f(

+x2)2

2

f(x2)那末稱

x)在(ab)

如果函數(shù)f(在閉區(qū)間[ab]上連續(xù),在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo),那末在(ab)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b)，使等式f(b?f(a)=fξ)(b Δy=f′( +θΔx)? (0<θ<如果對(ab)內(nèi)任意兩點x1x2f(

+x2)2

2

f(x2)那末稱

x)在(ab)

如果函數(shù)fx)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零fx)在區(qū)間I上是一個常數(shù)柯西（Cauchy）中值定 如果函數(shù)f(x)及F(在閉區(qū)間[ab]上連續(xù),在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo),且F在(ab)內(nèi)每一點處均不為零，那末在(ab)有一點ξ(a<ξ<b)f(a?f(b)=fξF(a)?F F'定理

如果

x)在[ab]上連續(xù)在(ab)導(dǎo)數(shù)若在(ab)(2)

f′(x)f′(x)

0則

下凸的下凹的定理 如

fx)在

δ)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),則點(x0

f(x0

是拐點的必要條件是0f"(x)=00方法

設(shè)函數(shù)

x)在x0的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)且fx0=

x0兩近旁

(2)

x0兩近旁

方法

設(shè)函數(shù)

x)在x0的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)且fx0

0,而

′′(x0)

曲線y

00

∞定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再 0?∞,001∞,∞0 的類型(0),(∞). 利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形確定函數(shù)y

fx)的定義域,對函數(shù)進行

fx)

"(x);

f'(x)

0

"(x)=

在函數(shù)定義泰勒(Taylor)中值定理如果函數(shù)fx)在含有x0的某個開區(qū)間(ab)內(nèi)具有直到(n1)階的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x在(ab)內(nèi)時,fx可以表示為x?x0)的一個n次多項式與一個余項Rnx)之和:f(x) f(

)+f′(

)(x?

) f′(x0)(x

x0+

f(n)(x (x

x

+

(x0f(n+1)(ξ 0其中Rn(x) (n+1)!(x?x0 (ξ在x0與x之間

x)

x描出與方程

fx)=0

f"(x)

0的根對弧微分曲率

ds

1+y′20.

K=

ky′y′

3y′2)2sinx

x?x3+x

?+

+o(

2n+2 (2n+cos

=1

x2

x4

x6

+

+o(x2n x?x2

x3?

ln(1+x)

1?

=1+x+x2++xn+o(xn(1+x)m=1+mx+m(m?1)x2++

–

–n+1)xn+o(xn0.定 設(shè)曲線y

fx)在點M

y)k(k

≠0).在點M處的曲線的法線上取一點D,

=1k

圓(如圖稱此圓為曲線在點M處的曲率圓ρ=1k

k=1ρD是曲率中心

ρ是曲率半徑 的正確性.

y=lnsin

在6

5π6解

:2kπ

x<2kπ+

(k

且在[π6

5π上連續(xù)6

=cot

在(π6

5π)6并且f(π)6

f(5π)6

=?ln可導(dǎo).

設(shè)函數(shù)y=fx)在[ab]上連續(xù)，在ab)0如果在(a,b)內(nèi)f′(x)>0，那末函數(shù)y= f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；0如果在ab)內(nèi)f′x)<0，那末函數(shù)y=fx)在[a,b]上單調(diào)減少.∴函

y=lnsin

在6

5π6的條件

=cot

=π在 )內(nèi)顯然有

x=π ξ=π2

則f′(ξ)=這就驗證了命題的正確性(A)

f(x)在點x0處具有導(dǎo)數(shù), ,那末必定f'x)=0.0使導(dǎo)數(shù)為零的點(即方程f′x0的實根)叫做函數(shù)fx)的駐點.例

x→0

x251+5?51+5 分子關(guān)于x的次數(shù)為551+5∴

=(1

x)5=1

1(5x)

1?1

+o(x2 2!5=1

x?2x2

+o(x2x2

x→0[1

x?2x2

+o(x2

= x) 0如果xx0δx0f'x>0;而xx00

+δfx<0，則

fx)

極大值–如果x

x0有

而x0

,

+δ有f'(x)>0， f(x)在x0處取得極小值如果當(dāng)x∈(x0?δ,x0)及x∈(x0,x0+δ)時 f'(x)號相同,fx)在x0處無極值 且f'(x)= f''(x)≠0,

f''(x0)f''(x0)

0時,0時,

fx)在x0處取得極大值fx)在x0處取得極小值例3

f(x)

在[0,1上連續(xù),

(0,1內(nèi)可導(dǎo),f(0)=

f

1,

a,b在(0,1內(nèi)存在不同的ξ,η

a+

b均為正數(shù)

∴0

<a+

(

在[0,1上連續(xù)

由介值定理存在

∈

使得

a+f(

在[0,τ],[τ,1上分別用拉氏中值定理

f(0)=

?

ξ∈(0,τ

f(τ)

η∈(τ

f(0)=a

f

=

由,bτ

(τ)

a+

1?

=1

f(τ)

a+

,

1=f′(ξ

+b)

a+a

=a+求導(dǎo)數(shù)f′求駐點，即方程f′x)=0的根檢查f′x)在駐點左右的正負號或fx在求極值例 證明不等xlnx+yln

>(x

y)lnx2

>0,

>0,x

y). 令

(t)

tlnt

>則f′(t

ln

+

f′(t)

1>t∴f(t)

tln

在

y

(y,

x>0,

>0是凹的 2

f(x)

f(y)]

f(x+y2 1[xlnx2

y]

x+ylnx+y xlnx

yln

>(x

y)lnx+y2例 若函

f(x)

在[0,1上二階可微,

f(0)f

1,證明

f′(x)≤2

(x∈證設(shè)x0[0,1

x0

fx展成一階泰勒公式,f(x)

f(x0)

f′(

)(x

x0)+

f′(ξ)(x

x10令x10

0,

=1,f(0)

f(x0)

f′(x0)x0+

f′(ξ)x 1f(1) 1

f(x0)

f′(

x0)+

f′

x 1010求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，則該點的定 設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果對(a,b)內(nèi)任兩點x1,x2,恒 f(x1+x2)2

2

f(x2)那末稱fx)在(ab)內(nèi)的圖形是□–

f(0)

f 1f′(x0)=1

f′

) ?

f′

x2100f′(x)≤21001∴f′(x0)≤1

x+ x+

x

=(

?1)2+11 11

[0,1知

x0?

≤12

f′(x0)≤

的任意性,可知命題成立例7

y=x

x2?

的單調(diào)區(qū)間,極值,區(qū)間,拐點,漸近線,并作函數(shù)的圖形

定義域

x≠即(?∞,?1(?1,1f(?x)

?x

?

?f(

x2? x2+

x2(x2?y

=1 (x2?

(x2?1)2令y′=

得x=?

3, 3.如果對(ab)內(nèi)任意兩點x1x2f(x1+x2)2

2

f(x2)那末稱fx)在(ab)內(nèi)的圖形是y′

2x(x2+3)

(x2?

(x? (x+令

=

x=limx→∞

=

∴沒有水平漸近線又lim

=

lim

=+∞,∴x

1為曲線y的鉛直漸近線 x→?1?0

=

yx→?1+0

x1為曲線y的鉛直漸近線定理1如果fx)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),若在(a,b)內(nèi)

f′(x)f′(x)

下凸的下凹的定理2如果fx)在x0δx0δ)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),則點(x0,fx0))是拐點的必要條件是fx0)=0.a=limx→∞

=x→∞

1(xx

x2?

=b=lim(x→∞

?

=lim(yx→∞

x)

x→∞

x2?

=直

y=

y的斜漸近線以函數(shù)的不連續(xù)點

=±1),駐點(x= x=0,x

和可能拐點的橫坐標(biāo)為分點列表如下 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)且fx0=方法2:設(shè)函數(shù)fx)在x0的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo),且fx0=0,而f′′x0≠0那末x0fx0是曲線y=fx)的拐點.x(?∞,? (? 0+00+0yx1 3)x1 3)3 3,+∞)0+++y

yy

3=? 3= 3,3x= 拐點為yy=o1xy=fx)的定義域,對函數(shù)進行論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)fx)f"x);f'x=0f"x=0在函數(shù)定義一.選擇填空題：(每小題3分,共15分).

(x)

x，當(dāng)x

時 f(x)與x2f(x)與x2f(x)是比x2f(x)是比x2確定在這些部分區(qū)間內(nèi)f'(x)和f "(x)的符；描出與方程fx=0和f"x)=0的根對x

0

(x)

1x

x) （A）.（（C)..（.第二類間斷點

x0

x（A）1x

x

ln1x1x1xx （D）11x1xx弧微分曲率10.弧微分ds 1+y′22. K=2. k

3y′2設(shè)函數(shù)

f(x)

x1φ(x)，且φ(x)在x1處連續(xù)，則φ

0

(x)在x1處可導(dǎo)的(A)充分必要條件 （B）必要但非充分條件.(D)既非充分也非必要條件

f(x)在[a,b]的圖形(如圖則下列說法正確的是

f'(x)>

f'(x)>

f'(x)>

f''(x)<

f'(x)<

aab0 x 0x

f(x)在x=0處連續(xù)則下列命題錯誤的 C(A)若

f(xx

(B).若

f(x)x

(x

f

若

f(xx

若

f(xx

'(0) 設(shè)曲線y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為k(k≠0).在點M處的曲線的法線上,在凹的一1取一點D,

= k

ρ=1k

k=1ρ ρ是曲率半徑二.填空題：(每小題4分,共40分 1

(x)

xx

(x

0,1)f

) f(x)已知lim(xa)x ,則a= x x 3當(dāng)a ,b 時,f(x)

ex

xx=1ae1,b

ax

x設(shè)y

f(arctan3x),則y

19x2y

x2

axb和2

xy3在點

1相切，則常數(shù)

b

a1,

(1a)x4bx3設(shè)

,則a

x xx1

a

b

(x)

x

x則x

f(x) f(x)

sin 1cos1

x

y=lnsin

在 ,上π] 上π]解D:2kπ<x<2kπ+ (k=且在[π6

上連續(xù)π6π y′=cot

在 6

5π)6并且f

π)6

f6

=?ln設(shè)

ln(

2x)，則

x1 xdyx1x

4ln2161yxxx , x

.

f(

1

x2 x31

.(0

5351

xsinx

x2arcsin

xsin

lim1cosx

x

3x2limsinxx 6x ∴函數(shù)y=lnsin

π在[ π

5π6的條件 y′=cotx=π在(, )π

x=π ξ=π2

則f′(ξ)=

lim(

cot

x x2tan2xx2

tan2xx2解 原式

x2tan2

x2x2lim(tanxx

tanxx)

2lim

tanx

sec2

x tan2 2x

3x

3x x 例

51+5x–51+5x 分子關(guān)于x的次數(shù)為1∴51+5x=(1+5=1+1(5x)+1?

1?1)?(5x)2+o(x2( 2!5(=1+x?2x2+o(x2 =?1

x→0[1+x?2x2+o(x2)]?(1+ sinx

)x2x 解:原式

limex2x0

lnsinx

limx0

lnsinxlnxcot

x1/

xcos

xsinlim 2 lim

x2sinx xlimx

xcosxsin 2x

limx

xsin 6x

eyxy

若

tsint，求dx2解:y

sin

tcost

tsind2

2tdx

(costtsin

t)3例3設(shè)fx在[0,1上連續(xù),(0,1內(nèi)可導(dǎo),f(0=0,f(11,a,b在(0,1)內(nèi)存在不同的ξ,η

a+ a與b均為正數(shù) ∴0 <a+ f(x)在[0,1]上連續(xù) 存在τ∈(0,1),使得f(τ) a+fx)在[0,τ],[τ,1]上分別用拉氏中值定理設(shè)函數(shù)y(x)

yx

y0確定求y解 將方程兩邊對x求導(dǎo)yln

y2y10.

y 2ln兩邊再對xy

(2ln

y(2lny)3

y(2x

3)(x-

y(n) y1 5(x- 2xy(n)(x)

(1)n n1 n1 (x (2xy(n

(0)

n! (1)n2n1(1 f(τ)?f(0)=(τ?0)f′(ξ ξ∈(0,τ □f(1)?f(τ)=(1?τ)f′(η □ f(0)=0,f(1)= 由,τ

(τ)=a+

□□ 1?τ=1?f(τ)=a+ □□ +, 1

f′(ξ)(a+

f′(η)(a+

=a+

(x)

2x

(1x)2

f(

當(dāng)x(,0)和(1)時fxfx)單調(diào)減少x0是極小值的點,極小值

四.(10f在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f

(a)

f(b).求證：存在ξa,b)

0證:因f在[a,b]

ca,b)

f(c)

ff(c)

f(a),則在[ac]

ξa,c)，使得

f(c)f

cf(c

f(a),

ξ(c,b)

f(b)f

b例4xlnx+ylny>(x+y)lnx2

y,(x>0,y>0,x≠ 令f(t)=tlnt(t>則f′(t)=lnt+ f′(t)=1>tf(t=tlnt在x,yyx),x>0y>0是凹的[2 [22

f(x)+f(y)]>f(x+y 1[xlnx 2

ylny]>x+ylnx+y xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2例 若函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可微,且f(0)f

f′(

1,證明

f′(x)≤2

(x∈證設(shè)x0[0,1在x0處把fx展成一階泰勒公式,f(x)=f(

)+f′(

)(x?x0)+

f′(ξ)(x?x01令x=0,x=1,1f(0)=f(x0)?f′(x0)x0+□

f′(ξ1) 1f(1)=f(x0)+f′(x0)(1?x0)+□□

f′(ξ2)(1?x0 □□□□□□□–

注意到f(0)=f 1f′(x0)=1

f′

2) ?2

f′

)(1?x0f′(x)≤∴f′(

)≤1x

+1(1

x =(

–1)2+

1 1

[0,1]知

x0?

≤12

f′(x0)≤由x0的任意性,可知命題成立例7求函數(shù)y=x x2?

的單調(diào)區(qū)間,極值,區(qū)間,拐點,漸近線,并作函數(shù)的圖形 (1)定義域:x≠即(?∞,?1(?1,1)f(x)x ? =?f x2? x2+ x2(x2?,(2) =1 ,(x2? (x2?令y′= 得x= 3, y′=2x(x2+3)= (x2?1)2 (x?1)3 (x+1)3令y′= 得可能拐點的橫坐標(biāo)x=lim

,沒有水平漸近線又lim

= lim

=∴x=1為曲線y的鉛直漸近線

= y

x1為曲線y的鉛直漸近線a=limx→∞

=

1(xx

x2?

=b=lim(

–ax)=lim(y

x)=

x2?

=y=x為曲線y的斜漸近線以函數(shù)的不連續(xù)點(x=±1),駐點(x=? x=0,x= 3)和可能拐點的橫坐標(biāo)為分點,x